（教研室）陕西省安康市2022-2023学年高二上学期期中中理科数学试题

（北京）股份有限公司 2022-2023 学年第一学期高二年级期中考试 理科数学 本试卷共4 页。全卷满分150 分，考试时间120 分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.已知， 是两条不同的直线， 是平面，且 ，则下列命题中正确的是 A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 3.函数 的部分图象大致为 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 4.已知 ，若直线 ： 与直线 ： 平行，则它们之间的距离为 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 或 5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体某条棱上的一个端点P 在侧视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则P 在正视图中对应的点为 A.A B.B C.C D.D 6.如图所示的直三棱柱 容器中， ， ，把容器装满水（容器厚度忽略不计）， 将侧面BCFE 平放在桌面上，放水过程中，当水面高度为AB 的一半时，剩余水量与原来水量的比值为 A. B. C. D. 7.如图，在平行六面体 中， 为 与 的交点.若入 ， ， ， 则下列向量中与 相等的是 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. （北京）股份有限公司 8.已知两点 ， ，直线过点 且与线段AB 有交点，则直线的倾斜角的取值范围是 A. B. C. D. 9.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为 A. B. C. D. 10.比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而闻名世界.把地球看成一个球（球心记为O），地 球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，OA 的方向即为A 点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于 北纬44°，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜。且其中轴线与竖直方向的夹角为4°，则其中轴线与赤道所 在平面所成的角为 A.40° B.42° C.48° D.50° 11. 函数 在区间 上可找到 个不同的数 ，使得 ，则 的最大值为 A.20 B.21 C.22 D.23 12.在正方体 中，E 为线段AD 的中点，设平面 与平面 的交线为，则直线与 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 （北京）股份有限公司 13.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________. 14.从3 男2 女共5 名医生中，抽取2 名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1 名女医生参加的概率为_____ ________. （北京）股份有限公司 15.点 到直线： 的距离的最大值为_____________. 16.在四棱锥 中，底面ABCD 为矩形， 底面ABCD， ， ， .E，F 分 别为AB，PD 的中点，经过C，E，F 三点的平面与侧棱PA 相交于点G.若四棱锥 的顶点均在球O 的球面上，则球O 的表面积为_____________. 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 在数列 中， ， . （1）证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 18.（12 分） 如图，在直三棱柱 中， ， ，M 为AB 的中点. （1）证明： 平面 ； （2）求点 到平面 的距离. 19.（12 分） 已知函数 ， . （1）求函数 的最大值； （北京）股份有限公司 （2）设 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 ， ， ，求a，b 的值. 20.（12 分） 已知 的顶点 ， ， 边所在直线方程为 ， （北京）股份有限公司 边上的高所在直线的方程为 . （1）求 边所在直线的方程； （2）求 的面积. 21.（12 分） 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点E 为棱PC 的中点. （1）证明： ； （2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值. 22.（12 分） 如图，在矩形ABCD 中， ，M 为边AB 的中点.