2021年高考数学试卷（上海）（春考）（解析卷）

1/10 2021 年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共12 题，满分54 分，第1～6 题每题4 分，第7～12 题每题5 分） 1．已知等差数列 的首项为3，公差为2，则 21 ． 【思路分析】由已知结合等差数列的通项公式即可直接求解． 【解析】：因为等差数列 的首项为3，公差为2， 则 ．故答案为：21． 【归纳总结】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题． 2．已知 ，则 ． 【思路分析】由已知求得 ，再由复数模的计算公式求解． 【解析】： ， ， 则 ．故答案为： ． 【归纳总结】本题考查复数的加减运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基 础题． 3．已知圆柱的底面半径为1，高为2，则圆柱的侧面积为 ． 【思路分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可． 【解析】：圆柱的底面半径为 ，高为 ， 所以圆柱的侧面积为 ．故答案为： ． 【归纳总结】本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题． 4．不等式 的解集为 ． 【思路分析】由已知进行转化 ，进行可求． 【解析】： ，解得， ．故答案为： ． 【归纳总结】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题． 5．直线 与直线 的夹角为 ． 【思路分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【解析】： 直线 的斜率不存在，倾斜角为 ， 直线 的斜率为 ，倾斜角为 ， 故直线 与直线 的夹角为 故答案为： ． 【归纳总结】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，两条直线的夹角，属于基础题． 6．若方程组 无解，则 0 ． 【思路分析】利用二元一次方程组的解的行列式表示进行分析即可得到答案． 【解析】：对于方程组 ，有 ，当 2/10 时，方程组的解为 ， 根据题意，方程组 无解， 所以 ，即 ，故答案为：0． 【归纳总结】本题考查的是二元一次方程组的解行列式表示法，这种方法可以使得方程组 的解与对应系数之间的关系表示的更为清晰，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解 行列式表示法中对应的公式． 7．已知 的展开式中，唯有 的系数最大，则 的系数和为 64 ． 【思路分析】由已知可得 ，令 ，即可求得系数和． 【解析】：由题意， ，且 ， 所以 ，所以令 ， 的系数和为 ．故答案为：64． 【归纳总结】本题主要考查二项式定理．考查二项式系数的性质，属于基础题． 8．已知函数 的最小值为5，则 9 ． 【思路分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数 解析式变形成 ，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条 件． 【解析】： ， 所以 ，经检验， 时等号成立．故答案为：9． 【归纳总结】本题主要考查了基本不等式的应用，以及整体的思想，解题的关键是构造积 为定值，属于基础题． 9．在无穷等比数列 中， ，则 的取值范围是 ， ， ． 【思路分析】由无穷等比数列的概念可得公比 的取值范围，再由极限的运算知 ，从 而得解． 【解析】： 无穷等比数列 ， 公比 ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ， ， ． 【归纳总结】本题考查无穷等比数列的概念与性质，极限的运算，考查学生的运算求解能 力，属于基础题． 10．某人某天需要运动总时长大于等于60 分钟，现有五项运动可以选择，如表所示，问 有几种运动方式组合 23 种 运动 运动 运动 运动 运动 7 点 点 8 点 点 9 点 点 10 点 点 11 点 点 3/10 30 分钟 20 分钟 40 分钟 30 分钟 30 分钟 【思路分析】由题意知至少要选2 种运动，并且选2 种运动的情况中， 、 、 的 组合不符合题意，由此求出结果． 【解析】：由题意知，至少要选2 种运动，并且选2 种运动的情况中， 、 、 的 组合不符合题意； 所以满足条件的运动组合方式为： （种． 故答案为：23 种． 【归纳总结】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了统筹问题的思想应用问题，是 基础题． 11．已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，以 为顶点， 为焦点作抛 物线交椭圆于 ，且 ，则抛物线的准线方程是 ． 