数学-【2025中考适用】中考终极押题猜想（全国通用）（解析版）

中考数学终极押题猜想（全国通用） （高分的秘密武器：终极密押+押题预测） 押题猜想一 选填题之几何图形综合问题...............................................................2 .................................................................................................................2 押题猜想二 选填题之函数综合问题...................................................................14 ................................................................................................................14 押题猜想三 选填题之规律探索问题...................................................................23 ................................................................................................................23 押题猜想四 选填题之新定义问题......................................................................29 ................................................................................................................29 押题猜想五 解答题之函数与实际问题综合问题.....................................................38 ................................................................................................................38 押题猜想六 解答题之一次函数与反比例函数综合问题............................................50 ................................................................................................................50 押题猜想七 解答题之用三角函数解决实际问题.....................................................65 ................................................................................................................65 押题猜想八 解答题之几何图形的证明与计算问题..................................................78 ................................................................................................................78 押题猜想九 解答题之阅读理解问题...................................................................89 ................................................................................................................89 押题猜想十 解答题压轴之几何综合.................................................................108 ..............................................................................................................108 押题猜想十一 解答题压轴之二次函数综合........................................................135 ..............................................................................................................135 押题猜想一 选填题之几何图形综合问题 1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，等边△ABC的边长为3，点D 在边AC上，AD=1 2 ，线段PQ在 边BA上运动，PQ=1 2 ，有下列结论： ①CP与QD一定不相等； ②△AQD与△BCP可能相似； ③ 四 边形PCDQ面积的最大值为 31❑ √3 16 ； ④ 四边形PCDQ周长的最小值为3+ ❑ √37 2 ．其中，正确结论的序 号为（ ） ．② ④ B．② ③ ．① ② ③ D．② ③ ④ 【答】 【分析】①通过分析图形，由线段PQ在边BA上运动，可得出QD< AP≤CP，即可判断出CP与QD不可 能相等；②假设△AQD与△BCP相似，设AQ=x，利用相似三角形的性质得出AQ=x的值，再与AQ的 取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；③过P 作PE⊥BC于E，过D 作DF ⊥AB于F，利用函数 求四边形PCDQ面积的最大值，设AQ=x，可表示出PE= ❑ √3 2 (3−1 2 −x)，DF=1 2 × ❑ √3 2 = ❑ √3 4 ，可用函 数表示出S△PBC，S△DAQ，再根据S△ABC−S△PBC−S△DAQ，依据0≤x ≤2.5，即可得到四边形PCDQ面积 的最大值；④作点D 关于直线AB的对称点D1，作D1 D2∥PQ，连接C D2交AB于点P '，在射线P ' A上取 P 'Q '=PQ，此时四边形P 'CDQ '的周长为：C P '+DQ '+CD+P 'Q '=C D2+CD+PQ，即此时四边形 PCDQ周长有最小值；再由D1Q '=DQ '=D2 P '，A D1=D1 D2=AD=1 2， ∠A D1 D2=120°，∠D2 AC=90°，可得C D2+CD+PQ的最小值，即可得解． 