辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题

试卷第1页，共4页 2022-2023 学年度上学期东北育才高中部高一数学期末考试试卷 第I 卷（选择题，共60 分） 一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分） 1．已知集合     , 2 0 A x y x y     ，     , 4 0 B x y x y     ，则A B   （ ） A．  3, 1  B．{ } 3, 1 - C． 3 x  ， 1 y  D．( ) { } 3, 1 - 2．若, R a b 且 0 ab  .则 2 2 1 1 a b  成立的一个充分非必要条件是（ ） A． 0 a b   B．b a  C． 0 b a   D．   0 ab a b   3．某中学举行运动会，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100 米短跑决赛，现将四位同学随机地安排在1,2,3,4 这4 个跑 道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1 跑道且乙不在4 跑道的概率为（ ） A． 1 2 B．7 12 C．2 3 D．3 4 4．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后 人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方 形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知 3 , , AE EF AB a AD b             ，则AE    （ ） A．12 9 25 25 a b    B．16 12 25 25 a b    C．4 3 5 5 a b    D．3 4 5 5 a b    5．命题“ * R, N x n   ，使得n x  ”的否定形式是（ ） A． * R, N x n   ，使得n x  B． R, N , x n    都有n x  C． * R, N x n   ，使得n x  D． R, N x n    ，都有n x  6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数  2 2 4 1 1 x x f x x     的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 7．已知实数和b 满足2022 2023 a  ，2023 2022 b  ．则下列关系式中正确的是（ ） A． 2 2 log log 1 a b   B． 2 a b   C． 2 2 1 a b   D．2 2 4 a b   8． 已知O是ABC  内一点，且 0 OA OB OC          ， 点M 在OBC  内（不含边界） ，若AM AB AC           ，则 2    的 取值范围是 各种高中资料一手更新，认准 试卷第2页，共4页 A． 5 1, 2       B．  1,2 C．2 ,1 3       D． 1 ,1 2       二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 9．已知a 为实数， 0 a  且 1 a ，函数 1 ( ) 1 ax f x x    ，则下列说法正确的是（ ） A．当 2 a  时，函数 ( ) f x 的图像关于(1,2) 中心对称 B．当 1 a > 时，函数 ( ) f x 为减函数 C．函数 1 ( ) y f x  图像关于直线y x  成轴对称图形 D．函数 ( ) f x 图像上任意不同两点的连线与x 轴有交点 10．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10 分，部分选对的得 5 分，有选错的得0 分.”已知某选择题的正确答案是CD，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是 （ ） A．甲同学仅随机选一个选项，能得5 分的概率是 1 2 B．乙同学仅随机选两个选项，能得10 分的概率是1 6 C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是1 5 D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是1 10 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大 数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用[ ] x 表示不超过x 的最大整数，则 [ ] y x  称为高斯函数．例如： [ 3.2] 4  ，[2.3] 2  ．已知函数 2 1 ( ) 1 2 2 x x f x    ，则关于函数 ( ) [ ( )] g x f x  的叙述中正确的是（ ） A． ( ) f x 是奇函数 B． ( ) f x 在R 上是增函数 C．( ) g x 是偶函数 D．( ) g x 的值域是  1,0  12．已知函数  4 2 log 4 , 0 log ,0 2 4 1, 2 x x f x x x x x              ，若方程  f x a  有六个不同的解 1 x ， 2 x ， 3 x ， 4 x ， 5 x ， 6 x 且 1 2 3 4 5 6 x x x x x x      则下列说法正确的是（ ） A．   0,1 a B． 1 2 3 4 3 x x x x     C．   4 1 2 2 3 4 16 16 2,24 x x x x x         D．   