广东省东莞市东华高级中学2021-2022学年高一上学期中段考试数学试题

高一数学中段考考试试卷 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 3.点 位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.若实数 ， 满足 ，则 的最小值是（ ） A.18 B.6 C. D. 5.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6．函数 的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 7.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧 化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气，按照国家标准，教室内空气中二氧化碳 日平均最高容许浓度应小于等于0.1%，经测定，刚下课时，某班教室空气中含有0.2%的 二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为 ，且y 随时间t（单位：分钟）的变 化规律可以用函数 描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标 准至少需要的时间为（ ）（参考数据 ） A．7 分钟 B．9 分钟 C．11 分钟 D．14 分钟 8.设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共4 小题，各题均有多个选项符合题意，全对得5 分，错选得0 分，漏 选得2 分，共20 分）. 9．下列说法正确的是 A．如果 是第一象限的角，则 是第四象限的角 B．如果 ， 是第一象限的角，且 则 C．若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形面积为 D．若圆心角为 的扇形的弦长为 ，则该扇形弧长为 10.若角 的终边上有一点 ，则 的值可以是（ ） A． B． C． D． 11.下列结论正确的是（ ） A.“ ， ”的否定是“ ， ” B.函数 在 单调递增，在 单调递增，则 在 上是增函数 C. 函数 是 上的增函数，若 成立，则 D.函数 定义域为 ，且对 ， 恒成立，则 为奇函数 12.函数 恰有2 个零点的充分条件是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.已知函数 是奇函数，则 ________________. 14.在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 ，则 ________ _． 15.若 ，则 的取值组成的集合为_____________________.. 16.设函数 的最小值为2，则实数 的取值范围是______ ______. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10 分） 如图，在平面直角坐标系中，锐角 和钝角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半 轴重合，终边分别与单位圆交于 两点，且 . （1）求 的值； （2）若点A 的横坐标为 ，求 的值. 18．（本小题满分12 分） 已知集合 ， ． （1）若 ，求 和 ； （2）若 ，求实数m 的取值范围． 19．（本小题满分12 分） 已知函数 ，且 ． （1）求m 的值； （2）判定 的奇偶性，并给予证明； （3）判断 在 上的单调性，并给予证明． 20．（本小题满分12 分） 已知 ． （1）若 的解集为 ，求实数a，b 的值； （2）解关于x 的不等式 ． 21．（本小题满分12 分） 市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快，已知每投放 个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/ 升）随着时间x （分钟）变化的函数关系式近似为 ，其中 ，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的 洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升） 时，它才能起到有效去污的作用． （1）若只投放一次4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ （2）若第一次投放2 个单位的洗衣液，6 分钟后再投放2 个单位的洗衣液，问能否使接下 来的4 分钟内持续有效去污？说明理由． 22.（本小题满分12 分） 已知函数 在区间[2，3]上有最大值4 和最小值1，设 . （1）求 ， 的值 （2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围； （3）若 有三个不同的实数解，求实数 的取值范围. 周测10 评分标准 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B C B C C 8．C 【解析】依题意可知 时， ，即 ， 所以 ，由 ，得 ，两边取以e 为底的对 数得 ，所以至少需要11 分钟，故选：C． 二、多项选择题（共4 小题，每小题均有两个选项符合题意，全对得5 分，错选得0 分， 漏选得2 分，共20 分）. 题号 9 10 11 12 答案 AD AD ACD BC 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.1 14. 15． 16. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）∵ ，∴ ， ， ∴ . .........................5 分 （2）∵点A 的横坐标为 ，∴ ， ， ， ∴ . ........................ 10 分 18．【解析】（1）若 ，则 ，......................... 1 分 所以 ， ......................... 3 分 因为 ，所以 ． ......................... 6 分 （2）因为 ， 当 时， ，解得 ，满足 ； ......................... 8 分 当 时， ，解得 ， ......................... 11 分 综上所述：实数m 的取值范围是 或 ． ......................... 12 分 19．（1）因为 ，所以 ； ......................... 3 分 （2）由（1）可得 ，因为 的定义域为 ， 又 ，所以 是奇函数； ......................... 7 分 （3）函数 在 上为增函数，理由如下： 任取 ， 则 ....................10 分 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 在 上为单调增函数． ......................... 12 分 20．【详解】（1）因为 的解集为 ， 所以 为方程 的根，所以 ，解得 ． ......................... 3 分 所以由 ，解得 ，所以 ． ......................... 6 分 （2 ） 等价于 ，整理得： ． ...................... 7 分 当 时，解不等式得 或 ； 当 时，解得 ； 当 时，解得 或 ； ......................... 11 分 综上，当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 ． 12 分 21．【解析】（1）因为 ，所以 ． ......................... 1 分 则当 时，由 ，解得 ，所以此时 ． ......................... 4 分 当 时，由 ，解得 ，所以此时 ． ......................... 5 分 综上，得 ，若一次投放4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达8 分钟． ........................ 6 分 （2）假设要使接下来的4 分钟内持续有效去污，则： 当 时 ， ....... 8 分 当且仅当 时等号取到．（因为 ，所以 能取到） 所以y 有最小值 ．令 ， 解得 ， ......................... 10 分 所以a 的最小值为 ．即要使得接下来的4 分钟内持续有效去污，6 分 钟后至少需要再投放1.4 个单位的洗衣液．所以，若第一次投放2 个单位的洗衣液，6 分钟 后再投放2 个单位的洗衣液，能使接下来的4 分钟内持续有效去污． ......................... 12 分 22. （1）由题意 ，又 ，∴ 在 上单调递增， ∴ ，解得 ． ......................... 3 分 （2）由（1） ， ，