四川省成都市树德中学2021-2022学年高二上学期11月阶段性测试（期中）数学（文）试题

高二数学（文科）2020-11 阶考 第1页 共4 页 树德中学高2020 级高二上学期11 月阶段性测试数学（文科）试题 命题人：梁刚 审题人：罗莎 一、选择题： （本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1.已知两直线l1：x-y＋6＝0 与l2：-3x＋3y-2＝0，则l1 与l2 间的距离为( ) A. 2 B.8 2 3 C. 3 D.8 3 3 2.命题“∀x∈R， x       3 1 ＞0”的否定是 ( ) A．∃x0∈R， 0 1 ( ) 3 x ＜0 B．∀x∈R， x       3 1 ≤0 C．∀x∈R， x       3 1 ＜0 D．∃x0∈R， 0 1 ( ) 3 x ≤0 3.双曲线x2 a2－y2 4a2＝1(a≠0)的渐近线方程为( ) A．y＝±2x B．y＝±1 2x C．y＝±4x D．y＝± 2x 4.若两定点A，B 的距离为3，动点M 满足|MA|＝2|MB|，则M 点的轨迹围成区域的面积为( ) A．π B．2π C．3π D．4π 5.下列命题中，结论为真命题的组合是（ ） ①．“m= 2 1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0 相互垂直”的 充分而不必要条件 ②．若命题“¬p∧¬q”为假命题，则命题¬p 一定是假命题 ③． b a  是 b a lg lg  的必要不充分条件 ④．双曲线 1 2 2 2  y x 被点B（1,1）平分的弦所在的直线方程为 0 1 2   y x ⑤．已知过点（3,0）的直线 ) )( 3 ( R k x k y    与圆 9 2 2  y x 的交点个数有2 个． A.①③④ B②③④ C.①③⑤ D.①②⑤ 6.若直线 c x y  2 先向右平移一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆 5 2 2  y x 相切， 则c 的值为（ ） A．8 或－2 B．6 或－4 C．4 或－6 D．2 或－8 7．若圆C1：x2＋y2＝1 与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0 外切，则m＝( ) A．21 B.19 C．9 D.－11 8．已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B 在椭圆上，且BF⊥x 轴，直线AB 交y 轴 于点P.若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( ) A．3 2 B．2 2 C．1 2 D．1 3 9. 若直线 m x y    与曲线 2 1 y 5 x 4   只有一个公共点，则m 的取值范围是( ) A. -2≤m＜2 B. -2 5 ≤m≤2 5 C. -2≤m＜2 或m=5 D. -2 5 ≤m＜2 5 或m=5 10．已知双曲线M：x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2c．若双曲线M 的右支上 存在点P，使 a sin∠PF1F2 ＝ 3c sin∠PF2F1 ，则双曲线M 的离心率的取值范围为( ) A．          3 7 2 , 1 B．           , 3 7 2 C．(1，2) D．   , 2 11.已知两定点A(－3,0)和B(3,0)，动点P(x，y)在直线l：y＝－x＋5 上移动，椭圆C 以A，B 为焦点且经 过点P，则椭圆C 的短轴的最小值为（ ） A．2 2 B．4 2 C． 26 D． 26 2 12.过原点O 作两条相互垂直的直线分别与椭圆P： 2 2 1 2 x y  交于A、C 与B、D，则四边形ABCD 面 积最小值为（ ） A. 8 3 B. 4 2 C. 2 2 D. 4 3 高二数学（文科）2020-11 阶考 第2页 共4 页 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.双曲线 1 3 2 2  y x 上一点P 到 ) 0 , 3 ( M 的距离最小值为________ 14.若命题P:对于任意   1 , 1   a ，使不等式 1 2 2 2    a x ax 为真命题，则实数x 的取值范围 是________. 15.已知点A(4,0),B(2,2)是椭圆 1 9 y 25 x 2 2   内的两个点，M 是椭圆上的动点，则 MB MA  的最大值为 ______________. 16.已知椭圆x2 4 ＋y2＝1 的右顶点为A，上顶点为B，且直线l 与椭圆交于C，D 两点，若直线l∥直线AB， 设直线AC，BD 的斜率分别为k1，k2，则k1·k2 的值为__________． 三、解答题(本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10 分) 已知p：方程x2 3－t ＋y2 t＋1 ＝1 所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆； q：当 1 [ ,2] 2 x 时，函数 3 2 5 1 ) ( 2      t t x x x f 恒成立。 (1)若p 为真，求实数t 的取值范围； (2)若p∧q 为假命题，且p∨q 为真命题，求实数t 的取值范围 18.(本题满分12 分) 在三角形ABC 中，三个顶点的坐标分别为A(0,2),B(-1,0),C(4,0).且D 为AC 的中点。 (1)求三角形ABC 的外接圆M 方程； (2)求直线BD 与外接圆M 相交产生的相交弦的长度。 19.(本题满分12 分) 已知双曲线C 的方程为 1 2 2 2 2 2  x a y (a＞0)，离心率为 2 . (1)求双曲线C 的标准方程； (2)过 (0,1) E 的直线l 交曲线C 于M N 、 两点，求 1 2 EM EN      的取值范围. 20.(本题满分12 分) 在平面直角坐标系xoy 中，设点F (1，0)，直线l : 1 x ，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴 的交点,也是PF 的中点。 , RQ FP PQ l   . (1)求动点Q 的轨迹的方程E ； (2)过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分 别为 N M， ．求直线MN 过定点R 的坐标． 21. （本题满分12 分） 已知椭圆C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)与椭圆 6 2 2 2  y x 的焦点相同，且椭圆C 过点       2 1 , 3 。 (1)求椭圆C 的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆， 使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点A,B,且 OB OA  ,(O 为坐 标原点)，若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由； 22.(本题满分12 分) 已知一张纸上画有半径为4 的圆O，在圆O 内有一个定点A，且OA＝2，折叠纸片，使圆上某一点A' 刚好与A 点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A'取遍圆上所有点时，所有折痕与OA' 的交点形成的曲线记为C. (1)求曲线C 的焦点在x 轴上的标准方程； (2)过曲线C 的右焦点F2（左焦点为 1 F ）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M，N，记△F1MN 的面积 为S,试求S 的取值范围． . l 高二数学（文科）2020-11 阶考 第3页 共4 页 树德中学高2020 级高二上学期11 月阶段性测试数学（文科）试题参考答案 1~12 BDADC ACCDA BA 13. 2 14.   0 ,   15. 10 2 10  16. 1 4 17．(本题满分10 分) 解：(1)∵方程x2 3－t ＋y2 t＋1 ＝1 所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆， ∴3－t>t＋1>0.解得－1<t<1..…………4 分 (2)若命题q 是真命题，由 1 [ ,2] 2 x 得，函数 1 ( ) f x x x   的值域为 5 [2, ] 2 , 所以有 2 2 1 2 3 2 5 2       t t t .…………6 分 若p 真q 假，则 2 1 1    t ; 若p 假q 真,则 2 1  t …………8 分 故实数t 的取值范围是   2 , 1 2 1 , 1        …………10 分 18.(本题满分12 分) 解：(1)由已知三点构成以BC 为斜边的直角三角形，故外接圆圆心是 B,C 的中点       0 , 2 3 ，半径为BC 长度的一半为2 5 ， 故三角形ABC 的外接圆M 方程为 4 25 2 3 x 2 2          y ………6 分 （2）.因为D 为AC 的中点，所以易求D（2，1） 。故直线BD 的方程为 0 1 3 x   y ； 易求得相交弦的长度为 2 10 3 ………12 分 19.解: (1)由离心率为 2 ,双曲线是等轴双曲线，所以 2 2 2  a 1 2  a ,故所求轨迹C 的方程为 2 2 1 2 y x   .……………………………4 分 （2）分直线斜率存在与否两种情形讨论之: (1)设直线l 的方程为 1 y kx  , 则由 2 2 1 2 2 1 y kx y x        消去y ,得到 2 2 (2 2) 4 1 0 k x kx    , 直线与双曲线交于M N 、 两点,  2 2 2 2 2 0 1. 16 4(2 2) 0 k k k k             ③…….7 分 设 1 1 2 2 ( , ) ( , ) M x y N x y 、 ,则有 1 2 1 2 2 2 2 1 , 1 2 2 k x x x x k k       ,则有 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 ( , 1) ( , 1) ( , ) ( , ) 1 1 1 ( 1) 2 2 2 1 EM EN x y x y x kx x kx k k x x k k                    由③ 1 k   即 2 1 k  ,又注意到 2 0 k  , 2 1 1 k  且 2 1 0 k   故 2 1 1 1 k    或 2 1 0 1 k   2 1 1 1 1 ( , ] ( , ) 2 1 2 2 EM EN k            ………………………………………11 分 (2)若直线l 的斜率不存在,此时: 0 l x  ,易知 2 2 (0, ), (0, ) 2 2 M N  , 1 2 EM EN       综上所述,所求EM EN     的取值范围是 1 1 ( , ] [ , ) 2 2    ………………………….12 分 20.