2022年高考数学试卷（文）（全国乙卷）（解析卷）

1/24 2022 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为 ， ，所以 ． 故选：A. 2. 设 ，其中 为实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 1/24 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出． 【详解】因为 R， ，所以 ，解得： ． 故选：A. 3. 已知向量 ，则 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】 2/24 【分析】先求得 ，然后求得 . 【详解】因为 ，所以 . 故选：D 4. 分别统计了甲、乙两位同学16 周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图： 则下列结论中错误的是（ ） A. 甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4 B. 乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8 C. 甲同学周课外体育运动时长大于8 的概率的估计值大于0.4 D. 乙同学周课外体育运动时长大于8 的概率的估计值大于0.6 【答案】C 【解析】 【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案. 【详解】对于A 选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 ，A 选项结论正确. 对于B 选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为： ， B 选项结论正确. 对于C 选项，甲同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值 ， C 选项结论错误.对于D 选项，乙同学周课外体育运动时长大于 的概率的估计值 ， D 选项结论正确. 2/24 故选：C 5. 若x，y 满足约束条件 则 的最大值是（ ） A. B. 4 C. 8 D. 12 3/24 【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，数形结合即可得解. 【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示， 转化目标函数 为 ， 上下平移直线 ，可得当直线过点 时，直线截距最小，z 最大， 所以 . 故选：C. 6. 设F 为抛物线 的焦点，点A 在C 上，点 ，若 ，则 （ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 的横坐标，进而求得点 坐标，即可 得到答案. 【详解】由题意得， ，则 ， 即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ， 不妨设点 在 轴上方，代入得， ， 3/24 所以 . 故选：B 7. 执行下边的程序框图，输出的 （ ） 4/24 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据框图循环计算即可. 【详解】执行第一次循环， ， ， ； 执行第二次循环， ， ， ； 执行第三次循环， ， ， ，此时输出 . 故选：B 4/24 8. 如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（ ） 5/24 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解. 【详解】设 ，则 ，故排除B; 设 ，当 时， ，所以 ，故排除C; 设 ，则 ，故排除D. 故选：A. 9. 在正方体 中，E，F 分别为 的中点，则（ ） A. 平面 平面 B. 平面 平面 C. 平面 平面 D. 平面 平面 【答案】A 【解析】 【分析】证明 平面 ，即可判断A；如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ， 分别求出平面 ， ， 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD. 5/24 【详解】解：在正方体 中， 且 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 6/24 因为 分别为 的中点， 所以 ，所以 ， 又 ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以平面 平面 ，故A 正确； 选项BCD 解法一： 如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，设 ， 则 ， ，则 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则有 ，可取 ， 同理可得平面 的法向量为 ， 平面 的法向量为 ， 平面 的法向量为 ， 则 ， 所以平面 与平面 不垂直，故B 错误； 因为 与 不平行， 所以平面 与平面 不平行，故C 错误； 6/24 因为 与 不平行， 所以平面 与平面 不平行，故D 错误， 故选：A. 7/24 选项BCD 解法二： 解：对于选项B，如图所示，设 ， ，则 为平面 与平面 的 交线， 在 内，作 于点 ，在 内，作 ，交 于点 ，连结 ， 则 或其补角为平面 与平面 所成二面角的平面角， 由勾股定理可知： ， ， 底面正方形 中， 为中点，则 ， 由勾股定理可得 ， 从而有： ， 据此可得 ，即 ， 7/24 据此可得平面 平面 不成立，选项B 错误； 对于选项C，取 的中点 ，则 ， 由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项C 错误； 8/24 对于选项D，取 的中点 ，很明显四边形 为平行四边形，则 ， 由于 与平面 相交，故平面 平面 不成立，选项D 错误； 故选：A. 10. 已知等比数列 的前3 项和为168， ，则 （ ） A. 14 B. 12 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的 公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的 通项即可得解. 【详解】解：设等比数列 的公比为 ， 若 ，则 ，与题意矛盾， 8/24 所以 ， 则 ，解得 ， 所以 . 故选：D. 9/24 11. 函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值. 