山西省山西大学附属中学校2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题(0001)

山西大学附中 2021--2022 学年第二学期高一年级4 月月考 数 学 试 题 考查时间：90 分钟 满分：100 分 考查内容：平面向量、复数、立体几何初步 命题人：吴晨晨 审核人：张耀军 一、选择题(本题共12 小题，每小题3 分，共36 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求) 1. 设 ， ，则 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【1 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先求得 ，即可求得其在复平面内对应点的坐标，即可得答案. 【详解】由题意得 ， 在复平面内对应的点为 ，位于第四象限. 故选：D 2. 一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( ) A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 平行 【2 题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】如下图所示, 三条直线平行, 与 异面,而 与 异面, 与 相交,故选C. 3. 已知 ， ， ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【3 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】设 ，将向量 的坐标代入 中，利用向量的坐标的加法、减法和数 乘运算可以得到. 【详解】设 ,因为 , 所以 ， 所以 ， 所以 ， 解得: , ， 所以 . 故选：D. 4. 如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β， ，则平面ABC 与平面β 的交线是（ ） A. 直线AC B. 直线AB C. 直线CD D. 直线BC 【4 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与线的位置关系，以及两平面相交的性质，确定交线. 【详解】由题意知，D∈l，l⊂β，∴D∈β． 又D∈AB，∴D∈平面ABC， 即D 在平面ABC 与平面β 的交线上． 又C∈平面ABC，C∈β， ∴点C 在平面β 与平面ABC 的交线上． 从而有平面ABC∩平面β＝CD． 故选：C． 5. 若 的面积 ，则 外接圆的半径 为（ ） A. B. C. D. 【5 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的面积公式结合正弦定理即可求解 【详解】已知 的面积 ，又 所以 因为 ，所以 所以 所以 所以 故选：B 6. 已知向量 ， 满足 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】平方后由数量积的运算律求解 【详解】 ，得 ， ，得 故选：A 7. 在 中，已知 ，那么 一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【7 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理将已知的式子转化为边的形式，然后化简可得答案 【详解】因为 ， ， 所以 ， 所以由正余弦定理得 ，化简得 ， 因为 所以 ， 所以 为等腰三角形， 故选：B 8. 下列说法错误的是（ ） A. 一个八棱柱有10 个面 B. 任意 面体都可以分割成 个棱锥 C. 棱台侧棱的延长线必相交于一点 D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱 【8 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体的定义及特征，利用逐一检验法对各每一个选项依次检验． 【详解】解：对于选项A：根据棱柱的定义，八棱柱有8 个侧面，2 个底面，共10 个面，故A 正确； 对于选项B：任意 面体，在 面体内取一点为 ，将点 与 面体的各个顶点连接，即可构成 个棱锥， 故B 说法正确； 对于选项C：根据棱台的定义，其的侧棱的延长线必交于一点，故C 说法正确； 对于选项D：矩形以一边所在直线为旋转轴旋转形成圆柱，故若以矩形对角线所在直线为旋转轴旋转，不 能形成圆柱，故D 错误； 故选：D． 9. 已知向量 ， 不共线，且向量 与 的方向相反，则实数 的值为 A. 1 B. C. 1 或 D. -1 或 【9 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得出 且 ，化简后得出 ， ， 即可求出实数的 值. 【详解】解：由题可知， ， 不共线，且向量 与 的方向相反， 则 ，即 ， 则 ，即 ， 解得： 或 （舍去）. 即实数 的值为 . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量共线的定理的应用，属于基础题. 10. 已知直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为 ， ， ， ，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【10 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】 利用三棱柱 的 侧棱垂直于底面，棱柱的体积为 ， ， ， ，求 出 ，再求出 外接圆的半径，即可求得球的半径，从而可求球的表面积. 【详解】∵三棱柱 的侧棱垂直于底面， 棱柱的体积为 ， ， ， ， ∴ ，∴ ∵ ，∴ . 设 外接圆的半径为R，则 ，∴ . ∴外接球的半径为 ，∴球的表面积等于 . 故选：C. 【点睛】本小题主要考查根据柱体体积求棱长，考查几何体外接球有关计算，属于基础题. 11. 锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 、 ， ， ，且 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【11 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先由向量垂直得到 ，利用余弦定理求出 或 ，利用锐角三角形排除 ，从而 ，利用面积公式求出答案. 【详解】由题意得： ，故 ， 因为 ， 所以 ， 由余弦定理得： ， 解得： 或 ， 当 时，最大值为B，其中 ，故 为钝角，不合题意，舍去； 当 时，最大值为B，其中 ，故B 为锐角，符合题意， 此时 . 故选：D 12. 2022 年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分 壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典 数学家科赫在1904 年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把 每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程． 已知图①中正三角形的边长为3，则图③中 的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【12 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】在图③中，以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得 的坐标， 再由数量积的坐标表示计算． 【详解】在图③中，以 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， ， ， ，即 ， ，由分形知 ，所以 ， 所以 ， 所以 ． 