【详解】解：①∵线段PQ在边BA上运动，PQ=1 2， ∴QD< AP≤CP， ∴CP与QD不可能相等，故①正确； ②设AQ=x， ∵PQ=1 2，AB=3， ∴0≤AQ≤3−1 2=2.5，即0≤x ≤2.5， 假设△AQD∽△BCP相似， ∵∠A=∠B=60°， ∴AD BP = AQ BC ，即 1 2 3−1 2 −x = x 3 ， ∴2 x 2−5 x+3=0，解得x=1或x=1.5（经检验是原方程的根）， 又∵0≤x ≤2.5， ∴解得的x=1或x=1.5符合题意， 即△AQD与△BCP可能相似，故②正确； ③如图，过P 作PE⊥BC于E，过D 作DF ⊥AB于F， 设AQ=x， 由PQ=1 2，AB=3，得0≤AQ≤3−1 2=2.5，即0≤x ≤2.5， ∴PB=3−1 2 −x， ∵∠B=60°， ∴PE= ❑ √3 2 (3−1 2 −x)， ∵AD=1 2，∠A=60°， ∴DF=1 2 × ❑ √3 2 = ❑ √3 4 ， ∴S△PBC=1 2 BC × PE=1 2 ×3× ❑ √3 2 (3−1 2 −x)=3 ❑ √3 4 ( 5 2 −x)， S△DAQ=1 2 AQ× DF=1 2 × x× ❑ √3 4 = ❑ √3 8 x， ∴四边形PCDQ面积为：S△ABC−S△PBC−S△DAQ=1 2 ×3× 3 ❑ √3 2 −3 ❑ √3 4 ( 5 2 −x)− ❑ √3 8 x=3 ❑ √3 8 + 5 ❑ √3 8 x， 又∵0≤x ≤2.5， ∴当x=2.5时，四边形PCDQ面积最大，最大值为：3 ❑ √3 8 + 5 ❑ √3 8 ×2.5= 31❑ √3 16 ， 即四边形PCDQ面积最大值为31❑ √3 16 ，故③正确； ④如图，作点D 关于直线AB的对称点D1，作D1 D2∥PQ，连接C D2交AB于点P '，在射线P ' A上取 P 'Q '=PQ， 此时四边形P 'CDQ '的周长为：C P '+DQ '+CD+P 'Q '=C D2+CD+PQ，即此时四边形PCDQ周长有 最小值 ∴D1Q '=DQ '=D2 P '，A D1=D1 D2=AD=1 2， 且∠A D1 D2=180°−∠D1 AB=180°−∠DAB=120°， ∴∠D1 A D2=∠D2 A D1=180°−120° 2 =30°，∠D2 AC=90°， 在△D1 A D2中，∠D1 A D2=30°，A D1=1 2， ∴A D2=2 A D1⋅cos30°=2× 1 2 × ❑ √3 2 = ❑ √3 2 ， 在△A D2C中， 由勾股定理可得，C D2= ❑ √A C 2+ A D2 2= ❑ √ 3 2+( ❑ √3 2 ) 2 = ❑ √39 2 ， ∴四边形P 'CDQ '的周长为： C P '+DQ '+CD+P 'Q '=C D2+CD+PQ ¿ ❑ √39 2 +(3−1 2)+ 1 2 ¿3+ ❑ √39 2 ，故④错误， 故选：． 【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等 知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解． 2．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，分别以A，B为圆心，以大于1 2 AB的长为半径 作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN恰好经过点D，与边AB交于点E，连接CE，以下四个结论中： ①∠ABC=120°；②4 S△BCE=S△CDE；③2BE=AD；④如果CE=2❑ √7，那么DE=2❑ √3．其中正确结 论的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】利用基本作图得到DE垂直平分AB，再根据菱形的性质得到AD=AB，AD∥BC，AB=CD， 可证△ABD是等边三角形，再根据性质即可判定①，根据平行线间的距离和菱形的性质即可判断②和③， 由勾股定理和30 ∘角所对直角边是斜边的一半即可判断④． 【详解】连接BD， 由题意作图可知：DE垂直平分AB， ∴AD=BD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，AD∥BC，AB=CD， ∴AD=AB=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∴∠ABC=120°，故①正确； ∵E是AB中点， ∴BE=1 2 AB=1 2 CD， ∴2S△BCE=S△CDE，2BE=AD，故②错误，故③正确； 如图，过C作CF ⊥AB交AB延长线于点F， 易得四边形CDEF是矩形， ∴DE=CF，CD=EF， ∴△AED≌△BFC (HL)， ∴AE=BF=BE， ∵AD∥BC， ∴∠CBF=∠A=30°， 设BF=CB=x， ∴CF=❑ √3 x，EF=2 x， 在Rt △CEF中，由勾股定理得：E F 2+C F 2=C E 2，即(2 x ) 2+(❑ √3 x ) 2=(2❑ √7) 2， ∴x=2， ∴DE=CF=2 x=2❑ √3，则④正确； 综上可知：①③④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理和平行线的性质，全等三角形的判定与性 质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（2023·山东聊城·二模）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边 △ACD 、△ABE 、△BCF，且点A在△BCF内部．给出以下结论： ①四边形ADFE是平行四边形； ②当∠BAC=130°时，四边形ADFE是矩形； ③当AB=AC时，四边形ADFE是菱形； ④当AB=AC，且∠BAC=150°时，四边形ADFE是正方形． 其中正确结论有 （填上所有正确结论的序号）． 