（教研室）陕西省安康市2022-2023学年高二上学期期中文科数学试题

（北京）股份有限公司 2022-2023 学年第一学期高二年级期中考试 文科数学 本试卷共4 页。全卷满分150 分，考试时间120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.已知， 是两条不同的直线， 是平面，且 ，则下列命题中正确的是 A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 3.函数 的部分图象大致为 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 4.圆 ： 与圆 ： 的位置关系是 A.内切 B.外切 C.相交 D.外离 （北京）股份有限公司 5.在正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点P 在侧视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则P 在正视图中对应的点为 A.A B.B C.C D.D 7.平行于直线： ，且与的距离为 的直线的方程为 A. B. 或 C. D. 或 8.过点 的圆C 与直线 相切于点 ，则圆C 的标准方程为 A. B. C. D. 9.已知两点 ， ，直线过点 且与线段AB 有交点，则直线的倾斜角的取值范围是 A. B. （北京）股份有限公司 C. D. 10.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为 A. B. C. D. （北京）股份有限公司 11.比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而闻名世界.把地球看成一个球（球心记为O），地 球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，OA 的方向即为A 点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于 北纬44°，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜。且其中轴线与竖直方向的夹角为4°，则其中轴线与赤道所 在平面所成的角为 A.40° B.42° C.48° D.50° 12. 函数 在区间 上可找到 个不同的数 ，使得 ，则 的最大值为 A.20 B.21 C.22 D.23 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________. 14.从3 男2 女共5 名医生中，抽取2 名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1 名女医生参加的概率为_____ ________. 15.点 到直线： 的距离的最大值为_____________. 16.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发 现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面 和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的 ，并且球的表面积也是圆柱表面积的 ，则该圆柱 的体积与它的外接球的体积之比为_____________. 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 在数列 中， ， . （北京）股份有限公司 （1）证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 18.（12 分） （北京）股份有限公司 如图，在直三棱柱 中， ， ，M 为AB 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离. 19.（12 分） 已知函数 ， . （1）求函数 的最大值； （2）设 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 ， ， ，求a，b 的值. 20.（12 分） 已知直线过点 ，圆 ： . （1）证明：直线与圆 相交； （2）求直线被圆 截得的弦长的取值范围. 21.（12 分） 如图，在长方形 中， ， ，M 为DC 的中点.将 沿AM 折起得到四棱锥 ，且 . （1）证明： ； （北京）股份有限公司 （2）若E 是线段DB 上的动点，三棱锥 的体积与四棱锥 的体积之比为1：2，求 的值. （北京）股份有限公司 22.（12 分） 已知圆C 经过两点 ， ，且圆心在x 轴上. （1）求圆C 的方程; （2）过原点O 的动直线与圆C 交于A，B 两点，则 轴上是否存在定点 ，使得当变动时，总有 直线MA，MB 的斜率之和为0?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 文科数学参考答案 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B B A A B B C C A C 1.D 解析：∵ ，∴ . 2.D 解析：依题意 ，若 ，则可能 ，∴A 错误；若 ，则与 可能相交、异面、平行， ∴B 错误；若 ，则可能 ， ，与 相交，∴C 错误；由于 ，∴平面 内存在直线 ， 满足 ，若 ，则 ，则 ，∴D 正确. 3.B 解析：易知 是偶函数，且当 时， ，当 时， ，故选B. 4.B 解析：由题意知圆 的圆心 ，半径 ，圆 的方程可化为 ，其圆心 ，半径 .∵两圆的圆心距 ，∴两圆外切. （北京）股份有限公司 5.A 解析：连接 ， 即为异面直线 与 所成角，设 ，则 ， ， . （北京）股份有限公司 6.A 解析：根据三视图可知该几何体的直观图如图所示，由图可知P 在正视图中对应的点为A. 7.B 解析：由题意设直线的方程为 ，则 ，解得 或7，故选 B. 8.B 解析：圆心 在过点 且与 垂直的直线 上，又在 的中垂线 上， ∴圆心 ，半径 ，∴方程为 . 9.C 解析：如图，直线 的斜率 ，直线 的斜率 .由图可知，当直线与 线段 有交点时，直线的斜率 ，因此直线的倾斜角的取值范围是 . 10.C 解析：设圆锥的母线长为，则 ，解得 ，则该圆锥的表面积为 . （北京）股份有限公司 11.A 解析：如图， 为比萨斜塔的中轴线， ， ，则 ，即其中轴线 与赤道所在平面所成的角为40°. （北京）股份有限公司 12.C 解析：设 ，则条件等价为 的根的个数，作出函数 和 的图象，由图象可知当 时， 与函数 的图象最多有22 个交点，即 的最大值为 22. 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.4 14. 15. 16. 13.4 解析：作出可行域可得当直线 过点 时， 取得最大值4. 14. 解析：将3 名男性医生分别设为a，b，c，2 名女性医生分别设为d，e，这个实验的样本空间可记为 ，共包含10 个样本点，记事件A 为至少有1 名女医生参加，则 ，则A 包含的样本点个 数为7，∴ . 15. 解析：直线 ： 经过定点 ，当 时，点 到直线 ： 的距离最大，最大值为 . 16. 解析：设圆柱的底面半径为 ，则圆柱的内切球的半径为 ，∴圆柱的高为 ，∴圆柱的体积为 ，又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，∴圆柱的外接球半径 （北京）股份有限公司 ，∴圆柱的外接球体积为 ，故 . （北京）股份有限公司 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分） 17.解析：（1）∵ ， ∴数列 是首项为 ，公比为2 的等比数列， ∴ ，即 . （2）由（1）知 . 18.解析：（1）连接 交 于点N，则N 为 中点，连接MN， ∵M 为AB 中点，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . （2）由已知易得 ， 设点 到平面 的距离为 ，由 得 ，解得 . （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 19.解析：（1）由题意知 ， ∵ ，∴ ，∴函数 的最大值为2. （2）由题意得 ，即 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，即 ， 由 及正弦定理得 ，由余弦定理得 ，即 ， 联立解得 ， . 20.解析：（1）由已知可得圆心 ，半径 ， ∴ ，∴ P 点在圆C 内部，∴直线与圆 C 相交. （2）设圆心 C 到直线的距离为 d，弦长为 L，则 ， ∵ ，即 ，∴ ，即直线被圆 C 截得的弦长的取值范围是 . 21.解析：（1）∵ ， ， ，满足 ，∴ ， ∵ ， ，∴ 平面BDM， ∵ 平面BDM，∴ . （2）易得 ，由（1）得 ， ∵ ，∴ 平面 ， ∵ 平面 ，∴平面 平面 ， 取AM 中点N，连接DN， ∵ ，∴ ，∴ 平面 ， （北京）股份有限公司 ∴ ， 设 ，则E 到平面ADM 的距离为 ， ∴ ， ∵ ，∴ ，解得 ， ∴当 时，三棱锥 的体积与四棱锥 的体积之比为1:2. （北京）股份有限公司 22.解析：（1）圆心C 在PQ 的中垂线 上，又在x 轴上，∴ ，半径 ， ∴圆C 的方程为 . （2）当斜率存在时，设的方程为 ，代入 整理得 ， 设 ， ，则 ， MA，MB 的斜率之和为 ，∴ ， ∴ ，∴ ， 当斜率不存在时，显然满足. ∴存在定点 满足题意.