吉林省实验中学2021-2022学年高二下学期第三次月考（选2+3）数学试题（解析版）

吉林省实验中学 2021-2022 学年度下学期高二年级线上教学诊断检测（三） 数学 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题包括8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求． 1. 设随机变量X 的概率分布列如下：则 （ ） X －1 0 1 2 P A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质求得m 的值，由 确定变量的取值，结合分布列求得答案. 【详解】由分布列性质可得： ，则 ， 由 , 故选：C 2. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据散点图可得正负相关关系，并根据散点图的集中程度确定大小关系. 【详解】由散点图可知：图和图 是正相关，相关系数 大于 ；图 和图 是负相关，相关系数 小于 ； 图中的点比图 中的点更加集中， ；图 中的点比图 中的点更加集中， ； . 故选：A. 3. 为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100 的调查样本，其 中城镇户籍与农村户籍各50 人，男性40 人，女性60 人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育 二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述 中正确的是（ ） A. 是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关 C. 倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D. 倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】D 【解析】 【分析】结合所给比例图，依次分析判断4 个选项即可. 【详解】对于A，城镇户籍中 选择生育二胎，农村户籍中 选择生育二胎，相差较大，则是否倾 向选择生育二胎与户籍有关，A 错误； 对于B，男性和女性中均有 选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B 错误； 对于C，由于男性和女性中均有 选择生育二胎，但样本中男性40 人，女性60 人，则倾向选择生育二 胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C 错误； 对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有 人，城镇户籍有 人，农 村户籍人数少于城镇户籍人数，D 正确. 故选：D. 4. 曲线 在点 处的切线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案. 【详解】由题意得， ， 故曲线 在点 处的切线的斜率为 ， 故曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ， 故选：B 5. 已知随机变量X 服从正态分布 ，若 ，则 （ ） A. 0.477 B. 0.682 C. 0.954 D. 0.977 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可确定正态曲线的对称轴为 ，由对称性即可求得答案. 【详解】由随机变量X 服从正态分布 ，可知正态曲线的对称轴为 ， 若 ，则 ， 故 ， 故选：A 6. 已知 ，若 ，则 （ ） A. 992 B. －32 C. －33 D. 496 【答案】D 【解析】 【分析】先由 求得 ，再通过赋值法令 和 求得 即可. 【详解】由题意知： ，则 ，解得 ；令 ，则 ， 令 ，则 ，两式相加得 ，则 . 故选：D. 7. 北京2022 年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与 奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022 年北京冬奥会和冬残奥会， 某学校决定派小明和小李等5 名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装不同 的吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】先将剩下的3 名志愿者分为两组，再把小明和小李分别放在两组中，最后两组分别安装“冰墩墩” 和“雪容融”，由分步乘法原理即可. 【详解】先将剩下的3 名志愿者分为两组有 种，再把小明和小李分别放在两组中有2 种， 最后两组分别安装“冰墩墩”和“雪容融”有2 种，则共有 种. 故选：C. 8. 定义在R 上的函数 满足： ， ，则关于不等式 的解集 为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数 ,由 得 的单调性,再将不等式 转化为 ,由构造函数 的单调性与 即可求解． 【详解】设 ，则 , , , 又 ， 所以 , 在定义域上单调递增, 对于不等式 转化为 ， 又 ， , , 而 在定义域上单调递增, 故选：D 二、多项选择题：本题包括4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分． 9. 若随机变量X 服从两点分布，且 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据已知条件，结合两点分布的定义，利用期望计算公式和性质，可判断A,C;;利用方差的计算公 式和性质，可判断B,D. 【详解】因为随机变量X 服从两点分布，且 ， 则 ， 故 ，故A 正确； ,故C 错误； ，故B 正确； ,故D 错误， 故选：AB 10. 某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过 程中收集了4 组数据如表所示 3 4 6 7 2.5 3 4 5.9 根据表中的数据可得回归直线方程 ，则以下说法正确的是（ ） A. y 与x 的相关系数 B. 产量为 8 吨时预测所需材料约为5.95 吨 C. D. 产品产量增加1 吨时，所需材料一定增加0.7 吨 【答案】BC 【解析】 【分析】根据回归方程的意义即可判断AD；求出样本中心点，再根据回归直线必过样本中心点求出 ， 即可判断BC. 【详解】解：因为根据表中的数据可得回归直线方程 ， 所以产量与材料呈正相关， 所以相关系数 ，故A 错误； ， 则 ，解得 ，故C 正确； 所以回归直线方程 ， 当 时， ， 即产量为8 吨时预测所需材料约为5.95 吨，故B 正确； 产品产量增加1 吨时，所需材料约增加0.7 吨，故D 错误. 