以CM 为折痕把 折起，使点B 到达点P 的 位置，且 ，连接PA，PB，PD. （1）证明：平面 平面 ； （2）若E 是线段DP 上的动点（不与点P，D 重合），二面角 的大小为 ，试确定点E 的位置. （北京）股份有限公司 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B A A B B C C A C D 1.D 解析：∵ ，∴ . （北京）股份有限公司 2.D 解析：依题意 ，若 ，则可能 ，∴A 错误；若 ，则与 可能相交、异面、平行， ∴B 错误；若 ，则可能 ， ，与 相交，∴C 错误；由于 ，∴平面 内存在直线 ， 满足 ，若 ，则 ，则 ，∴D 正确. 3.B 解析：易知 是偶函数，且当 时， ，当 时， ，故选B. 4.A 解析：直线 ： 与直线 ： 平行，∴ ，解得 或 ，又 ，∴ ，直线 ： 与直线 ： 距离为 . 5.A 解析：根据三视图可知该几何体的直观图如图所示，由图可知P 在正视图中对应的点为A. 6.B 解析：如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的 ，故放出水量是 原来水量的 ，剩余水量是原来水量的 . 7.B 解析： . （北京）股份有限公司 8.C 解析：如图，直线 的斜率 ，直线 的斜率 .由图可知，当直线与 线段 有交点时，直线的斜率 ，因此直线的倾斜角的取值范围是 . （北京）股份有限公司 9.C 解析：设圆锥的母线长为，则 ，解得 ，则该圆锥的表面积为 . 10.A 解析：如图， 为比萨斜塔的中轴线， ， ，则 ，即其中轴线 与赤道所在平面所成的角为40°. 11.C 解析：设 ，则条件等价为 的根的个数，作出函数 和 的图象，由图象可知当 时， 与函数 的图象最多有22 个交点，即 的最大值为 22. 12.D 解析：设正方体 的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB、AD、 所在直线分别为x、 y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、 、 . 设平面 的法向量为 ， ， ，由 ， 取 可得 .设平面 的法向量为 ， ， ，由 ，取 可得 .设直线的方向向量为 ，∵ 平面 ， （北京）股份有限公司 平面 ，则 ， ，∴ ，取 可得 ， ， ，∴直线与 所成角的余弦值为 . （北京）股份有限公司 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13.4 14. 15. 16. 13.4 解析：作出可行域可得当直线 过点 时， 取得最大值4. 14. 解析：将3 名男性医生分别设为a，b，c，2 名女性医生分别设为d，e，这个实验的样本空间可记为 ，共包含10 个样本点，记事件A 为至少有1 名女医生参加，则 ，则A 包含的样本点个 数为7，∴ . 15. 解析：直线 ： 经过定点 ，当 时，点 到直线 ： 的距离最大，最大值为 . 16. 解析：根据题意，以点A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ，设 ，则 ， ， .∵经过 ， ， 三点的平面与侧棱 相交于点 ，∴ ， ， ， 四点共面，∴存在实数 ， 使得 （北京）股份有限公司 ，即 . ∴ ， ， ，解得 ， ，∴ ，四棱锥 的外接球O 的半径与边长为1， ，2 的长方体的外接球半径相同，为 （北京）股份有限公司 ，表面积为 . 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分） 17.解析：（1）∵ ， ∴数列 是首项为 ，公比为2 的等比数列， ∴ ，即 . （2）由（1）知 . 18.解析：（1）连接 交 于点N，则N 为 中点，连接MN， ∵M 为AB 中点，∴ ， ∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . （2）由已知易得 ， 设点 到平面 的距离为 ，由 得 ，解得 . （北京）股份有限公司 19.解析：（1）由题意知 ， ∵ ，∴ ，∴函数 的最大值为2. （2）由题意得 ，即 ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，即 ， 由 及正弦定理得 ，由余弦定理得 ，即 ， 联立解得 ， . 20.解析：（1）∵ 边上的高所在直线方程为 ，∴直线 的斜率为 ， ∴直线 的方程得 ，即 . （2）联立 ，解得 ，即点 ， ， 直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ，即 ， 点 到直线 的距离为 ，∴ . （北京）股份有限公司 21.解析：依题意建立如图空间直角坐标系 ，则 ， ， ， ， . （1） ， ，∴ ，∴ . （2） ， . （北京）股份有限公司 设 为平面 的法向量，则 ，即 ， 令 得 ， ∴ . ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . 22.解析：（1）取线段CM 的中点O，连接BO，PO， ∵ ， ，∴ 为等边三角形， ∴ ，∴ ， . ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∴ 平面 . ∵ 平面 ，∴平面 平面 . （2）由（1）知OP，CM，OB 相互垂直，以O 为坐标原点，OC，OB，OP 所在直线分别为x，y，z 轴建立 如图所示 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 空间直角坐标系 . 设 ，则 ， ，连接 ，则 ，且 ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ， 设 ， ， 则 ， 设 为平面 的法向量， 则 ， 令 得 ， 易知平面 的一个法向量 ， ∴ ，解得 （舍）或 ， ∴当点 在线段 上，满足 时，二面角 的大小为 .