2022年高考数学试卷（上海）（春考）（解析卷）

1/15 2022 年全国普通高等学校春季招生统一考试 上海 数学试卷 考生注意： 1. 本试卷共4 页，21 道试题，满分150 分，考试时间120 分钟. 2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非 选择题)在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、班级、准考证号. 一、填空题(本大题共有12 题，满分54 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填 写 结果，第1 题至第6 题每个空格填对得4 分，第7 题至第12 题每个空格填对得 5 分，否则 一律得零分. 1. 已知复数z=2+i (其中i 为虚数单位),则z= 【解析】根据定义， Z=2-i. 2. 已知区间A=(-1,2)B=(1,3), 则A∩B= 【解析】(1,2) . 3. 求不等式 的解集为 【解析】(0,1) . 4.已知角α 满足： tanα=3, 则t 【解析】 5.设二元一次方程组 ,若方程组有无穷组解，则m 的值为 【解析】只需D=D₂=D,=0, 6. 已知函数f(x)=x³,f-'(x) 【解析】 f(x)=x³=27=x=3, 1/15 2/15 即 ,从而m=4. 为 f(x) 的反函数，则f'(27)= 所以f'(27)=3. 7.已知有二项 ,其展开式的则x⁴ 前的系数为 【解析】展开通项为 ,需3(12-r)-r=-4, 数为66. 2/15 3/15 则r=10, 即 3/15 4/15 , 系 8. 在三角形ABC 中 ，AB=2,AC=3, , 则AABC 外接圆的半径为 【解析】利用余弦定理，得 |BCF= |ABP+ |ACP-2 |AB |- |AC |-cosA 代入可得 ,再利用正弦定理，得! 从而外接圆半径 9.设由数字1、2、3、4 组成上各个位置上数字不能重复的四位数，则大于2134 的四位 数 的个数为 【解析】显然，首位只为2 或3 或4,当首位为3 或4 时，均符合要求，共2×F³=12 种 当 首位为2 时 综上，共12+4+1=17 种. 10.已知直角三角形ABC, 且AC=BC=2,M 为边AC 的中点，若P 在边AB 上运动 (点P 可与A,B 重合),则MP ·CP 的最小值为 【解析】建系可得各点坐标为C(0,0),B(2,0),A(2,0),M(2,0),P(x,2-x), 其中0≤x≤2, 则 MP=(x,1-x),CP=(x,2-x), 从而MP.CP=x²+(1-x)(2-x)=2x²-3x+3, 其最小值 为 11.已知双曲线T: ,任取双曲线T 右支上两个不相同的点 P(x,y₁),P(x₂,y₂), 都 有xx,-yy,>0 成立，则a 的取值范围是 【解析】设B(x₂-y₂) 显然B 也在右支上，转化为OF ·OF>0 恒成立，即角小于90°利 用渐近线和a≥1 12.已知奇函数f(x) 在xe(0,1) 时的解析式为f(x)=lnx, 且f(x) 关于x=1 对称，设方 程 f(x)=x+1 的正数根从小到大依次记为x,x₂….,x, 则 【解析】如图所示，答案为2. , 4/15 二、 选择题(本大题共有4 题，满分20 分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分. 13. 以下函数的定义域为R 的 是 ( ) 5/15 A.y=x ¹ ⁻ B. C. D. y=x² 【答案】 C 14.已知实数a,b,c,d 满足： a>b>c>d, 则下列选项正确的是( ) A. a+d>b+c B. a+c>b+d C. ad>bc D. ab>cd 【答案】 B 【解析】 对于A, 可举反例：3>2>1>- 1; B 显然是正确的； 对于C, 可举反例： 2>1>-2>-3. 15.如图所示，设上海海关楼的钟楼为正方体，且钟楼的四个侧 面均有时钟悬挂.在0 点到12 点中时针与分针的转动中(包括0 点，但不包括12 点),相邻两面的时针出现两两相互垂直的情况 的次数为( ) A.0 B.2C.4 D.12 【答案】B 【解析】根据对称性，不妨考虑0,2,3 点的情况，可结合垂直相关理论，或者建立空 间向量，均可判断出只有3 点和9 点是垂直的，共2 次. 16.设{a,}为等比数列，设S, 和T,分别为{a.}的前n 项和与前n 项积，则下列命题 正确的是： ( ) A. 若S>Smu, 则{S,}为递增数列 B. 若T>T, 则{T}为递增数列 C. 若{S} 为递增数列，则a202≥a2021 D. 若{T}为递增数列，则a₂z≥a22 【答案】D 【解析】 对于A,a2o₂≥0, 对于C,S-S=a>0, 5/15 6/15 不正确；对于B,a₁=-2,q=2,T22>0,T₂<0 不正确； 不正确；对于D, , 则q≥1, 正 确 三、解答题(本大题共有5 题，满分76 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区 域内写出必要的步骤. 17. (本题满分14 分)本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分. 设有底面半径为1 的圆柱OO,AA,为圆柱的母线. (1)若AA=4, 设M 为AA,的中点，求直线MO 与圆柱上底面所成角； (2)若过OO,的轴截面为正方形，求圆柱OO,的侧面积和体积 【解析】 (1) (2)AA=α 侧面积Sm=2π×1×2=4π, 体积V=π×1²×2=2π . 18. (本题满分14 分)本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分. 设有无穷数列{a.},记{a }的前n 项和为S, 其中a₂=1 (1)若{a,} 为等比数列，且S₂=3, 求 (2)若{a,}为等差数列，且S₂≥n, 求公差d 的取值范围. 