浙江省杭州市八县区2021-2022学年高一上学期期末学业水平测试数学试题

2021 学年第一学期期末学业水平测试 高一年级数学试题卷 考生须知： 1．本卷满分150 分，考试时间120 分钟. 2．答题前，请在答题卷的相应位置填写姓名、准考证号、试场号、座位号. 3．所有答案都必须做在答题卷指定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应. 4．考试结束后，只需上交答题卷. 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合   3, 2, 1,0,1,2 U    ，   2, 1,0,1 A   ，则U A = ð （ ） A. { 2, 1,0,1}   B.   3  C.   3,2  D.   0,1 2. 若, R a b ，则“a b ”是“ 2 2 a b  ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若, a b 为正实数，且 1 ab ，则 2  a b 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 2 C. 3 D. 2 2 4. 设 0.3 log 3 a  ， 1 2 b   ， 2 log 3 c  ，则（ ） A. c b a   B. c a b   C. a c b   D. b c a   5. 下列函数与 ( ) 1 f x x  是同一个函数的是（ ） A. 2 ( ) 1 x g x x   B. 2 ( ) 1 g x x   C. ln ( ) e 1 x g x   D. 3 3 ( ) 1 g x x   6. 已知   , min , , , a a b a b b a b      设 ( ) f x   2 min 2, 4 2 x x x      ，则函数 ( ) f x 的最大值是（ ） A. 2  B. 1 C. 2 D. 3 7. 《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的 正方形，若图中所示的角为  0 45       ，且小正方形与大正方形面积之比为1: 25 ，则 tan的值为（ ） A. 3 5 B. 3 4 C. 4 5 D. 24 25 8. 已知定义域为[ 5,5]  的函数 ( ) f x 的图像是一条连续不断的曲线，且满足 ( ) ( ) 0 f x f x - + = ． 若   1 2 , 0,5 , x x   当 1 2 x x  时，总有 2 1 1 2 ( ) ( ) f x f x x x  ，则满足 (2 1) (2 1) ( 4) ( 4) m f m m f m      的实数m 的取值范围为（ ） A.   1,1  B.   1,5  C.   2,3  D.   2,1  二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 2 Q  B. 集合A 、B ，若A B A B    ，则A B  C. 若A B B   ，则B A  D. 若a A  ，a B  ，则a A B   10. 下列说法正确的有（ ） A. 命题 2 R, 1 0 x x x    “ ” 的否定为 2 R, 1 0 x x x    “ ” B. 若 0 a b   ，则 2 2 a b  C. 若, R, a b 0 a b   ，则 1 1 a b  D. 当 (0, ) 2 x   时， 2 sin sin x x  的最小值是2 2 11. 如图，摩天轮的半径为50 m，其中心O 点距离地面的高度为60 m，摩天轮按逆时针方向匀 速转动，且20min 转一圈，若摩天轮上点P 的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ） A. 转动10min 后点P 距离地面10m B. 若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的1 2 C. 第17min 和第43min 点P 距离地面的高度相同 D. 摩天轮转动一圈，点P 距离地面的高度不低于85 m 的时间为 20 min 3 12. 已知实数 1 2 , x x 为函数 2 1 ( ) ( ) log ( 2) 3 x f x x    的两个零点，则下列结论正确的是（ ） A. 1 2 ( 3)( 3) 0 x x    B. 1 2 0 ( 2)( 2) 1 x x     C. 1 2 ( 2)( 2) 1 x x    D. 1 2 ( 2)( 2) 1 x x    三、填空题：本题共4 小题，每题5 分，共20 分. 13. 已知弧长为3  cm 的弧所对圆心角为6  ，则这条弧所在圆的半径为___________cm． 14. 已知函数 2 2 3 , 0, ( ) log , 0. x x x f x x x       则 1 ( ( )) 2  f f ______． 15. 已知函数   sin f x x   ＝ ＋ （ω＞0，0 2     ）， 1 (0) 2 f  ，点 1 1 ( ) A x y ， ， 2 2 ( ) B x y ， 是  f x 图象上的任意两点，若   1 2 | | 2 f x f x － ＝时， 1 2 | | x x － 的最小值为3  ， 则  f x 图象的对称轴是x ______． 