【答】①③④ 【分析】本题考查了平行四边形及矩形、菱形、正方形的判定，等边三角形的性质，全等三角形的判定与 性质，证明△EFB≌△ACB和△CDF ≌△CAB即可判断①；当∠BAC=130°时，求出 ∠EAD=110°即可判断②；由AB=AC得到AE=AD即可判断③；由∠BAC=150°得到 ∠EAD=90°，得到ADFE是矩形，再结合③即可判断④；熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解 题的关键． 【详解】解：①∵△ACD 、△ABE 、△CBF是等边三角形， ∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC，AC=AD， ∴∠EBF=∠ABC=60°−∠ABF， ∴△EFB≌△ACB (SAS)， ∴EF=AC， ∴EF=AC=AD， 同理由△CDF ≌△CAB，得DF=AB=AE， 由AE=DF，AD=EF即可得出四边形 ADFE是平行四边形，故结论①正确； ②当∠BAC=130°时， ∠EAD=360°−∠BAE−∠BAC −∠CAD=360°−60°−130°−60°=110°， 由①知四边形ADFE是平行四边形， ∴平行四边形ADFE不是矩形，故结论②错误； ③由①知AB=AE，AC=AD，四边形 AEFD是平行四边形， ∴当AB=AC时，AE=AD， ∴平行四边形ADFE是菱形，故结论③正确； ④当∠BAC=150°时， ∠EAD=360°−∠BAE−∠BAC −∠CAD=360°−60°−150°−60°=90°， ∵ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE是矩形， 又由③知四边形ADFE是菱形， ∴四边形ADFE是正方形，故结论④正确； 故答为：①③④． 押题解读 几何图形选填压轴题含特殊三角形、特殊平行四边形、圆等综合问题是全国中考的热点内容，更 是全国中考的必考内容，该题型难度较高，以等腰三角形、直角三角形等为基础的多解题，特殊四边 形与圆为载体的几何求解问题是高频考点、必考点，所以必须提高对几何图形性质的理解和掌握，但 是每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。 1．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M，分别在边AD，BC上． 沿着直线MN折叠矩形ABCD，点，B 分别落在点E，F 处，且点F 在线段CD上（不与两端点重合），过 点M 作MH ⊥BC于点，连接BF．已知下列判断： ①MN ⊥BF；②△MHN ∽△BCF；③MN BF = 3 4 ；④6<MN < 15 2 ． 其中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答】①②③④ 【分析】根据折叠的性质可判定①正确；根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定②正确；根据 MN最大值和最小值时F的位置可判定③正确；求得tan∠FNC的值，可判定④正确；从而求解． 【详解】解：如图1，由折叠可知MN ⊥BF，①正确； ∴∠BOM=90° ， ∵MH ⊥BC， ∴∠BHP=90°=∠BOM， ∵∠BPH=∠OPM， ∴∠CBF=∠NMH， ∵∠MHN=∠C=90°， ∴△MHN ∽△BCF，②正确； ∵△MHN ∽△BCF， ∴MN BF = MH BC =6 8= 3 4 ，③正确； 当F与C重合时，MN=6，此时MN最小， 当F与D重合时，如图，此时MN最大， 由勾股定理得：BD= ❑ √6 2+8 2=10， ∵OB=OD=5， ∵tan∠DBC=ON OB =CD BC ，即ON 5 = 3 4 ， ∴ON=15 4 ， ∵AD∥BC， ∴∠MDO=∠OBN， 在△MOD和△NOB中， ¿， ∴△DOM ≌△BON (ASA )， ∴OM=ON， ∴MN=2ON=15 2 ， ∵点F在线段CD上（不与两端点重合）， ∴折痕MN的长度的取值范围为6<MN < 15 2 ； 综上，①②③④都是正确的， 故答为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本 题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题 的关键． 2．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形ABCD中，点E 是CD边上一点，连接AE与对角线BD交于点 P，过点P 作PF ⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于点G，下列四个结论：①AP=PF；② DE+BF=EF；③PB−PD=❑ √2BF；④SΔ APG=1 2 SΔ AEF．其中正确结论个数为（ ）． ．1 B．2 ．3 D．4 【答】D 【分析】由题意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，对于①： 易知点、B、F、P 四点共圆，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，则问题可判定；对于②：把△AED绕 点顺时针旋转90°得到△ABH，则有DE=BH ，∠DAE=∠BAH，然后易得△AEF ≌△AHF，则有 HF=EF，则可判定；对于③：连接AC，在BP上截取BM=DP，连接AM，易得 OB=OD，OP=OM，然后易证△AOP∽△ABF，进而问题可求解；对于④，由③可得AP AF = ❑ √2 2 ， 进而可得△APG∽△AFE，然后可得相似比为AP AF = ❑ √2 2 ，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关 系可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，PF ⊥AP， ∴∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°， ∵∠ABC+∠APF=180°， ∴∠BAP+∠BFP=180°， ∴点、B、F、P 四点共圆， ∴∠AFP=∠ABD=45°， ∴△APF是等腰直角三角形， ∴AP=PF，故①正确； ②把△AED绕点顺时针旋转90°得到△ABH，如图所示： ∴DE=BH ，∠DAE=∠BAH ，∠HAE=90°，AH=AE，∠ABH=∠ADE=∠ABC=90°， ∴∠HAF=∠EA