【详解】 ， 所以 在区间 和 上 ，即 单调递增； 在区间 上 ，即 单调递减， 又 ， ， ， 所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 . 故选：D 12. 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最 大时，其高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为 ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积 最大时其高的值. 【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD 所在小圆半径为r， 9/24 设四边形ABCD 对角线夹角为 ， 则 （当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为 10/24 又设四棱锥的高为 ，则 ， 当且仅当 即 时等 号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为，则 ，所以该四棱锥的高 ， (当且仅当 ，即 时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高 . 故选：C． [方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为 ，底面所在圆的半径为，则 ，所以该四棱锥的高 ， ，令 ， ，设 ，则 ， ， ，单调递增， ， ，单调递减， 10/24 所以当 时， 最大，此时 ． 故选：C. 【整体点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 11/24 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 记 为等差数列 的前n 项和．若 ，则公差 _______．【答案】2 【解析】 【分析】转化条件为 ，即可得解. 【详解】由 可得 ，化简得 ， 即 ，解得 . 故答案为：2. 14. 从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________． 【答案】 ##0.3 【解析】 【分析】根据古典概型计算即可 【详解】解法一：设这5 名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5 名同学中随机选3 名， 有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙， 1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10 种选法； 其中，甲、乙都入选的选法有3 种，故所求概率 . 故答案为： . 解法二：从5 名同学中随机选3 名的方法数为 甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率 故答案为： 15. 过四点 中的三点的一个圆的方程为____________． 11/24 【 答 案 】 或 或 或 ． 【解析】 【分析】法一：设圆的方程为 ，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可； 【详解】[法一]：圆的一般方程 12/24 依题意设圆的方程为 ， （1）若过 ， ， ，则 ，解得 ， 所以圆的方程为 ，即 ； （2）若过 ， ， ，则 ，解得 ， 所以圆的方程为 ，即 ； （3）若过 ， ， ，则 ，解得 ， 所以圆的方程为 ，即 ； （4）若过 ， ， ，则 ，解得 ，所以圆的方程 为 ，即 ； 故答案为： 或 或 或 12/24 ． [法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过 三点，圆心在直线 ，设圆心坐标为 ， 13/24 则 ，所以圆的方程为 ； （2）若圆过 三点， 设圆心坐标为 ，则 ，所 以圆的方程为 ； （3）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ，线段 的中垂线方程 为 ，联立得 ，所以圆的方程为 ； （4）若圆过 三点，则线段 的中垂线方程为 ， 线段 中垂线方程为 ，联 立得 ，所以圆的方程为 ． 故答案为： 或 或 或 ． 【整体点评】法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁； 法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解． 16. 若 是奇函数，则 _____， ______． 【答案】 ①. ； ②. ． 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 13/24 由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为 ，再由 可得， ．即 ， 在定义域内满足 ，符合题意． 故答案为： ； ． 三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 14/24 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c﹐已知 ． （1）若 ，求C； （2）证明： 【答案】（1） ； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得， ，再结合三角形内角和定理即可解出； （2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 ，再根据正弦定理，余弦定理化简即 可证出． 【小问1 详解】 由 ， 可得， ，而 ， 所以 ，即有 ，而 ，显然 ，所以， ，而 ， ，所以 ． 【 小问2 详解】 由 可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， 14/24 ，化简得： ，故原等 式成立． 18. 如图，四面体 中， ，E 为AC 的中点． 15/24 （1）证明：平面 平面ACD； （2）设 ，点F 在BD 上，当 的面积最小时，求三棱锥 的体 积． 【答案】（1）证明详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明 平面 来证得平面 平面 . （2）首先判断出三角形 的面积最小时 点的位置，然后求得 到平面 的距离，从而求得三棱 锥 的体积. 【小问1 详解】 由于 ， 是 的中点，所以 . 由于 ，所以 ， 所以 ，故 ， 由于 ， 平面 ， 所以 平面 ， 由于 平面 ，所以平面 平面 . 