【解析】 (2) 当n=1=d≤1; 6/15 7/15 当 7/15 8/15 19. (本题满分14 分)本题共有2 个小题，第1 小 题满分6 分，第2 小题满分8 分. 上海某地区想设计建造一个自然保护区，如图所示，在一块矩形绿地ABCD 中 ( 其 中AB 为 30 米， AD 为15 米),过道EF 将其分为两个主要区域 (E,F 分别是AB,CD 边上 动点),监 测区为以D 为圆心， AD 为半径的四分之一圆，古树区为四边形BEFC, 且 EF 与圆弧相切， 记切点为G. (1)若∠ADE=20°, 求 EF 的长(结果精确到0.1); (2)E 点在线段AB 上何处时，才能使古树区的面积最大，并求出最大值(结果精确到 0.01), 如图所示： DG⊥EF,FH⊥AB 【解析】 设角∠DFE=θ, 则 8/15 9/15 , 9/15 10/15 则 2=cosθ+msin0=√m²+1sin0+φ≤√m²+1→m≥√3, 20. (本题满分16 分)本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分， 第3 小 题满分6 分. 椭圆T: ,A,B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，且直线x=a 上有两个 不相同 的点C,D(C 是第一象限的点) ( 1 ) 设F 是椭圆T 的右焦点，且 ,求椭圆T 的标准方程； (2)若C,D 两点的纵坐标分别为2 和1,判断：直线BC 与AD 的交点是否在椭圆 r 上，并 说明理由； (3)设直线AD 与直线BC 交椭圆T 于P,Q 两点，且P,Q 关于原点对称，求 |CD| 的 最小值. 【解析】 (1) (3) 则 10/15 11/15 IOB=1 ∴ |OF√3,c=√3,b=1, ∴ 所以 , 设xo=acosθ;yo=sinθ, 代入得： , 当且仅当 时取等号； 11/15 12/15 (注意： 12/15 13/15 13/15 14/15 ), 21. (本题满分18 分)本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第2 小题满分6 分，第3 小 题满分8 分. 在定义域为R 的函数f(x)上，定义下面两个变换：φ:f(x)→f(x)-f(x-1), ø:f(x)→ |f(x+1)-f(x)|, 其中t>0 (1)若t=1,f(x)=2*, 对 f(x)进行φ 变换后得到函数g(x), 求方程g(x)=2 的解； ( 2 ) 若f(x)=x², 对f(x)进行 变换后得到函数h(x),解不等式： h(x)≥f(x); (3)已知定义在R 上的函数f(x), 在(-x,0) 上单调递增，对函数f(x) 先作φ 变换再做w 变 换得到函数h(x), 对函数f(x) 先作 变换再做φ 变换得到函数h₂(x), 若对任意t>0 恒 有h(x)=h₂(x), 证明：函数f(x) 在R 上单调递增. 【解析】(1) g(x)=2⁴-2- ¹=2=x=2, (2)|(x+1)²-x² |=|2x+² |≥x², 当 时2x+t²≥x²=x ∈[(1-√2)r,(1+√2)], 综上x∈[(1- √2)t,(1+ √2)U{-}; (3)h(x)=[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|, h₂(x)=|f(x+1)-f(x)|- 1f(x)-f(x- 1)|, |A-BHA|-|B| 当且仅当AB≥0 且 |A|B| 时成立，进一步，若B>0, 则必有A>B>0, 所以若f(x)-f(x- 1)>0, 必有f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x- 1)>0( △); (反证法)假设存在x₁<x₂, 满足f(x₁)≥f(x₂), 令t=x₂-x, 显然t>0, 此时必存在keN, 满足x₂-kt<0 , 由h(x₂-k)=h₂ (x₂-kr), 知 [f(x₂-(k- 1)r)-f(x₂-kr)]-[f(x₂-kr)-f(x₁-kr)] =|f(x₂-(k- 1))-f(x₂-kr)}-|f(x₂-kr)-f(x₁-k)|, 而由于0>x₂-kt>x₁-kt,f(x) 在(-x,0) 上递增， 知f(x₂-kr)-f(x₁-kt)>0, 根据(△),知f(x₂- (k-1)r)-f(x₂-kr)>0, 14/15 再由h₁(x₂-(k- 1)t)=h₂(x₂-(k- 1)r), 知f(x₂-(k-2)r)-f(x₂-(k- 1))>0, 15/15 依次类推，最终得到f(x₂)-f(x₁)>0, 与假设矛盾，命题得证. 题目：已知奇函数f(x)在xe(0,1)时的解析式为f(x)=lnx, 且f(x)关于x=1 对称. 设方程 f(x)=x+1 的所有正实数解从小到大排列为x,x₂,,x…, 则 证明：先证f(x)以4 为周期，由条件 f(-x)=-f(x),f(a+x)=f(1-x), 则 f(x+4)=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(-x)=f(x). 易知4n-2<x₂ i<4n-1<x₂<4n,neN'. 设xm₁=4n-1+5,,0<s,<1;x₂=4n-1,0<t,<1. 0=f(xm)-x₂1- 1=f(4n-2+s,)-(4n-2+s,)- 1 =f(2+s,)-s-(4n- 1)=f(-s,)-s,-(4n- 1) =-f(,)-s,-(4n- 1)=-lnsa-sa-(4n- 1). Ins,=-s,-(4n- 1)<-(4n- 1), 故0<s,<e(4- °, 所以 ,即 0=f(x₂)-x₂- 1=f(4n-t,)-(4n- 1,)- 1 =f(-t)+t,-(4n+1)=-f(,)+t,-(4n+1) =-Int,+1,-(4n+1). Int,=t,-(4n+1)<-4n, 故0<t,<e", 所以 ,即 综上可知， 于是