2021年高考数学试卷（文）（全国乙卷）（新课标Ⅰ）（解析卷）

1/14 2021 年普通高等学校招生全国统一 考试（全国乙卷） 数学（文） 一､选择题 1.已知全集 ，集合 ， ，则 （) A. B. C. D. 答案A 2.设 ，则 （） A. B. C. D. 答案C 1/14 2/14 3.已知命题 ；命题 ，则下列命题中为真命题的是（） A. B. C. D. 答案： A 解析： 根据正弦函数的值域 ， ，故 ， 为真命题，而函数 为偶函数，且 时， ，故 ， 恒成立.则 也为真命题，所 以 为真，选A. 4.函数 的最小正周期和最大值分别是（） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 答案： C 解析： ， . 故选C. 2/14 5.若 满足约束条件 则 的最小值为（） A. B. 3/14 C. D. 答案： C 解析： 根据约束条件可得图像如下， 的最小值，即 ， 轴截距最小值.根 据图像可知 过点 时满足题意，即 . 6. （） A. B. C. D. 答案： D 解析： ∴选D. 3/14 7.在区间 随机取 个数，则取到的数小于 的概率为（） A. B. 4/14 C. D. 答案： B 解析： 在区间 随机取个数，可知总长度 ，取到的数小于 ，可知取到的长度范围 ，根据几何概型公式 ，∴选B. 8.下列函数中最小值为 的是（） A. B. C. D. 答案： C 解析： 对于A， .不符合， 4/14 对于B， ，令 ，∴ ，根据对勾函数 不符合， 对于C， ，令 ， ∴ ， 当且仅当 时取等，符合， 5/14 对于D， ，令 ， . 根据对勾函数 ，不符合. 9.设函数 ，则下列函数中为奇函数的是（） A. B. C. D. 答案： B 解析： ， 向右平移一个单位，向上平移一个单位得到 为奇函数. 所以选B. 10.在正方体 中， 为 的中点，则直线 与 所成的角为 A. B. C. 5/14 D. 答案：D 解析： 做出图形， ，所以 为异面直线所成角，设棱长为. ， ， ， . 6/14 ，即 ，故选D. 11.设 是椭圆 : 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为 A. B. C. D. 答案： A 解析： 方法一：由 ， 则 的参数方程： . . 6/14 ∴ ，故选A. 方法二：设 ，则 ①， . 因此 ② 将①式代入②式化简得： 7/14 ，当且仅当 时 的最大值为 ，故选A. 12.设 ，若 为函数 的极大值点，则 A. B. C. D. 答案： D 解析： 当 时，原函数先增再减 后增. 原函数在 的较小零点时取得极大值. 即 ，即 ，∴ . 当 时，原函数先减再增后减. 原函数在 的较大零点时取得极大值. 即 ， ， ，故选D. 二、填空题 13.已知向量 ， ，若 ，则 .答案： 7/14 解析： 由已知 可得 . 14.双曲线 的右焦点到直线 的距离为 . 答案： 解析： 8/14 的右焦点为 ，到直线 的距离 . 15. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，面积为 ， , ，则 . 答案： 解析： 由面积公式 ，且 ，解得 ， 又由余弦定理 ， ，且 解得 . 16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥 的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）. 答案： ②⑤或③④ 解析： 由高度可知，侧视图只能为②或③. 8/14 侧视图为②，如图（1），平面 平面 ， ， ， ，俯视图为⑤. 俯视图为③，如图（2）， 平面 ， ， ， ，俯视 图为④. 9/14 17.某厂研制了一种生产高精产品的设备， 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 件产 品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10. 1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为 和 . （1）求 ， ， ， ； （2 ）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则 不认为有显著提高）. 答案： 见解析 解析： ； 9/14 . . （2） 10/14 . ∵则 ，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值 较旧设备有显著提高； 没有显著提高.18.如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， 为 的中点，且 . （1）证明：平面 平面 ﹔ （2）若 ，求四棱锥 的体积. 答案： 见解析 解析： 19.设 是首项为的等比数列，数列 满足 .已知 ， ， ，成等差 数列. （1）求 和 的通项公式； （2）记 ，和 分别为 和 的前 项和.证明： . 答案： 10/14 见解析 解析： 设 的公比为 ，则 ， 因为 ， ， 成等差数列，所以 ，解得 ， 11/14 故 ， . 又 ，则 ， 两边同乘 ，则 ，两式相减，得 ， 即 ， 整理得 ， ， 故 . 20.已知抛物线 ： 的焦点 到准线的距离为 . （1）求 的方程， （2）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值. 答案： 见解析 解析： 11/14 （1）由焦点到准线的距离为 ，则 . 抛物线 的方程： . （2）设点 ， ， . ∵ . 12/14 ∴ 则 .∴直线 斜率的最大值为 . 21.已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）求曲线 过坐标原点的切线与曲线 的公共点的坐标. 答案： 见解析 解析： （1） （i）当 ，即 时， 恒成立，即 在 在 上单 调递增. （ii ）当 ，即 时， 解得， ， . 12/14 ∴ 在 ， 单调递增，在 单 调递减，综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单调递减. 13/14 （2）设可原点切线的切点为 ，切线斜率 .又 ，可得 .化简得 ，即 .∴切点为 ，斜率 ，切线方程为 ，将 ， 联立可得 ，化简得 ，解得 ， .∴过原点的切线与 公共点坐标为 ， . 22.在直角坐标系 中， 的圆心为 ，半径为. （1）写出 的一个参数方程; （2）过点 作 的两条切线.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立坐标系， 求这两条切线的极坐标方程. 答案： 见解析 解析： （1） 的参数方程为 （ 为参数） （2） 的方程为 ①当直线斜率不存在时，直线方程为 ，此时圆心到直线距离为 ，舍去； ②当直线斜率存在时，设直线方程为 ，化简为 ， 此时圆心 到直线的距离为 ， 13/14 化简得 ， 两边平方有 ，所以 代入直线方程并化简得 或 化为极坐标方程为 或 14/14 . 23.已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集；（2）若 ，求 的取值范围. 答案： 见解析 解析： 当 时， ， 当 时，不等式 ，解得 ； 当 时，不等式 ，解得 ； 当 时，不等式 ，解得 . 综上，原不等式的解集为 . （2）若 ，即 ， 因为 （当且仅当 时， 等号成立），所以 ，所以 ，即 或 ，解得 .