16. 定义：如果函数 ( ) y f x  在定义域内给定区间  , a b 上存在 0 x （ 0 a x b   ），满足 0 ( ) ( ) ( ) f b f a f x b a    ，则称函数 ( ) y f x  是  , a b 上的“平均值函数”， 0 x 是它的一个均值点， 如 2 y x = 是  1,1  上的平均值函数，0 就是它的均值点，现有函数 3 ( ) f x x tx   是  0,1 上的平均值函数，则实数t 的取值范围是______． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 化简求值： （1） 2 2 3 3 3 8 ( 3) log 18 log 2     ； （2）已知tan 3  ，求 3cos( ) cos( ) 2 sin(3 ) cos( )              的值． 18. 已知全集U R ，集合   2 2 3 0 A x x x     ∣ ，   1 2 16 x B x    ∣ ． （1）求A B  ； （2）设非空集合   3 2 , D x a x a a R     ，若 ( ) D A B  U ，求实数a 的取值范围． 19. 已知函数 2 ( ) 2sin cos 2 1 3 f x x x            ． （1）求 ( ) f x 的单调递增区间； （2）将函数 ( ) f x 的图象向左平移   0 m m  个单位长度，所得函数图象与函数 cos(2 ) 3 y x    的图象重合，求实数m 的最小值． 20. 在平面直角坐标系xOy 中，锐角、 的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边 与单位圆O 的交点分别为P 、Q ．已知点P 的横坐标为 2 10 ，点Q 的纵坐标为 5 5 ． （1）求   sin   的 值； （2）求 2    的值． 21. 根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当   0,12 t  时，曲线是二次函数图像的一部分，其中顶点 (10,80) A ，且过点 (12,78) B ；当   12,40 t  时，曲线是函数 log ( 7) 79(0 1) a p t a      图像 的一部分．专家认为，当指数p 大于或等于77 时定义为听课效果最佳． （1）试求 ( ) p f t  的函数关系式； （2）若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在什么时间段老师多提问， 增加学生活动环节？ 22. 设 R a ，函数 2 ( ) 2 x x a f x a    ． （1）若 0 a  ，判断并证明函数 ( ) f x 的 单调性； （2）若 0 a ，函数 ( ) f x 在区间  , m n ( ) m n  上的取值范围是 , 2 2 m n k k      ( R) k  ，求 k a 的范 围． 1【答案】C 2【答案】A 3【答案】D 4【答案】A 5【答案】D 6【答案】B 7【答案】B 8【答案】A 9【答案】BCD 10【答案】BC 11【答案】ACD 12【答案】AB 13【答案】2 14【答案】4 15【答案】   π π 3 9 k k  Z 16【答案】  3, 1   17【答案】（1）9 （2）-3 【小问1 详解】 原式 2 3 2 3 3 2 3 log 9 2 3 2 9      . 【小问2 详解】 原式 3cos sin 3 tan 6 3 sin cos tan 1 2                  ． 18【答案】（1）   1 4 A B x x      （2） 1 1 2 a   【小问1 详解】 解：因为   2 2 3 0 A x x x     ，   1 2 16 x B x    所以   1 3 A x x     ，   0 4 B x x    所以   1 4 A B x x      ． 【小问2 详解】 因为D ，   D A B   ， 则 3 2 3 2 4, 1 a a a a          ， 所以 1 1 2 a   ． 19【答案】（1）   π π π, π 6 3 k k k           Z （2） π 2 【小问1 详解】 解：  2 π 2sin cos 2 1 3 f x x x           ， π π cos2 cos2 cos sin 2 sin 3 3 x x x    ， 1 3 π cos2 sin 2 sin 2 2 2 6 x x x          ． 令 π 2 2 2 , 2 6 2 k x k k Z           ， 解得 , 6 3 k x k k Z         ， 所以函数的单调递增区间是   π π π, π 6 3 k k k           Z 【小问2 详解】 因为将  f x 的图象向左平移   0 m m  个单位长度， 得到 π sin 2 2 6 g x x m         的图象， 又函数 g x 的图象与 π cos 2 3 y x        的图象重合， 所以 π π π 2 2 π 6 2 3 m k     ，k Z ， 解得 π π 2 m k   ，k Z ，又 0 m  ， 所以m 的最小值是 π 2 ． 