【小问2 详解】 15/24 解法1：判别几何关系依题意 ， ，三角形 是等边三角形， 所以 ， 由于 ，所以三角形 是等腰直角三角形，所以 . ，所以 ， 由于 ， 平面 ，所以 平面 . 16/24 由于 ，所以 ， 由于 ，所以 ， 所以 ，所以 ， 由于 ，所以当 最短时，三角形 的面积最小 过 作 ，垂足为 ， 在 中， ，解得 ， 所以 ， 所以 过 作 ，垂足为 ，则 ，所以 平面 ，且 ， 所以 ， 所以 . 解法2：等体积转换 16/24 ， ， 是边长为2 的等边三角形， 连接 17/24 19. 某地经过 多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10 棵这种 树木，测量每棵树的根部横截面积（单位： ）和材积量（单位： ），得到如下数据： 样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总 和 根部横截面积 0.04 0.06 0. 04 0.08 0.08 0.0 5 0.05 0.07 0.0 7 0.06 0.6 材积量 0.25 0.40 0.2 2 0.54 0.51 0.3 4 0.36 0.46 0.4 2 0.40 3.9 并计算得 ． （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）； （3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 ． 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值． 附：相关系数 ． 【答案】（1） ； （2） （3） 【解析】 17/24 【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木 平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； （2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值； （3 18/24 ）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值． 【小问1 详解】 样本中10 棵这种树木的根部横截面积的平均值 样本中10 棵这种树木的材积量的平均值 据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 ， 平均一棵的材积量为 【小问2 详解】 则 【小问3 详解】 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 ，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得 ，解之得 ． 则该林区这种树木的总材积量估计为 20. 已知函数 ． （1）当 时，求 的最大值； （2）若 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1） 18/24 （2） 【解析】 【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得 ，按照 、 及 结合导数讨论函数的单调性，求得函 数的极值，即可得解. 【小问1 详解】 19/24 当 时， ，则 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 所以 ； 【小问2 详解】 ，则 ， 当 时， ，所以当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 所以 ，此时函数无零点，不合题意； 当 时， ，在 上， ， 单调递增； 在 上， ， 单调递减；又 ， 由（1）得 ，即 ，所以 ， 当 时， ， 则存在 ，使得 ， 所以 仅在 有唯一零点，符合题意； 19/24 当 时， ，所以 单调递增，又 ， 所以 有唯一零点，符合题意； 当 时， ，在 上， ， 单调递增； 在 上， ， 单调递减；此时 ， 由（1）得当 时， ， ，所以 ， 20/24 此时 存在 ，使得 ， 所以 在 有一个零点，在 无零点， 所以 有唯一零点，符合题意； 综上，a 的取值范围为 . 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数 的单调性与极值的问题. 21. 已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过 两点．（1）求E 的方 程； （2）设过点 的直线交E 于M，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T，点H 满足 ．证明：直线HN 过定点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可； （2）设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. 【小问1 详解】 解：设椭圆E 的方程为 ，过 ， 20/24 则 ，解得 ， ， 所以椭圆E 的方程为： . 21/24 【小问2 详解】 ，所以 ， ①若过点 的直线斜率不存在，直线 .代入 ， 可得 ， ，代入AB 方程 ，可得 ，由 得到 .求得HN 方程： ，过点 . ②若过点 的直线斜率存在，设 .联立 得 ， 可得 ， ， 且 联立 可得 可求得此时 ， 将 ，代入整理得 ， 21/24 将 代入，得 显然成立， 综上，可得直线HN 过定点 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； 22/24 ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. （二）选考题：共10 分．请考生在第22、23 题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将 所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多 答按所答第一题评分. [选修4—4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系 中，曲线C 的参数方程为 ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为 ． （1）写出l 的直角坐标方程； （2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可； （2）方法一：联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新