天津市河东区2021-2022学年高二上学期期末数学试题Word版含解析

河东区2021~2022 学年度第一学期期末质量检测 高二数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100 分，考试用时90 分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2．本卷共9 小题，每小题4 分，共36 分. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 双曲线 的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定双曲线焦点的位置，然后根据曲线方程得到实半轴和虚半轴的值，进而得到半焦距的值， 由此可得焦点坐标． 【详解】由题意得双曲线的焦点在 轴上，且 ， ∴ ， ∴双曲线的焦点坐标为 ． 故选：A． 2. 如果抛物线 的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的知识确定正确答案. 【详解】由于抛物线的准线是直线 ，所以它的焦点为 . 故选：D 3. 已知双曲线的一条渐近线为 ，且一个焦点坐标是 ，则双曲线的标准方程是（ ） A. =1 B. =1 C. =1 D. =1 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点位置及渐近线方程直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线实轴为x 轴，且渐近线为 ， ∴双曲线的标准方程是 . 故选：B 4. 已知抛物线 的焦点为F，P 为抛物线上一点，过点P 向准线作垂线，垂足为Q，若 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出简图，可得 为等边三角形，在 中求解可得 ，从而得解. 【详解】根据题意作出简图，如图所示： 根据抛物线的定义可知 ，结合 ，可得 为等边三角形， 所以 ， 在 中，因为 ，所以 ， 所以 . 故选：D. 5. 已知 ， 分别为双曲线 的左，右焦点，双曲线 上的点A 满足 ，且 的中点在 轴上，则双曲线 的离心率为( ) A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由“ ， 的中点在 轴上”可知 ，可知 ，根据几何关系 列出关于a 和c 的齐次式，构造离心率即可得答案﹒ 【详解】设 ， ，双曲线 上的点A 满足 ， 的中点 在 轴上，可得 ，∴ ， 即有 轴，A 的横坐标为 ，如图所示： 令 ，可得 ， 在直角三角形 中， ， 可得 ， 即为 ， 即 ， ， 解得 ，或 (不合题意，舍去)； 双曲线的离心率是 ． 故选：B． 6. 已知数列 是公差不为零的等差数列，若 ，且 （ ），设 ，则数列 的前n 项和 为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的基本量运算得 ，进而得 ，利用裂项相消法求和即可. 【详解】数列 是公差不为零的等差数列，设公差为 ， ，解得 ， 所以 ， 所以 ， 所以数列的 前n 项和 . 故选：A. 7. 在正项等比数列 中， ，则数列 的前9 项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及对数的运算性质可得到答案 【详解】由题意知 ． 故选：B 8. 已知数列 满足 且 ，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】根据数列的 递推公式，可知数列 是周期为 的周期数列，由此即可求出结果. 【详解】因为数列 满足 且 ， 所以 ， ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 又 ，所以 所以 ，…… 所以数列 是周期为 的周期数列，所以 . 故选：A. 9. 我国古代数学名著《算法统宗》记有行程减等问题：三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半， 六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．意为：某人步行到378 里的要塞去，第一天走路强 壮有力，但把脚走痛了，次日因脚痛减少了一半，他所走的路程比第一天减少了一半，以后几天走的路程 都比前一天减少一半，走了六天才到达目的地．请仔细计算他每天各走多少路程?在这个问题中，第四天 所走的路程为（ ） A. 96 B. 48 C. 24 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】每天所走的里程构成公比为 的等比数列，设第一天走了 里，利用等比数列基本量代换，直接 求解. 【详解】由题意可知：每天所走的里程构成公比为 的等比数列. 第一天走了 里， ． 第4 天走了 . 故选：C． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上. 2．本卷共11 小题，共64 分. 二．填空题：本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分． 10. 设各项均为正数的等差数列 的前n（ ）项和为 ， ，且 是 与 的等比中 项，则数列 的公差d 为______． 【答案】1 【解析】 【分析】设各项均为正数的等差数列 的公差为 ，根据基本量列方程求解. 【详解】设各项均为正数的等差数列 的公差为 ， 因为 是 与 的等比中项，所以 ， 所以 ，解得 或 （舍）. 经检验满足题意. 故答案为：1. 11. 若数列 的通项公式 ，其前5 项和 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】先判断数列为等比数列，再用求和公式求解即可 【详解】数列 的通项公式 ， 则 ，故数列 首项为2 公比为2 的等比数列， 所以 故答案为： 12. 已知数列 的前n 项和为 ，若 ， ，则 的最大值为______． 【答案】30 【解析】 【分析】先判定数列 为等差数列，再令 ，解得 .可得的 最大值为 ， 即得解. 【详解】由 可得数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， 所以 ， 令 ，解得 . 所以 则 的最大值为 . 故答案为：30. 13. 已知 是数列 的前 项和， ，则 ________；若 ， 则 ________. 