【思路分析】先设出椭圆的左右焦点坐标，进而可得抛物线的方程，设出直线 的方程 并与抛物线联立，求出点 的坐标，由此可得 ，进而可以求出 ， 的长度， 再由椭圆的定义即可求解． 【解析】：设 ， ，则抛物线 ， 直线 ，联立方程组 ，解得 ， ， 所以点 的坐标为 ，所以 ，又 所以 ，所以 ， 则 ， 所以抛物线的准线方程为： ， 故答案为： ． 【归纳总结】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能 力，属于中档题． 12．已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是 ． 【思路分析】在单位圆中分析可得 ，由 ，即 ， ，即可求得 的最小值． 【解析】：在单位圆中分析，由题意可得 的终边要落在图中阴影部分区域（其中 ， 所以 ， 因为对任意 都成立， 所以 ，即 ， ，同时 ，所以 的最小值为 ． 4/10 故答案为： ． 【归纳总结】本题主要考查三 角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题． 二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共20 分) 13．下列函数中，在定义域内存在反函数的是 A． B． C． D． 【思路分析】根据函数的定义以及映射的定义即可判断选项是否正确． 【解析】：选项 ：因为函数是二次函数，属于二对一的映射， 根据函数的定义可得函数不存在反函数， 错误， 选项 ：因为函数是三角函数，有周期性和对称性，属于多对一的映射， 根据函数的定义可得函数不存在反函数， 错误， 选项 ：因为函数的单调递增的指数函数，属于一一映射，所以函数存在反函数， 正确， 选项 ：因为函数是常数函数，属于多对一的映射，所以函数不存在反函数， 错误， 故选： ． 【归纳总结】本题考查了函数的定义以及映射的定义，考查了学生对函数以及映射概念的 理解，属于基础题． 14．已知集合 ， ， ， ，则下列关系中，正确 的是 A． B． C． D． 【思路分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可． 【解析】：已知集合 ， ， ， ， 解得 或 ， ， ， ， ；则 ， ， 故选： ． 5/10 【归纳总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 15．已知函数 的定义域为 ，下列是 无最大值的充分条件是 A． 为偶函数且关于点 对称 B． 为偶函数且关于直线 对称 C． 为奇函数且关于点 对称 D． 为奇函数且关于直线 对称 【思路分析】根据题意，依次判断选项：对于 ，举出反例可得三个选项错误，对于 利用反证法可得其正确． 【解析】：根据题意，依次判断选项： 对于 ， ， 为偶函数，且关于点 对称，存在最大值， 错误， 对于 ， ， 为偶函数且关于直线 对称，存在最大值， 错误， 对于 ，假设 有最大值，设其最大值为 ，其最高点的坐标为 ， 为奇函数，其图象关于原点对称，则 的图象存在最低点 ， 又由 的图象关于点 对称，则 关于点 对称的点为 ， 与最大值为 相矛盾，则此时 无最大值， 正确， 对于 ， ， 为奇函数且关于直线 对称， 错误， 故选： ． 【归纳总结】本题考查了充分条件和反证法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16．在 中， 为 中点， 为 中点，则以下结论：①存在 ，使得 ；②存在三角形 ，使得 ；它们的成立情况是 A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【思路分析】设 ， ， ， ， ，由向量数量的坐标运算 即可判断①； 为 中点，可得 ，由 为 中点，可得 与 的 交点即为重心 ，从而可判断② 【解析】：不妨设 ， ， ， ， ， ① ， ， 若 ，则 ，即 ， 满足条件的 存在，例如 ，满足上式，所以①成立； ② 为 中点， ， 与 的交点即为重心 ， 因为 为 的三等分点， 为 中点， 所以 与 不共线，即②不成立． 6/10 故选： ． 【归纳总结】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题． 三、解答题（本大题共5 题，共14+14+14+16+18＝76 分） 17．（14 分）四棱锥 ，底面为正方形 ，边长为4， 为 中点， 平面 ． （1）若 为等边三角形，求四棱锥 的体积； （2）若 的中点为 ， 与平面 所成角为 ，求 与 所成角的大小． 【思路分析】（1）由 ，代入相应数据， 进行运算，即可； （2 ）由 平面 ，知 ，进而有 ， ，由 ，知 或其补角即为所求，可证 平面 ，从而有 ，最后在 中，由 ，得解． 【解析】：（1） 为等边三角形，且 为 中点， ， ， 又 平面 ， 四棱锥 的体积 ． （2） 平面 ， 为 与平面 所成角为 ，即 ， 为等腰直角三角形， ， 分别为 ， 的中点， ， ， ， 或其补角即为 与 所成角， 7/10 平面 ， ， 又 ， ， 、 平面 ， 平面 ， ， 在 中， ， 故 与 所成角的大小为 ． 