黑龙江省绥化市重点高中2021-2022学年高二上学期返校验收考试 数学（文）(1)

高二数学(文科)试题 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知复数z＝ ，则|z＋i|＝ A. B.2 C. D. 2.已知一组数据x1，x2，x3的平均数是5，方差是3 则由2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，11 这4 个数据组成的新的一组数据的平均数是 A.16 B.14 C.11 D.8 3.执行如下的程序框图，最后输出结果为k＝10，那么判断框应该填入的判断可以是 A.s>55？ B.s≥55？ C.s>45？ D.s≥45？ 4.设α、β 为两个平面，则α β ∥的充要条件是 A.α 内有无数条直线与β 平行 B.α 内有两条相交直线与β 平行 C.α，β 平行于同一条直线 D.α，β 垂直于同一个平面 5.央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏，下面的茎叶图是两位 选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是 A.甲的平均数大于乙的平均数 B.甲的中位数大于乙的中位数 C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的极差等于乙的极差 6.已知焦点在y 轴上的椭圆 的长轴长为8，则m 等于 A.4 B.8 C.16 D.18 7.若抛物线y2＝4x 上一点P 到x 轴的距离为2 ，则点P 到抛物线的焦点F 的距离为 A.4 B.5 C.6 D.7 8.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)的图象可能为 9.设F 是双曲线 的焦点，则F 到该双曲线的两条渐近线的距离之和为 A.4 B.2 C.2 D.2 10.下列结论不正确的是 A.“x∈N”是“x∈Q”的充分不必要条件 B.“∃x∈N*，x2－3<0”是真命题 C.△ABC 内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，则“a2＋b2＝c2”是“△ABC 是直角三角 形”的充要条件 D.命题“∀x>0，x2－3>0”的否定是“∃x>0，x2－3≤0” 11.设x，y 是两个[0，1]上的均匀随机数，则0≤x＋y≤1 的概率为 A. B. C. D. 12.设奇函数f(x)在R 上存在导函数f'(x)，且在(0，＋∞)上f'(x)<x2，若f(1－m)－f(m)≥ (1 －m)3－m3，则实数m 的取值范围为 A.[－ ， ] B.(－∞，－ ]∪[ ，＋∞) C.(－∞，－ ] D.[ ，＋∞) 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.抛物线y＝4x2的准线方程是 。 14.若二进制数110010(2)化为十进制数为a，98 与56 的最大公约数为b，则a＋b＝ 。 15.函数y＝(2020－8x)3的导数y'＝ 。 16.过双曲线C： 的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分 别为A，B，若∠AOB＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线线C 的离心率为 。 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10 分)已知函数f(x)＝ex(x2－3)。 (1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)求函数y＝f(x)的极值。 18.(12 分)已知椭圆 的长轴长为8，短轴长为4。 (1)求椭圆方程； (2)过P(2，1)作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长。 19.(12 分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点。 (1)求证：AB⊥平面B1BCC1； (2)求证：C1F//平面ABE。 20.(12 分)为调查绥化一中高二年级男生的身高状况，现从绥化一中高二年级中随机抽取60 名男生作为样本，下图是样本的身高频率分布直方图(身高单位：cm)。 (1)用样本频率估计高二男生身高在180cm 及以上概率，并根据图中数据估计绥化一中高二 男生的平均身高； (2)在该样本中，求身高在180cm 及以上的同学人数，利用分层抽样的方法再从身高在 180cm 及以上的两组同学(180～185，185～190)中选出6 名同学，应该如何选取； (3)在该样本中，从身高在180cm 及以上的同学中随机挑选2 人，这2 人的身高都在185cm 及以上的概率有多大？ 21.(12 分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－1。 (1)求抛物线C 的方程； (2)设点P(1，2)关于原点O 的对称点为点Q，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点 A，B，直线PA，PB 分别交x 轴于M，N 两点，求|MF|·|NF|的值。 22.(12 分)已知函数f(x)＝(a－ )x2＋lnx(a∈R)。 (1)当a＝1 时，求f(x)在区间[1，e]上的最大值和最小值； (2)证明：当a∈(0， ]时，在区间(1，＋∞)上，不等式f(x)<2ax 恒成立。 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．答案 y= -1/16 14．答案54 15．答案 16．答案 2 中 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）已知函数 。 （1）求曲线 在点 处的切线方程； （2）求函数 的极值。 答案．（1） （2） ， （1）由题 ， 故 。又 ， 故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ； （2）由 可得 或 ， 如下表所示，得 1 ＋ 0 － 0 ＋ ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ ， 。 18．已知椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ． (1)求椭圆方程；(2)过 作弦且弦被 平分，求此弦所在的直线方程及弦长． 1．(1) ；(2) ， . （1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c 即可； （2）设以点P（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求 出k，然后求出直线方程，联立解方程组，求出A，B，再求出|AB|． (1)由椭圆 长轴长为 ，短轴长为 ， 得 ，所以 ， 所以椭圆方程为 ． (2)设以点 为中点的弦与椭圆交于 ，则 . 在椭圆上，所以 ， ， 两式相减可得 ， 所以 的斜率为 ， ∴点 为中点的弦所在直线方程为 . 由 ，得 ，所以 或 ， 所以 ． 19．如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ， 分别是 ， 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平 面 ； 1．解析：（1）证明：因为在直三棱柱 中， 底面 所以 又因为 ， 所以 平面 . （2）取 的中点 ，因为 为 的中点， 所以 ∥ ，且 因为 为 的中点， ∥ ，且 所以 ∥ ，且 ，所以四边形 为平 行四边形 所以 ∥ 又因为 平面 ， 平面 所以 ∥平面 . 20．为调查绥化一中高二年级男生的身高状况，现从绥化一中高二年级中随机抽取60 名男 生作为样本，下图是样本的身高频率分布直方图(身高单位：cm). （1）用样本频率估计高二男生身高在180cm 及以上概率，并根据图中数据估计绥化一中 高二男生的平均身高； （2）在该样本中，求身高在180cm 及以上的同学人数，利用分层抽样的方法再从身高在 180cm 及以上的两组同学（180~185，185~190）中选出6 名同学，应该如何选取； （3）在该样本中，从身高在180cm 及以上的同学中随机挑选2 人，这2 人的身高都在 185cm 及以上的概率有多大？ 1．（1） ， ；（2）在180cm 至185cm 一组内随机选2 人、在185cm 至190cm 一组内随机选1 人；（3） （1）样本中180cm 及以上的频率为 ， 所以高二男生身高在180cm 及以上的概率为 ； 高二男生平均身高为 cm. （2）样本中，180cm 至185cm 一组频率为0.1，其人数为 人， 185cm 至190cm 一组频率为0.05，其人数为 人， 两组合计共15 人，采用分层抽样选3 人，应在180cm 至185cm 一组内随机选2 人、 在185cm 至190cm 一组内随机选1 人； （3）样本中身高在180cm 及以上共15 人， 从中随机抽选3 人的所有选法为 种， 身高在185cm 及以上的人数为5， 从中随机抽选3 人的所有选法为 种， 故身高都在185cm 及以上的概率为 . 21．（12 分）已知抛物线 的准线方程为 ． （1）求抛物线 的方程； （2）设点 关于原点 的对称点为点 ，过点 作不经过点 的直线与 交于两 点 ， ，直线 ， 分别交 轴于 ， 两点，求 的值． 答案（1）因为抛物线 的准线方程为 ，所以 ，则 ， 因此抛物线 的方程为 ； （2）设点 ， ，由已知得 ， 由题意直线 斜率存在且不为0， 设直线 的方程为 ， 由 得 ， 则 ， . 因为点 ， 在抛物线 上，所以 ， ， 则 ， . 因为 轴， 所以 ， 所以 的值为2. 22.已知函数 （1）当 时，求 在区间 上的最大值和最小值； （2）证明：当 时，在区间 上，不等式 恒成立. 答案【详解】 (1)解:当 时, ,则 对于 ,有 . 在区间 上为增函数 , . (2)证明: , 当 时,则有 ,此时在区间 上恒有 从而 在区间 上是减函数. ,又 ， ,即 恒成立.