2023年高考数学试卷（上海）（春考）（解析卷）

1/8 2023 年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写 结果，第 1 题至第 6 题每个空格填对得 4 分，第 7 题至第 12 题每个空格填对得 5 分，否则 一律得零分. 1 ．【解答】解：集合 A ＝{1 ，2} ，B ＝{1 ， a}，且 A ＝B， 则a ＝2. 故答案为： 2 . 2 ．【解答】解：因为向量 ＝（3 ，4），＝（1， 2）， 所以﹣2 ＝（3﹣2×1 ，4﹣2×2）＝（1 ， 0）. 故答案为： （1 ， 0）. 3 ．【解答】解：因为|x﹣1|≤2， 所以﹣2≤x﹣1≤2， 所以﹣1≤x≤3， 故答案为： [﹣1 ， 3] . 4 ．【解答】解：根据圆 C 的一般方程为 x2+2x+y2 ＝0，可得圆 C 的标准方程为（x+1） 2+y2 = 1， 故圆 C 的圆心为（0， ﹣1） ，半径为 1， 故答案为： 1 . 5 ．【解答】解：由题意知 P（A）+P（ ）＝1，所以 P（ ）＝1﹣P（A）＝0.5， 故答案为： 0.5 . 6 ．【解答】解：正实数 a、b 满足 a+4b ＝1，则 ab ＝ ，当 且仅当 a ＝ ， 时等号成立 . 故答案为： . 7 ．【解答】解：极差为 186﹣154 ＝32，组距为 5，且第一组下限为 153.5， = 6.4，故组数为 7 组， 故答案为：7 . 8 ．【解答】解：根据题意及二项式定理可得： a0+a4 ＝ ＝17 . 故答案为： 17 . 9 ．【解答】解：当x≥0 时，g（x）＝2⇔log2 （x+1）＝2 ，解得x ＝3； 当 x＜0 时，g（x）＝f( x ﹣）＝2x+1 ＝2， 解得x ＝0 （舍）； 所以 g（x）＝2 的解为： x ＝3 . 2/8 故答案为： x ＝3 . 10 ．【解答】解：从 10 人中任选3 人的事件个数为 恰有 1 名男生2 名女生的事件个数为 ， 则恰有 1 名男生2 名女生的概率为 ， 故答案为：0.5 . 11 ．【解答】解：设z1 1 ﹣ ＝cosθ+isinθ, 则z1 ＝1+cosθ+isinθ , 因为 z1 ＝i• ，所以z2 ＝sinθ+i（cosθ+1） ， 所以|z1 z ﹣2| = = = , 显然当 ＝ 时，原式取最小值0， 当 =﹣ 1 时，原式取最大值2 ， 故|z1 z ﹣2|的取值范围为[0 ， ] . 故答案为： [0 ， ] . 12 ．【解答】解：由题知 再设 代入已知的不等式得 所以 故 ＝y . 故答案为： . 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸 的相应编号 上，将代表答案的小方格涂黑，第 13 题至第 14 题选对得 4 分，第 15 题至第 16 题选对得 5 分，否则一律得零分 . 13 ．【解答】解：对于 A，由正弦函数的性质可知， y ＝sinx 为奇函数； 对于 B，由正弦函数的性质可知， y ＝cosx 为偶函数； 对于 C，由幂函数的性质可知， y＝x3 为奇函数； 对于 D，由指数函数的性质可知， y ＝2x 为非奇非偶函数 . 故选： B . 14 ．【解答】解：显然 2021 年相对于 2020 年进出口额增量增加特别明显，故最后一年的增 长率最大， A 对； 统计图中的每一年条形图的高度逐年增加，故 B 对； 2020 年相对于 2019 的进口总额是减少的，故 C 错； , 且x， y ，z＞0 ，x2+y2+z2 ＝1， ,可得 ,解得 ， , z≥y， , , , , 3/8 显然进出口总额 2021 年的增长率最大，而 2020 年相对于 2019 年的增量比 2019 年相对 于 2018 年 的增量小，且计算增长率时前者的分母还大，故 2020 年的增长率最小， D 对 . 故选： C. 15 ．【解答】解：对于 A，当 P 是 A1C1 的中点时， BP 与 DD1 是相交直线； 对于 B，根据异面直线的定义知， BP 与 AC 是异面直线； 对于 C，当点 P 与 C1重合时， BP 与 AD1 是平行直线； 对于 D，当点 P 与 C1重合时， BP 与 B1C 是相交直线 . 故选： B . 16 ．【解答】解：由对任意正整数 k＞2022，都有|Sk|＞|Sk+1|，可以知道 a2022 ， a2033 ，a2024， , an 不可能为等差数列， 因为若 d＝0 ，an ＝0，则|Sk| ＝|Sk+1|，矛盾； 若 d＝0 ，an＜0，当 n→+∞, Sn→ ﹣∞, k 使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾； 若 d＝0 ，an＞0，当 n→+∞, Sn→+∞,必有 k 使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾； 若 d＞0，当 n →+∞, an→+∞, Sn→+∞必有 k 使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾； 若 d＜0，当 n →+∞, an→ ﹣∞, Sn→ ﹣∞,必有 k 使得|Sk+1|＞|Sk|，矛盾； 所以选项 B 中的 a2 ，a4 ， a6 ， … ，a2n 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确； 选项 D 中的 a2022 ， a2023 ，a2024 ， … ， an 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确； 选项 A 中的 a1 ，a3 ， a5 ， … ，a2n﹣1 为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确； 事实 上，只需取 即可． 