故选：BC. 11. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”“御”“书”“数”六 门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ） A. 某学生从中选2 门课程学习，共有15 种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240 种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144 种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480 种排法 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用直接法、插空法、捆绑法以及分步乘法计数原理依次判断选项即可. 【详解】A：6 门中选2 门共有 种选法，故A 正确； B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有 种排法，然后全排列有 种排 法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有 种，故B 正确； C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有 种排法，然后利用插空法排课程 “御”“书”“数”有 种排法，根据分步乘法计数原理，得共有 种排法，故C 正确； D：分2 种情况讨论： 若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有 种排法， 若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有 种排法， 所以，共有 种排法，故D 错误. 故选：ABC. 12. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ， ，则 在 单调递减 B. 若 ，则 C. 若 ，则 有最小值 D. 若 有解，则实数c 的最小值为－1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，B，C，直接求导判断单调性及最值即可；对于D，将问题转化为 有 解，构造函数求导，判断单调性后求出最小值即可. 【详解】易得 ，对于A，若 ， ，则 ， ，当 时， ，则 在 单调递增，A 错误； 对于B，若 ，则 ， ，当 时， 单减， 当 时， 单增，则 ，B 正确； 对于C， ，令 ， ，显然 ，设 两根为 ，则 ， 两根异号，不妨设 ，则当 时， 单减，当 时， 单增，则 有最小值 ，C 正确； 对于D， 有解，等价于 有解，令 ， 则 ，当 时， 单减，当 时， 单增， 则 ，则 ，则实数c 的最小值为－1，D 正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题包括4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 函数 的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】求定义域，求导，利用导函数大于0 解不等式，求出递增区间. 【详解】 的定义域为 ， ， 令 ，解得： 或 ， 因为定义域为 ， 所以单调递增区间为 . 故答案为： 14. 由样本数据 ， ， ，得到的回归方程为 ，已知如 下数据： ， ， ，则实数 的值为______． 【答案】 ##－0. 1 【解析】 【分析】令 ，由回归方程必过样本中心点即可求解. 【详解】令 ，则回归方程 必过样本中心点 ，又 ，则 ，解得 . 故答案为： . 15. 若n 是正整数，则 除以7 的余数是______． 【答案】1 或6 【解析】 【分析】根据二项式定理可知， ，再展开分n 为偶 数和奇数两种情况讨论余数即可. 【详解】根据二项式定理可知， ， 又 ， 所以当n 为偶数时，除以7 的余数为1；当n 为奇数时，除以7 的余数为6. 故答案为：1 或6 16. 一个袋中共有5 个大小形状完全相同的红球、白球和黑球，其中红球有1 个．每次从袋中拿一个小球， 不放回，拿出红球即停．记拿出的黑球个数为 ，且 ，则随机变量 的数学期望 ___ ___． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意确定白球以及黑球的个数，然后求出 和 ，根据期望的计算公式，即可 求得答案. 【详解】由题意知白球的个数不为0 和4， 假设白球有1 个，则 ,与 矛盾； 假设白球有2 个，则 ，符合题意； 假设白球有3 个，则 ，不符合题意； 故白球有2 个，黑球有2 个，红球有1 个， 则随机变量 的可能取值为：0,1,2， 则 ， ， 则 ， 故 ， 故答案为：1 四、解答题：本题包括6 小题，第17 小题10 分，第18~22 题每小题12 分，共70 分．解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的40%，35%， 25%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%．现从该厂这批产品中任取一件． （1）求取到次品的概率； （2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？ 【答案】（1）0.039 （2） ， ， 【解析】 【 分析】（1）考虑到次品可能来源于三个车间，根据全概率公式即可求得答案； （2）根据条件概率的计算公式，即可求得答案. 【小问1 详解】 设事件A 表示取到的产品来自甲车间，事件B 表示取到的产品来自乙车间，事件C 表示取到的产品来自丙 车间，事件D 表示取到的产品是次品， 则 , , 故取到次品的概率为 . 【小问2 详解】 若取到的是次品，则： 此次品由甲车间生产的概率为： ; 此次品由乙车间生产的概率为： ; 此次品由丙车间生产的概率为： ; 18. 为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了200 名学生，统计 他们在寒假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30 分钟的记为“运动达标”，时 间不超过30 分钟的记为“运动欠佳”，统计情况如下： 运动达标 运动欠佳 总计 男生 女生 总计 （1）完成列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析“参加体育运动时间”与“性别”是否有关？ （2）现从“运动欠佳”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取5 人，再从这5 人中任选2 人进行体育运动指 导，求选中的2 人中恰有一人是女生的概率． 