【归纳总结】本题考查棱锥的体积、线面角和异面直线夹角的求法，理解线面角的定义， 以及利用平移法找到异面直线所成角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能 力和运算能力，属于基础题． 18．（14 分）已知 、 、 为 的三个内角， 、 、 是其三条边， ， ． （1）若 ，求 、 ； （2）若 ，求 ． 【思路分析】（1）由已知利用正弦定理即可求解 的值；利用余弦定理即可求解 的值． （2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得 ， ， 的值，进而根据正弦定理可得 的值． 【解析】：（1）因为 ，可得 ， 又 ，可得 ， 由于 ，可得 ． （2）因为 ， 可得 ， 又 ， 可解得 ， ，或 ， ， 因为 ，可得 ， ， 若 ， ， 可 得 ， 可 得 ， 可得 为钝角，这与 为钝角矛盾，舍去， 所以 ，由正弦定理 ，可得 ． 【归纳总结】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基 本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．（14 分） （1）团队在 点西侧、东侧20 千米处设有 、 两站点，测量距离发现一点 满足 8/10 千米，可知 在 、 为焦点的双曲线上，以 点为原点，东侧为 轴正 半轴，北侧为 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 在北偏东 处，求双曲线标准方程 和 点坐标． （2）团队又在南侧、北侧15 千米处设有 、 两站点，测量距离发现 千 米， 千米，求 （精确到1 米）和 点位置（精确到1 米， 【思路分析】（1）求出 ， ， 的值即可求得双曲线方程，求出直线 的方程，与双 曲线方程联立，即可求得 点坐标； （2）分别求出以 、 为焦点，以 ， 为焦点的双曲线方程，联立即可求得点 的坐 标，从而求得 ，及 点位置． 【解析】：（1）由题意可得 ， ，所以 ， 所以双曲线的标准方程为 ， 直线 ，联立双曲线方程，可得 ， ， 即点 的坐标为 ， ． （2）① ，则 ， ，所以 ， 双曲线方程为 ； ② ，则 ， ，所以 ， 所以双曲线方程为 ， 两双曲线方程联立，得 ， ， 所以 米， 点位置北偏东 ． 【归纳总结】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题． 20．（16 分）已知函数 ． （1）若 ，求函数的定义域； （2）若 ，若 有2 个不同实数根，求 的取值范围； （3）是否存在实数 ，使得函数 在定义域内具有单调性？若存在，求出 的取值范 围． 【思路分析】（1）把 代入函数解析式，由根式内部的代数式大于等于0 求解绝对值 的不等式得答案； （2） ，设 ，得 ， ，求得等式右 边关于的函数的值域可得 的取值范围； （3）分 与 两类变形，结合复合函数的单调性可得使得函数 在定义域内 具有单调性的 的范围． 【解析】：（1）当 时， ， 由 ，得 ，解得 或 ． 函数的定义域为 ， ， ； 9/10 （2） ， ， 设 ， 有两个不同实数根，整理得 ， ， ， ，当且仅当 时，方程有2 个不同实数根， 又 ， 的取值范围是 ； （3）当 时， ，在 ， 上单调递 减， 此时需要满足 ，即 ，函数 在 ， 上递减； 当 时， ，在 ， 上递减， ， ，即当 时，函数 在 上递减． 综上，当 ， 时，函数 在定义域 上连续，且单调递减． 【归纳总结】本题考查函数定义域的求法，考查函数零点与方程根的关系，考查函数单调 性的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题． 21．（18 分）已知数列 满足 ，对任意 ， 和 中存在一项使其为另一项 与 的等差中项． （1）已知 ， ， ，求 的所有可能取值； （2）已知 ， 、 、 为正数，求证： 、 、 成等比数列，并求出 公比 ； （3）已知数列中恰有3 项为0，即 ， ，且 ， ，求 的最大值． 【思路分析】（1）根据 和 中存在一项使其为另一项与 的等差中项建立等式，然 后将 ， ， 的值代入即可； （2）根据递推关系求出 、 ，然后根据等比数列的定义进行判定即可； （3）分别求出 ， ， 的通项公式，从而可求出各自的最大值，从而可求出所求． 【解析】：（1）由题意， 或 ， 解得 ， 解得 ，经检验， ， （2）证明： ， ，或 ，经检验， ； ，或 （舍， ； ，或 （舍， ； ，或 （舍， ；综上， 、 、 成等比数列，公 9/10 比为 ； 10/10 （3）由 或 ，可知 或 ， 由第（2）问可知， ，则 ，即 ， ，则 ， ， 同理， ， ，同理， ， 的最大值 ． 【归纳总结】本题主要考查了数列的综合应用，等比数列的判定以及通项公式的求解，同 时考查了学生计算能力，属于难题．