(本题满分12 分) 解：(Ⅰ)依题意知，直线l 的方程为： 1 x ．点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．…………………….2 分 ∴PQ 是点Q 到直线l 的距离．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线， ∴PQ QF  ．…………4 分 故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为： 2 4 ( 0) y x x   ． ………6 分 (Ⅱ) 设    B B A A y x B y x A , , , ，     N N M M y x N y x M , , ， ， 直线AB 的方程为 ) 1 (   x k y …………….7 分 则        ) 2 ( 4 ) 1 ( 4 2 2 B B A A x y x y （1）—（2）得 k y y B A 4   ， （2）即 k yM 2  ，……………………………………9 分 代入方程 ) 1 (   x k y ，解得 1 2 2  k xM ． 所以点Ｍ的坐标为 2 2 2 ( 1, ) k k  ．……………………………………10 分 同理可得：N 的坐标为 2 (2 1, 2 ) k k   ． 直线MN 的斜率为 2 1 k k x x y y k N M N M MN      ，方程为 高二数学（文科）2020-11 阶考 第4页 共4 页 ) 1 2 ( 1 2 2 2      k x k k k y ，整理得 ) 3 ( ) 1 ( 2    x k k y ，………………11 分 显然，不论k 为何值，(3, 0) 均满足方程， 所以直线MN 恒过定点R (3, 0) ．………………12 分 21.(本题满分12 分) 解： （1）设椭圆C 的方程为 1 3 2 2 2 2   a y a x ,且 2 1 2  a b 解得点 1 , 4 2 2   b a 所以椭圆的方程为 1 4 2 2  y x .......4 分 （2）设 ) , ( ), , ( 2 2 1 1 y x B y x A ，设 b kx y AB   : 代入 1 4 2 2  y x ，整理得   , 0 4 4 8 4 1 2 2 2      b kbx x k ，由 OB OA  得 0 2 1 2 1   y y x x 即 0 ) )( ( 2 1 2 1     b kx b kx x x ， ，由 韦达定理化简得 ) 1 ( 4 5 2 2   k b ， 即 5 2 1 2  k b ， 设存在圆 2 2 2 r y x   与直线 b kx y AB   : 相切， 则 r k b   2 1 ，解得 5 2  r 所以圆的方程为 5 4 2 2  y x ，又若 x AB  轴时，检验知满足条件，故存 在圆心在原点的圆 5 4 2 2  y x 符合题意 12 分 22.(本题满分12 分) 解:(1)以OA 中点为G 坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系． ∴可知O（-1,0），A（1,0），设折痕与OA′和AA′分别交于M，N 两点， 则MN 垂直平分AA′，∴|MA′|＝|MA|，又∵|A′O|＝|MO|+|A′M|，∴|MO|+|MA|＝4， ∴M 的轨迹是以O，A 为焦点，4 为长轴的椭圆．∴M 的轨迹方程C 为x2 4 ＋y2 3 ＝1 ......5 分 （2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则△F1MN 的周长为4a＝8. 当l⊥x 轴时，l 的方程为x＝1，|MN|＝3，S=1 2|MN|×|F1F2|＝3， 当l 与x 轴不垂直时，设l：y＝k(x－1)(k≠0)， 由 y＝k x－1 ， x2 4 ＋y2 3 ＝1， 得(4k2＋3)y2＋6ky－9k2＝0，所以y1＋y2＝－ 6k 4k2＋3，y1y2＝－9k2 4k2＋3，…….8 分 1 1 2 1 2 F MN F F M F F N S S S    ＝ ＋ ＝1 2|F1F2|·|y1|＋1 2|F1F2|·|y2|＝1 2|F1F2|·|y1－y2| ＝1 2|F1F2|· y2＋y1 2－4y1y2＝1 2×2× － 6k 4k2＋3 2－4 －9k2 4k2＋3 ＝12 k2 k2＋1 4k2＋3 2，令4k2＋3＝t，则t>3， S＝3 t2－2t－3 t2 ＝3 －3 1 t 2－2 1 t ＋1＝3 －3 1 t＋1 3 2＋4 3， 因为t>3，所以0<1 t<1 3，所以0<S<3，综上可知，S 的取值范围是  3 , 0 .………….12 分