故选：C． 二、填空题（本题共4 小题，每小题4 分，共16 分） 13. 已知复数 ，则复数z 的模为______. 【13 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的模的计算公式计算 【详解】∵ ，∴ , 故答案为： 14. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是________. 【14 题答案】 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据三条侧棱两两垂直的关系,利用线面垂直的判定定理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而 得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】 不妨设 ， ， ，且 两两互相垂直， ， 又 ， ， 平面 ， ， 平面 ， . 故答案为： . 15. 如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个观测点 与 ．现测得 ， ， ，并在点 测得塔顶 的仰角 为 ，则塔高 为___ ___m． 【15 题答案】 【答案】10 【解析】 【分析】在 中，求得 ，由正弦定理得到 ，再在直角 中，得到 ，即可求解. 【详解】在 中，因为 ， ，可得 ， 由正弦定理，可得 ， 在直角 中，可得 . 即塔高 为 . 故答案为： . 16. 在锐角 中， ， ，则 的取值范围为____________. 【16 题答案】 【答案】 【解析】 【详解】解：在锐角△ABC 中，BC=1，∠B=2 A ∠，∴π 2 ＜3 A＜π，且 0＜2A＜π 2 ，故 π 6 ＜A＜π 4 ，故 ＜cosA＜ ． 由正弦定理可得 1： sinA =" b" ：sin2A ，∴b=2cosA，∴ ＜b＜ ． 三、解答题（本题共4 小题，每题12 分，共48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17. 设为虚数单位， ，复数 ， . （1）若 是实数，求 的值；若 是纯虚数，求 的值； （2）若 所对应的向量与 所对应的向量是平行向量，求 的值. 【17 题答案】 【答案】（1） ； . （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法，除法运算化简 和 ，然后利用实数和纯虚数的定义得到方程 （组）求解； （2）根据复数所对应的向量平行的充分必要条件列出方程，求得a 的值. 【小问1 详解】 ， 若 是实数，则 ，解得 ； ， 若 是纯虚数，则 ，解得 . 【小问2 详解】 , ， 所对应的向量与 所对应的向量是平行向量, 解得： . 19. 如图，已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，P 为母线SA 的中点． （1）求圆锥的侧面积和体积； （2）若AB 为底面直径，求圆锥面上P 点到B 点的最短距离． 【19 题答案】 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆锥的侧面积和体积公式，准确计算，即可求解； （2）沿着母线 ，把圆锥的侧面展开，求得侧面展开图扇形的圆心角为 ，进而求得 点到 点的 最短距离. 【小问1 详解】 解：因为圆锥的底面半径为4，母线长为8，所以 ． 由 ，解得 ， 所以圆锥的体积为 ． 【小问2 详解】 解：沿着母线 ，把圆锥的侧面展开，如图所示， 设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为 ，则 ， 可得 ， 所以圆锥面上 点到 点的最短距离为 ． 21. 在① ；② ；③ ，这三个条件中任选一个，补充在 下面的横线上，并加以解答． 在 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，C，S 为 的面积，若__________（填条件序号） （1）求角C 的大小； （2）若边长 ，求 的周长的最大值． 【21 题答案】 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】（1）若选①：利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出 的结果；若选②：根据正 弦定理进行边化角，然后根据三角恒等变换的公式求解出 的结果；若选③：根据面积公式 结合已知条件求解出 的值，从而求解出 的结果； （2）利用余弦定理和 的值结合基本不等式，求解出 的最大值，由此可求解出 周长的最大值. 【详解】（1）若选①：因为 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 且 ， 所以 ，所以 ； 若选②：因为 ，所以 且 ， 所以 ，所以 ， 所以 ，所以 且 ， 所以 ，所以 ； 若选③：因为 ， ， 所以 且 ， 所以 且 ，所以 ； （2）因为 ，所以 ，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 ，取等号时 ， 所以 的周长的最大值为： . 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于余弦定理以及基本不等式的运用，通过余弦定理得到 满足的等式，结合基本不等式得到 的最大值；本例第二问还可以利用正弦定理去求解：将 表 示为对应角的正弦形式，利用 结合三角恒等变换的公式求解出周长的最大值. 22. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事 休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形 之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在 中，试解决以下问题： （1）G 是三角形的重心（三条中线的交点），过点G 作一条直线分别交 于点 ． （i）记 ，请用 表示 ； （ii） ，求 的最小值． （2）已知点O 是 的________，且 ，求 ． 请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．（注意：如果选择多个条件分别解答，则按第 一个解答计分） ①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）． 【22 题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）（i）设 ，得到 ，由向量的运算法则 得到可得 ，得到 ； （ii）由题意得到 ，求得 ，结合平面向量的共线定理求得 ，化简 ，利 用基本不等式，即可求解； （2）选①，取 的中点分别为 和 ，化简得到 ， ，结合得 和 ，列出方程组，求得 ，结合向量的夹角公式，即可求解； 选②：化简得到 ， ，根据 和 ，联立方程组，求得 ，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1 详解】 解：（i）设 ，由重心的坐标公式得 ， 且 ， 可得 ， . （ii）因为 ，其中 ，所以 ， 则 ， 根据平面向量的共线定理，可得 ，其中 ， 所以 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立， 所以 的最小值为 ． 【小问2 详解】 解：①如图所示，当O 是 的外心时，取 的中点分别为 和 ， 因为， 可得 ， ， 由O 是 的外心， 可得 ，可得 ，即 ， ，可得 ，即 ， 所以 ，即 ，所以 ， 则 ，即 . 若选②：如图所示，即O 是 的垂心 因为 ， 可得 ， ， 由O 是 的垂心， 则 ，可得 ，即 ， ，可得 ，即 ， 联立方程组，可得 ，即 ，所以 ， 所以 ，即 .