黑龙江省绥化市重点高中2021-2022学年高二上学期返校验收考试数学（理）试题

数字（理）科试题 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数 ，则 （ ） A． B． C． D． 答案A 2 执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10，那么判断框应该填入的判断可以是 A． B． C． D． 答案D 中 3．．已知一组数据 ， ， 的平均数是5，方差是3 则由 ， ， ， 11 这4 个数据组成的新的一组数据的方差是（ ） A．16 B．14 C．12 D．8 答案C 易 4.设 为两个不同平面，则 的充要条件是 （ ） A． 内有无数条直线与平行 B． 内有两条直线与平行 C． ，平行于同一条直线 D． ，垂直与同一条直线 答案D 易 5．央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，下面的茎叶图是两位 选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是( ) A．甲的平均数大于乙的平均数B．甲的中位数大于乙的中位数 C．甲的极差等于乙的极差 D．甲的方差大于乙的方差 答案D 6．设F 是双曲线 的焦点，则F 到该双曲线的两条渐近线的距离之和为（ ） A．4 B． C． D． 答案B 7．已知 （ ），则 （ ） A． B． C． D． 答案D 8．若抛物线y2=4x 上一点P 到x 轴的距离为2 ，则点P 到抛物线的焦点F 的距离为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 答案A 9．下列结论不正确的是（ ） A．“ ”是“ ”的充分不必要条件 B． “ ， ”的逆否命题是真命题 C． 内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，则“ ”是“ 是直 角三角形”的充要条件 D．命题“ ， ”的否定是“ ， ” 答案C 中 10．设 ， 是两个 上的均匀随机数，则 的概率为（ ） A． B． C． D． 答案A 11．已知椭圆 2 2 1 25 16 x y   ，  3,0 A ，B（5，4），点M 是椭圆上的一动点，则|MA|-| MB|的最大值为（ ） 答案C A． B． C．10-4 12． 为双曲线 上的任意一点，则 到两条渐近线的距离乘积为（ ） A． B． C． D． 答案C 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．13．抛物线 的准线方程是_ _____． 答案 y= -1/16 14．过双曲线C： 的一个焦点作圆 的两条切线，切 点分别为A，B，若 （O 是坐标原点），则双曲线线C 的离心率为 。答案 2 15．1．已知x＞0，若向量 （x，1，0）， （1，0，﹣2），（2 3 ）⊥（ 2 ），则x＝_____． 答案 16．过原点的直线与椭圆 交于A,B 两点，点P 为椭圆上一点，若直线PA 的 斜率为- ，则直线PB 的斜率为__ ____． 答案 1 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）已知函数 。 （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 的极值。 答案．（1） （2） ， （1）由题 ， 故 。又 ， 故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ； （2）由 可得 或 ， 如下表所示，得 1 ＋ 0 － 0 ＋ ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ， 。 18.已知椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ． (1)求椭圆方程； (2)过 作弦且弦被 平分，求此弦所在的直线方程及弦长． 1．(1) ；(2) ， . 【分析】 （1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c 即可； （2）设以点P（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求出 k，然后求出直线方程，联立解方程组，求出A，B，再求出|AB|． 【详解】 (1)由椭圆 长轴长为 ，短轴长为 ， 得 ，所以 ， 所以椭圆方程为 ． (2)设以点 为中点的弦与椭圆交于 ，则 . 在椭圆上，所以 ， ， 两式相减可得 ， 所以 的斜率为 ， ∴点 为中点的弦所在直线方程为 . 由 ，得 ，所以 或 ， 所以 ． 19.为调查绥化一中高二年级男生的身高状况，现从绥化一中高二年级中随机抽取60 名男 生作为样本，下图是样本的身高频率分布直方图(身高单位：cm). （1）用样本频率估计高二男生身高在180cm 及以上概率，并根据图中数据估计绥化一中 高二男生的平均身高； （2）在该样本中，求身高在180cm 及以上的同学人数，利用分层抽样的方法再从身高在 180cm 及以上的两组同学（180~185，185~190）中选出3 名同学，应该如何选取； （3）在该样本中，从身高在180cm 及以上的同学中随机挑选3 人，这3 人的身高都在 185cm 及以上的概率有多大？ 1．（1） ， ；（2）在180cm 至185cm 一组内随机选2 人、在 185cm 至190cm 一组内随机选1 人；（3） 【分析】 （1）根据图中数据直接计算即可 （2）样本中，180cm 至185cm 一组频率为0.1，其人数为 人，185cm 至190cm 一组频 率为0.05，其人数为 人，然后即可算出答案 （3）分别算出总的个数和这3 人的身高都在185cm 及以上的个数，然后相比即可得出答 案 【详解】 （1）样本中180cm 及以上的频率为 ， 所以高二男生身高在180cm 及以上的概率为 ； 高二男生平均身高为 cm. （2）样本中，180cm 至185cm 一组频率为0.1，其人数为 人， 185cm 至190cm 一组频率为0.05，其人数为 人， 两组合计共15 人，采用分层抽样选3 人，应在180cm 至185cm 一组内随机选2 人、 在185cm 至190cm 一组内随机选1 人； （3）样本中身高在180cm 及以上共15 人， 从中随机抽选3 人的所有选法为 种， 身高在185cm 及以上的人数为5， 从中随机抽选3 人的所有选法为 种， 故身高都在185cm 及以上的概率为 . 20．（12 分）在四棱椎 中，四边形 为菱形， ， ， ， ， ， 分别为 ， 中点. . （1）求证： ； （2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值. 答案．（1）证明见解析；（2） . （1）因为四边形 是菱形，且 ，所以 是等边三角形， 又因为 是 的中点，所以 ，又因为 ， ，所以 ， 又 ， ， ，所以 ， 又 ， ，所以 平面 ，所以 ， 又因为 是菱形， ，所以 ，又 ， 所以 平面 ，所以 . （2）由题意结合菱形的性质易知 ， ， ， 以点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则： ， 据此可得平面 的一个法向量为 ， 设平面 的一个法向量为 ，则： ， 据此可得平面 的一个法向量为 ， 平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 . 21．（12 分）已知抛物线 的准线方程为 ． （1）求抛物线 的方程； （2）设点 关于原点 的对称点为点 ，过点 作不经过点 的直线与 交于两 点 ， ，直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，求 的值． 答案（1）因为抛物线 的准线方程为 ，所以 ，则 ， 因此抛物线 的方程为 ； （2）设点 ， ，由已知得 ， 由题意直线 斜率存在且不为0， 设直线 的方程为 ， 由 得 ， 则 ， . 因为点 ， 在抛物线 上，所以 ， ， 则 ， . 因为 轴， 所以 ， 所以 的值为2. 22. 22.已知函数 （1）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值； （2）证明：当 时，在区间 上，不等式 恒成立. 答案【详解】 (1)解:当 时, ,则 对于 ,有 . 在区间 上为增函数 , . (2)证明: , 当 时,则有 ,此时在区间 上恒有 从而 在区间 上是减函数. ,又 ， ,即 恒成立.