参考公式： 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）表格见解析，依据小概率值 的独立性检验，认为“运动达标”与“性别”无关； （2） 【解析】 【分析】（1）先完善列联表，再计算 ，和6.635 比较即可判断； （2）先由分层抽样求得5 人中男生、女生的人数，再由组合及古典概型计算概率即可. 【小问1 详解】 列联表为 运动达标 运动欠佳 总计 男生 68 32 100 女生 52 48 100 总计 120 80 200 假设 ：运动达标与否与性别无关． 根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，即认为“运动达标”与“性别”无关； 【小问2 详解】 已知“运动欠佳”的男生、女生分别有32 人和48 人，按分层抽样的方法从中抽取5 人，则男生、女生分别 抽到2 人和3 人， 选中的2 人中恰有一人是女生的概率为 . 19. 为了中国经济的持续发展制定了从2021 年至2025 年发展纲要，简称“十四五”规划，为了普及“十四五” 的知识，某党政机关举行“十四五”的知识问答考试，从参加考试的机关人员中，随机抽取100 名人员的考 试成绩的部分频率分布直方图，其中考试成绩在 上的人数没有统计出来． （1）估算这次考试成绩的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）把上述的频率看作概率，把考试成绩的分数在 的学员选为“十四五”优秀宣传员，若从党政 机关所有工作人员中，任选3 名工作人员，其中可以作为优秀宣传员的人数为 ，求 的分布列与数学期望． 【答案】（1）69 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先求得 内的频率，再根据平均数的计算方法求得答案； （2）由题意确定考试成绩在 的频率为0.2，可判断 ，根据二项分布的概率公式即可 求得分布列,继而求得期望. 【小问1 详解】 设分数在 内的频率为x，根据频率分布直方图得， ，解得： , 则考试成绩的平均分数为 ． 【小问2 详解】 根据频率分布直方图可知考试成绩在 的频率为0.2， ， ， ， , 故随机变量 的分布列为 0 1 2 3 因为该分布为二项分布，所以该随机变量的数学期望为 . 20. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种 是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视 的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A 市从该地区小学生中 随机抽取容量为100 的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24 人（其中佩戴角膜塑形镜的有6 人，其中2 名是 男生，4 名是女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？ （2）从这6 名戴角膜塑形镜的学生中，选出2 个人，求其中男生人数X 的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A 市的小学生中，随机选出20 位小学生，求佩戴角 膜塑形镜的人数Y 的期望和方差． 【答案】（1） （2） ， （3）期望是1.2，方差是1.128 【解析】 【分析】（1）先求解这位小学生戴眼镜的概率，再求这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜的概率， 再根据条件概率的公式求解即可； （2）易得男生人数X 的所有可能取值分别为0，1，2，再根据概率公式求解分布列，再根据公式求解数学 期望与方差即可； （3）根据二项分布的数学期望与方差公式求解即可 【小问1 详解】 根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则 ，“这位小学生佩戴的眼镜 是角膜塑形镜”为事件B，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB，则 ， 故所求的概率为： ， 所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是 ； 【小问2 详解】 依题意，佩戴角膜塑形镜的有6 人，其中2 名是男生，4 名是女生，故从中抽2 人，男生人数X 的所有可能 取值分别为0，1，2， ； ； ． 所以男生人数X 的分布列为： X 0 1 2 P 所以 ， 【小问3 详解】 由已知可得： 则： ， 所以佩戴角膜塑形镜的人数Y 的期望是1.2，方差是1.128 21. 新冠疫情期间，口罩的消耗量日益增加，某药店出于口罩进货量的考虑，连续9 天统计了第 天的口罩销售量 （百件），得到的数据如下： ， ， ， ， ． （1）若用线性回归模型 拟合y 与x 之间的关系，求该回归直线的方程； （2）统计学家甲认为用（1）中的线性回归模型（下面简称模型1）进行拟合，可能不够精确，于是尝试 使用非线性模型（下面简称模型2）得到 与 之间的关系，且模型2 的决定系数 ，在线性回 归模型中决定系数可由相关系数的平方计算，试通过计算说明模型1，2 中，哪一个模型的拟合效果更好． 附：参考数据： 参考公式：相关系数 ；对于一组具有线性相关关系的 数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， 【答案】（1） （2）模型2 的 拟合性更好 【解析】 【分析】（1）根据回归直线 的斜率和截距的最小二乘法的公式求得系数 ， ，即可求得回归 直线方程； （2）根据相关系数公式求得模型1 的相关系数，即得决定系数，和模型2 的决定系数比较，可得答案. 【小问1 详解】 由题意知， ， ， 由题意得， ， ， 故所求回归直线的方程为 ； 【小问2 详解】 模型1 的相关系数 ， 故模型2 的拟合性更好． 22. 已知函数 ， 且 ，其中是自然对数的底数 （1）当 时，求函数 的单调区间和最值； （2）若函数 没有零点，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）单调减区间是 ， 单调增区间是 ，最小值是 ，无最大值 （2） 【解析】 【分析】（1）代入 ，求导分析导函数的零点与正负区间，进而确定 的单调区间和最值即可； （2）求导可得 ，再分 和 两种情况，分析导函数的单调性与最值判断即可 【小问1 详解】 当 时， ， ，令 ， 当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增 ∴ 单调减区间是 ， 单调增区间是 ∴ 最小值是 ，无最大值． 【小问2 详解】 由题可知 ， ，其中 ， 当 时， 恒成立， 在区间 上单调递增． 令 ，即 ， ，如图 因为当 时， ， ， 可知 ， ，必有一个零点，不符合题意． 当 时，令 ，则 ， 时， ， 单调递减，当 时，