20【答案】（1）   3 10 sin 10     ； （2） 3 2 4      . 【小问1 详解】 解：利用三角函数的定义可得 2 cos 10  ， 5 sin 5  ， 又、是 锐角，所以 2 7 2 sin 1 cos 10      ， 2 2 5 cos 1 sin 5      ， 所以，   3 10 sin sin cos cos sin 10           . 【小问2 详解】 解：因为 4 sin 2 2sin cos 5      ， 2 3 cos2 2cos 1 0 5       ， 又是锐角，则0 2    ，所以0 2 2     ， 又因为0 2     ，则0 2       ， 而   2 cos 2 cos cos2 sin sin 2 2           ，所以 3 2 4      ． 21【答案】（1）          2 1 5 1 10 80, 0,12 2 log 7 79, 12,40 t t p f t t t             （2）当   0,10 6 t   和  32,40 这两个时间段老师多提问，增加活动环节 【小问1 详解】   0,12 t  ，    2 10 80 p f t m t     ，将  12,78 代入得 1 2 m  所以   0,12 m 时，    2 1 10 80 2 p f t t       12,40 t  将  12,78 代入    log 7 79 a p f t t     得 1 5 a  所以   12,40 t  时，    1 5 log 7 79 p f t t     所以          2 1 5 1 10 80, 0,12 2 log 7 79, 12,40 t t p f t t t             【小问2 详解】   0,12 t  ，   2 1 10 80 77 2 t     得10 6 12 t   当   12,40 t  ，   1 5 log 7 79 77 t    得12 32 t ≤ 所以当   0,10 6 t   和  32,40 这两个时间段老师多提问，增加活动环节． 22【答案】（1）函数   2 0 2 x x a f x a a     是增函数，证明见解析； （2）  3 2 2,0 1    . 【小问1 详解】 当 0 a  时，因为2 0 x  ，所以2 0 x a   ， 所以函数  2 2 x x a f x a    的定义域为R ， 结论：函数   2 0 2 x x a f x a a     是增函数． 证明：设对任意的 1 x ， 2 R x  ，且 1 2 x x  ，则   1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x x a a f x f x a a                1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x a a a a a a              1 2 1 2 2 2 2 2 2 x x x x a a a     ， 因为 1 2 x x  ，所以 2 1 2 2 x x  ，即 1 2 2 2 0 x x   ． 又因为 1 2 0 x a   ， 2 2 0 x a   ， 0 a  ， 所以      1 2 1 2 2 2 2 0 2 2 x x x x a a a     , 所以    1 2 f x f x  ，即证． 【小问2 详解】 因为m n  ，所以2 2 m n < ，从而 1 1 2 2 m n  ． 又由 , 2 2 m n k k      知，2 2 m n k k  ，所以 0 k  ， 因为 0 a  ，所以 0 a  或 0 a  ． ①当 0 a  时，由（1）知，函数  2 2 x x a f x a    是增函数． 因为函数  f x 在区间   , m n m n  上的取值范围是   , R 2 2 m n k k k        ， 所以   , 2 2 m n k f m k f n          ，即 2 2 2 2 2 2 m m m n n n a k a a k a              ， 从而关于x 的方程 2 2 2 x x x a k a    有两个互异实根． 令 2x t  ，则 0 t  ，所以方程     2 0 0 t a k t ak k      有两个互异正根， 所以  2 0, 2 4 0, 0 a k a k ak ak                从而 3 2 2 0 k a     ． ②当 0 a  时，函数  2 1 2x a f x a   在区间     2 ,log a   ，     2 log , a  上均单调递减, 若      2 , log , m n a   ，则  1 f x ，于是 0 2m k  ，这与 0 k  矛盾，故舍去； 若      2 , ,l