6 3 1 2 3 ,0 4 x f x x x         第II 卷（非选择题，共90 分） 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 试卷第3页，共4页 13．设命题p ：函数 2 1 ( ) lg( ) 16 f x ax x a    的定义域是R；命题q：不等式3 9 x x a   对一切正实数x 均成立.如果 命题p 和q有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是______. 14．为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A，B，C，D 四个 区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占3 5 ，则下列结论中，正确结论的个数是______. ①男、女员工得分在A 区间的占比相同；②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数； ③得分在C 区间的员工最多；④得分在D 区间的员工占总人数的20%. 15． 已知  3 3 f x x x   ， x 为实数且满足 8 （���+1） 3 −���3 ≥3���− 6 ���+1， 则  f x 的最大值为___________． 16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面 积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和． 现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后， 得 如图所示的图形，若AF AB AD x y         ，则x y  ____________． 四、解答题（本大题共70 分。解答应写出文字说明） 17．在①A B A   ，②A B  ，③B A  R ð 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a 存 在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 问题：已知集合   2 1 1 | 0, , , 1 2 1 x a x A x x B x x x x                           R R ，是否存在实数a ，使得 18．近两年来中国猪肉市场由于受到国内外多种因素的影响，导致猪肉的市场零售均价一直居高不下，在一个高价 区域范围内上下波动.政府为监控猪肉市场零售均价行情需要了解真实情况，在2021 年5 月份的某一天，某市的物 价主管部门派相关专业人员对全市零售猪肉的销售均价进行摸底，随机抽样调查了100 家超市了解情况，得到这些 超市在当天的猪肉零售均价（单位：元/公斤）x 的频数分布表如下： x 的分组   46,48   48,50   50,52   52,54   54,56 超市家数 9 24 52 9 6 (1)请分别估计该市在当天的猪肉零售均价不低于54 元/公斤的超市比例和零售均价小于50 元/公斤的超市比例； (2)用分层抽样的方法在样本均价位于分组区间  52,54 和  54,56 （单位：元/公斤）的超市中抽取5 家超市，再从这 5 家超市中任选2 家超市进行市场零售均价调控约谈，问选出的2 家超市的均价都在区间  52,54 内的概率？ 试卷第4页，共4页 19．沈阳市某地铁线路正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间 间隔t （单位： 分钟） 满足2 20 t  ， * t N  ， 经测算， 在某一时段， 地铁载客量与发车时间间隔t 相关， 当10 20 t  时地铁可达到满载状态，载客量为1200 人，当2 10 t  时，载客量会减少，减少的人数与(10 ) t  的平方成正比， 且发车时间间隔为2 分钟时载客量为560 人，记地铁载客量为 ( ) p t . （1）求 ( ) p t 的解析式； （2）若该时段这条线路每分钟的净收益为 6 ( ) 3360 360 p t Q t    （元） ，问当发车时间间隔为多少时，该时段这 条线路每分钟的净收益最大？ 20．如图，平行四边形ABCD中， 1 2 BM MC      ，N 为线段CD 的中点，E 为线段MN 上的点且 2 M E E N    . （1）若           AE AB AD ，求的值； （2）延长MN 、AD 交于点P ，F 在线段NP 上（包含端点） ，若   1 t AM AF t AN         ，求t 的取值范围. 21．已知函数g（x）＝mx2﹣2mx+1+n， （n≥0）在[1，2]上有最大值1 和最小值0．设f（x）= ���(���) ���． （其中e 为自 然对数的底数） （1）求m，n 的值； （2）若不等式f（log2x）﹣2klog2x≥0 在x∈[2，4]上有解，求实数k 的取值范围； （3）若方程f（|ex﹣1|）+ 2��� |������−1| −3k＝0 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 22．对于函数  y f x  ，如果对于定义域D 中任意给定的实数x，存在非负实数a，使得        f x f a x f a 恒 成立，称函数  y f x  具有性质  P a ． (1)判别函数    3 0 2 m x x x   ， ， 和 R n x x x   ， 是否具有性质  2 P ，请说明理由； (2)函数 2 2 R x x g x x  - ＝ - ， ，若函数  y g x  具有性质  P a ，求a 满足的条件； (3)若函数 h x 的定义域为一切实数， h x 的值域为[2  ， ），存在常数 0 a 且 h x 具有性质   0 P a ，判别   lg x h x   是否具有性质   0 P a ，请说明理由