故选： C． 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区 域内写出必要的步骤. 17 ．【解答】解：（1）连接 AM，PM， ∵PA⊥平面 ABC， ∴∠PMA 为直线 PM 与平面 ABC 所成的角， 在△PAM 中，∵AB⊥AC，∴BC ＝ ＝5， ∵M 为 BC 中点，∴AM＝ BC＝ ， ∴tan∠PMA ＝ ，即直线 PM 与平面 ABC 所成角为 arctan ； （2）由 ME∥平面 PAB，MF∥平面 PAB，ME∩MF＝M， ∴平面 MEF∥平面 PAB，∵ME⊂平面 MEF，∴ME∥平面 PAB， ∵PA⊥平面 ABC，AC⊂平面 ABC， ∴PA⊥AC，∵AB⊥AC，PA∩AB＝A ，PA，AB⊂平面 PAB， ∴AC⊥平面 PAB，∴AE 为直线 ME 到平面 PAB 的距离， ∵ME∥平面 PAB，ME⊂平面 ABC，平面 ABC∩平面 PAB＝AB， 4/8 ∴ME∥AB，∵M 为 BC 中点，∴E 为 AC 中点，∴AE ＝2， ∴直线 ME 到平面 PAB 的距离为 2． 18 ．【解答】解：（1）因为 A+C＝120°,且 a ＝2c， 由正弦定理可得 sinA ＝2sinC＝2sin（120°﹣A）＝ cosA+sinA， 所以 cosA ＝0， 由 A 为三角形内角可得 A ＝90°, C＝30°, B ＝60°, 因为 b ＝2， 所以 c = ; （2）若 A﹣C＝15°, a ＝ csinA， 由正弦定理得 sinA ＝ sinCsinA， 由 A 为三角形内角可得 sinA＞0， 所以 sinC= , 由题意可得 C 为锐角， 所以 C＝45°, A ＝60°, B ＝75 ° , 由正弦定理可得， = , 所以 a ＝ ＝3 ， 所以△ABC 的面积 S△ABC ＝ absinC＝ ＝3﹣ 19 ．【解答】解：（1）S= = = ; （2）由题意，建筑体 3n 米，底面面积 A = , ∴体积 V0 ＝3n•A ＝3T， 由f＝ ＝18，∴底面周长 L = , ∴F0＝L•3n+A ＝ •3n+ ， ∴“体形系数”S＝ ＝ + ＝ + ，n∈N *， 计算可得 n ＝6 时， S 最小． 20．【解答】解： （1）若 m ＝2，则 a2 ＝4 ，b2 ＝3，∴a ＝2 ，c ＝ ＝1，∴e ＝ ＝ ； . 5/8 （2）由已知得 A1（m ， 0） ，A2（m ， 0） ，设 E（p ， 1） ， ∴ + ＝1，即 p2 ＝ m2， ∴ ＝（m﹣p，﹣1）， ＝（﹣m﹣p，﹣1），∴ • ＝（m﹣p，﹣1） •（﹣ m﹣p，﹣1）＝p2﹣m2+1＝﹣ 2， ∵p2 ＝ m2 ，代入求得 m ＝3； （3）设直线 y ＝ x+t，联立椭圆可得 + ＝1， 整理得（3+3m2）x2+2 tm2x+（t2﹣3）m2 ＝0， 由△≥0，∴t2 ≤3m2+3， 联立双曲线可得 ﹣ ＝1，整理得（3﹣m2）x2+2 tx+（t2﹣5m2 ）＝0， 由Δ＝0 ， t2 ＝5m2﹣15， ∴5m2﹣15≤3m2+3， ∴﹣3≤m≤3， 又 5m2﹣15≥0，∴m≥ ，∵m≠ ， 综上所述： m∈（ ， 3]． 21 ．【解答】解：（1）f（x）＝2x3﹣3x2+x，设 h（x）＝f（x）﹣g（x）＝2x3﹣3x2， h′（x）＝6x2﹣6x ＝6x（x﹣1），当 x∈[0 ， 1]时，易知 h′（x）＝6x（x﹣1）≤0，即 h （x）单调减， ∴h（x）max ＝h（0）＝0，即 f（x）﹣g（x）≤0⇒f（x）≤g（x）， ∴g（x）是 f（x）的“控制函数“； （2） ， ∴ ∴f（x ≤ ） h（x） ， 即y ＝h（x）为函数 y＝f（x “ “ ）的控制函数， 又 ，且 ∴ ， ; 证明： （3）f（x）＝ax3 ﹣（a+1） x2+x，f′（x）＝3ax2 2 ﹣（a+1）x+1， y＝f（x ）在x＝x0 （x0 ∈ （0， 1） ）处的切线为 t（x） ， t（x） ＝f′（x0） （x x ﹣ 0） +f（x0） ， t（x0 ） ＝f（x0） ， t（1） ＝0⇒f（1） ＝0， , , , 6/8 , ) < ≥ > 恒成立， 函数t（x）必是函数 y＝f（x “ “ ）的控制函数， 是函数 y =f（x “ “ ）的控制函数， “ “ 此时控制函数g（x）必与 y＝f（x ）相切于x 点，t（x）与 y＝f（x）在 处相切， 且过点（1 ，0） ， 在 之间 的点不可能使得 y ＝f （x ） 在 或c ＝1， 6/8 7/8 7/8 8/8 切线下方， 所以 所以曲线 y＝f（x ）在x＝x0 （x0 ∈（0， 1） ）处的切线过点（1 ，0） ， 且c∈[x0， 1]， 当且仅当c＝x0 或c ＝1 时， .