2022—2023学年下期期中高一数学试卷

高一 数学 第1 页 （共4 页） 河南省实验中学2022——2023学年下期期中 试卷 高一 数学 命题人：奈小辉 审题人：程建辉 （时间：120 分钟，满分：150 分） 一、单选题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。） 1．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α∥β，则a与b的位置关系为（ ） A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面 2．若复数z满足 (1+ⅈ) 2 z=3+4i，则在复平面内z的共轭复数所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知|b →|=❑ √3，且a → ⋅b → =−2，则向量a →在向量b →上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、 四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑．如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶， 它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的 顶角为60°，则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为（ ） A． B． C． D． 高一 数学 第2 页 （共4 页） 5．如图，矩形O ' A ' B 'C '是一个水平放置的平面图形的直观图，其中O ' A '=3， O 'C '=1，则原图形是（ ） A．面积为6 ❑ √2的菱形 B．面积为6 ❑ √2的矩形 C．面积为3 ❑ √2 4 的菱形 D．面积为3 ❑ √2 4 的矩形 6．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=60°，b=2❑ √3， 为使此三角形有两个，则a满足的条件是（ ） A．❑ √3＜a＜3 B．❑ √3＜a＜2❑ √3 C．3＜a＜2❑ √3 D． ❑ √3＜a＜4 ❑ √3 7．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，AB=3，BC=❑ √3，且四棱锥 的体积为4 ❑ √3，则球O的表面积为（ ） A． B． C． D． 8．圆O的直径AB=2，弦EF=1，点P在弦EF上，则⃗ PA ⋅⃗ PB的最小值是（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。） 高一 数学 第3 页 （共4 页） 9．已知 三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A．若A＞B，则sinA>sinB B．若⃗ AB⋅⃗ CA>0，则 为钝角三角形 C．若 为锐角三角形，则sinA>cos B D．若sinA :sinB:sinC=2:3:4，则 为锐角三角形 10．已知ⅈ为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ） A．ⅈ+ⅈ2+ⅈ3+ⅈ4¿0 B．复数−2−ⅈ的虚部为﹣ⅈ C．若复数z为纯虚数，则¿ z∨¿2¿ z2 D．¿ z1•z2¿=¿ z1¿∨z2¿ 11 ．在锐角 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， (sin A+sin B ) 2=(2sin B+sinC )sinC，且sinA ＞ ❑ √3 3 ，则下列结论正确的是（ ） A．c−a=acosC B．a>c C．c>a D． 12．点O为 所在平面内一点，满足⃗ OC+λ⃗ OB+μ⃗ OA=⃗ 0，（其中λ，μ ∈R）（ ） A．当λ＝μ时，直线OC过边AB的中点 B．若¿⃗ OA∨¿∨⃗ OB∨¿∨⃗ OC∨¿1，且λ=μ=1，则⃗ OA ⋅⃗ A B=−3 2 高一 数学 第4 页 （共4 页） C．若λ=2，μ=3时， 与 的面积之比为2:3 D．若⃗ OA ⋅⃗ OB=0，且¿⃗ OA∨¿∨⃗ OB∨¿∨⃗ OC∨¿1，则λ，μ满足λ2+μ2¿1 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。） 13． 已知向量a → =(8−k ，3)，b → =(k+2，2)(k ∈R)，若a →∥b →，则¿ a → −b → ∨¿ ． 14．设复数z满足条件¿ z∨¿1，那么¿ z+❑ √3+i∨¿的最大值为 ． 15．已知a →与b →是单位向量，a → ⋅b → =0 ．若向量c →满足¿ c → −a → −b → ∨¿2 ，则¿ c → ∨¿ 的取 值范围是 ． 16 ．在锐角 中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且 2c sin (B−A )=2asin A cosB+bsin2 A，则 的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共6 小题，17 题10 分，其余各题12 分，共70 分） 17．已知向量a → =(−4，3)，b → =(1，−2)． （1）设向量a →与b →的夹角为θ，求sinθ； （2）若向量m a → +b →与向量a → −b →垂直，求实数m． 18 ．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 ❑ √3acosC −csinA=0． （1）求角C的大小． 高一 数学 第5 页 （共4 页） （2）已知b=6， 的面积为6 ❑ √3，求边长c的值． 19．在△ABC中，点D , E分别在边BC和边AB上，且DC=2B D，B E=2 A E， A D交CE于点P，设⃗ BC=a →，⃗ BA=b →． （1）试用a →，b →表示⃗ BP； （2）在边A C上有点F，使得⃗ AC=5⃗ AF，求证：B , P , F三点共线． 20．如图，已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°， PA⊥AB，PA⊥AC,且PA=AD=DC=1 2 AB=1．M是PB的中点． （1）求证AM=CM； （2）N是PC的中点，求证DN∥平面AMC． 21 ． 已 知 向 量 ⃗ a=(cos( π 3 −x),−sin x) ， ⃗ b=(sin(x+ π 6),sin x) ，函数f ( x)=a →• b →． （1）求函数f ( x)的最小正周期和单调递减区间； （2）在 中，角A ,B ,C的对边分别为a，b，c，若c=2❑ √3，f (C )=−1 2 ， 高一 数学 第6 页 （共4 页） 求 面积的最大值． 22．如图，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，E , F ,G分别为所在棱的中点， H ,Q分别为A C，A D1的中点，连接EF，EG，FG，DQ，CQ，D1 H． （1）求证：平面EFG∥平面ACQ； （2）在线段CD上是否存在点P，使得DQ∥平面D1 PH？若存在，求出P点的 位置；若不存在，请说出理由．