【答案】 ①. . ②218 【解析】 【分析】根据题意得到 ， 两式作差得到 再检验首项即可得到结果；当 时 ，当 时， ，将 代入第二个式子即可得到答案. 【详解】 ，则 ， 两式作差得到 ，当 时 成立，故得到 ； 当 时， ， 当 时， 故得到： ， . 故答案为： ； . 14. 已知椭圆 ，过右焦点 且斜率为 的直线与椭圆 相交于 , 两点，若 ，则椭圆 的离心率为____. 【答案】 【解析】 【分析】数形结合，使用椭圆的第二定义进行计算，得到 ，然后利用 计算即 可. 【详解】如图， 作 垂直右准线交右准线于点 ，作 垂直右准线交右准线于点 作 垂直 于点 由 ，设 ，则 由 所以 ， 又直线 的斜率为 ，所以 所以 故答案为： 15. 若方程 所表示的曲线为C，给出下列命题： ①若C 为椭圆，则实数t 的取值范围为 ； ②若C 为双曲线，则实数t 的取值范围为 ； ③曲线C 不可能是圆； ④若C 为椭圆，且长轴在x 轴上，则实数t 的取值范围为 ，其中真命题的序号为______．（把所有 正确命题的序号都填在横线上） 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】①若C 为椭圆，则需要满足 ，解出不等式组，即可判正误；②若C 为双曲线，则满 足 ，解出不等式，即可判正误；③当曲线C 为圆，则需要满足 ，解出不等式 组，即可判正误；④若C 为②④椭圆，且长轴在x 轴上，则需要满足 解出不等式组，即可判 正误. 【详解】方程 所表示的曲线为C， ①若C 为椭圆，则需要满足 故①不正确； ②若C 为双曲线，则满足 或 ，故②正确； ③当曲线C 为圆，则需要满足 ，故③错误； ④若C 为椭圆，且长轴在x 轴上，则需要满足 ，故④正确； 故答案为：②④. 三．解答题：本大题共5 小题，共40 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知椭圆的方程为9𝑥2+ 4𝑦2=36，写出它的长轴长、短轴长和焦点坐标. 【答案】长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ， . 【解析】 【分析】把椭圆方程化为标准方程，判断焦点位置，可得答案. 【详解】椭圆的方程 化为标准方程为 ， 因为 ，所以焦点在 轴上， ，所以 ， ，所以 ， 所以长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ， . 17. 已知正项数列 的前 项和为 ， . （1）求 、 ； （2）求证：数列 是等差数列. 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）直接在数列递推式中取 即可求 、 （2）在数列递推式中将 换成 ，得另一递推式后作差，整理即可证明数列 是等差数列 【详解】（1）由已知条件得： .∴ . 又有 ，即 . 解得 （舍）或 . （2）由 得 时： ， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 即 ， 经过验证 也成立， 所以数列 是首项为1，公差为2 的等差数列. 【点睛】利用 与 的关系，多递推一次再相减的思想，结合等差数列的定义，证明等差数列. 18. 已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点A（4，2），F 为抛物线的焦点． （1）求抛物线C 的方程； （2）若B（4，1），P 为抛物线上一动点，求 的最小值． 【答案】（1）y2＝x 或x2＝8y. （2）最小值为 或 【解析】 【分析】（1）讨论焦点的位置，结合条件即求； （2）利用图象数形结合即得. 【小问1 详解】 ①当抛物线的焦点在x 轴上时,设抛物线：y2＝2px（p＞0） 又∵抛物线过A(4,2)， 即 ， ∴抛物线方程为y2＝x； ②当抛物线的焦点在y 轴上时，设抛物线：x2＝2py(p＞0) ∵抛物线过A(4,2)， ， ∴抛物线方程为x2＝8y 综上抛物线方程：y2＝x 或x2＝8y. 【小问2 详解】 ①当抛物线：x2＝8y，如图 则当F、P、B 三点共线时，P 在F、B 之间时， 取得最小值， 此时 ，又F（0，2）， B（4，1）， ∴ ②当抛物线：y2＝x 时，过P 作PM⊥准线l 于M， ， ∴ 当B、P、M 共线时， 取得最小值，又准线l： ， 此时 . 综上：最小值为 或 . 19. 已知中心在原点，焦点为 ， 的椭圆经过点 . （1）求椭圆方程； （2）若M 是椭圆上任意一点， 交椭圆于点A， 交椭圆于点B，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）根据椭圆第一定义，结合两点距离公式求a，即可写出椭圆方程. （2）法一：构建以左焦点为极点， 为极轴建立极坐标系，椭圆方程为 ( 为离心率且 )，设 ， 即可求 、 ，进而得到 、 ；法二：设 M，A， 在左准线 上的射影分别为 ， ，Q，利用相似比求 、 ，即可求 【详解】（1）设椭圆方程为 . 由椭圆定义知： ，即 ，又 ， ∴ ，故椭圆方程为 . （2）法一：以左焦点为极点， 为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为 ( 为离 心率且 ). 设 ， ，则 ， . ∴ ，即 .同理，有 . ∴ . 法二：设M，A， 在左准线 上的射影分别为 ， ，Q，如下图， ∴ ， ， ， 由相似形及和分比定理得 ， ∴ ，同理，得 ， ∴ . 【点睛】关键点点睛：第二问，通过构建极坐标系，利用椭圆极坐标方程求线段比，或利用M，A， 在 准线上的射影，结合相似比求线段比，进而求目标式的值. 20. 已知等差数列 中， ， ，数列 满足 ， ． （1）求 ， 的通项公式； （2）任意 ， ，求数列 的前2n 项和． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差等比的基本量运算求解即可； （2）分奇数项和偶数项分别求和即可，奇数项用乘公比错位相减，偶数项用裂项相消求和即可. 【小问1 详解】 设等差数列 的公差为 ，由 ， ，可得 ， 解得 ， 所以 ， 数列 满足 ， ， 所以数列 是以 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 ， 【小问2 详解】 由（1）可知 ， 当 为奇数时， ， 设 ， ， 两式相减可得： ， 整理得： ， 当 为偶数时， ， 设 ， 所以数列 的前2n 项和为