南平市2021—2022学年第一学期高二期末质量检测数学试题参考答案及评分标准

高二期末数学参考答案 第1页（共8 页） 南平市2021—2022 学年第一学期高二年级期末质量检测 数学参考答案及评分标准 说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3.只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5 分，满分60 分． 1．C 2．B 3．B 4．A 5．A 6．D 7．A 8．D 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分．在每小题给出的四个选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9．B D 10．B CD 11．A B 12．A B D 三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5 分，满分20 分． 13．5 14．2 15．9 16．189 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10 分） 解: （1）∵圆C 经过坐标原点O ，圆心在x 轴正半轴上， 故可设圆C 的圆心坐标为 ( ,0) C a ， ………………………………………………………1 分 其中 0 a  ，且半径r a = ．………………………………………………………………2 分 又∵圆C 与直线3420 x y − + = 相切，  2 2 |302| 3 4 a a − + = + ，………………………………………………………………………4 分 解得 1 a = 或 1 4 a = − （舍去） ， 故圆C 的标准方程为 2 2 ( 1) 1 x y − + = ．…………………………………………………5 分 （2）∵直线l 过点( ) 1 2 ，，∴设直线l 方程为 ( ) 2 1 ykx − = − ，………………………6 分 即 2 0 kx y k − + − = ∵直线l 与圆C 有公共点，∴圆心到直线的距离 2 2 1 1 d k =  + ，…………………8 分 解得： 3 3 k k  − 或 ．…………………………………………………………………10 分 高二期末数学参考答案 第2页（共8 页） 18. （本小题满分12 分） 解（1）方案一：选条件①： 2 n S n = . 当 1 n = 时， 1 1 1 a s = = .…………………………………………………………………1 分 当 2 n  时， 2 1 2 (1)21 nnn ass nnn − − = − − = − = ． ……………………………4 分 又当 1 n = 时, 1 1 a = 符合上式， ………………………………………………………5 分 2 1 n n a  = −．…………………………………………………………………………6 分 方案二：选条件② ：点 1) ( , n n a a + 在直线 2 y x = + 上，且 3 5 a = ， 1 2 n n a a + =  + ， 即 1 2 n n a a + − = ，………………………………………………………………………2 分  n a  为等差数列，公差 2 d = ，……………………………………………………4 分 3 (3)221 n n n a a = + − =  −  .………………………………………………………6 分 方案三：选条件③．公差为正数的等差数列 n a 中， 3 5 a = 且 1 a ， 2 a ， 4 2 a + 成等比数 列. 设等差数列 n a 的公差为(0) d d  ，依题意，得 2 3214 5 aaaa =  且＝（ +2） 2 ddd   (5-)(5-2)(7+ ＝ ) , 解得 2 d = 或 5 d = （舍去） ， 2 d  = ，……………………………………………………………………………4 分 3 (3)221 n n n a a = + − =  −  .……………………………………………………6 分 （2） 2 1 n a n = −， 1 2 2 1 1 (2 1) (2 1) 2 1 2 1 n n n b a a n n n n +  = = = −  −  + − + .…………………………………7 分 1 2 n n b b T b = + ++  高二期末数学参考答案 第3页（共8 页） 1111111 ()()()1 1335212121 nnn = − + − ++ − = − − + + ， …………………………9 分 1 0 2 1 n  + ， 1 1 1 2 1 n + − .……………………………………………………………………………10 分 数列 n b 的前n 项和 n T m  对任意的正整数n 恒成立， 1 m   ，……………………………………………………………………………………11 分 m  的最小值为1． …………………………………………………………………………12 分 19． （本小题满分12 分） 解： （1）因为 3 = a ，所以 1 9 3 ) ( 3 + − = x x x f ， 9 9 ) ( 2 − =  x x f ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 分 所以，当 1 x −或 1 x  时， '()0 f x  ；当1 1 x − 时， '()0 f x  ； 所以 ( ) f x 在(,1) −− 和(1,) +单调递增，在( ) 1,1 − 单调递减， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3 分 所以 ( ) f x 的极大值为 7 ) 1 ( = − f ， ( ) f x 的极小值为 5 ) 1 ( − = f . · · · · · · · · · · · · · · · 5 分 （2） ) 3 ( 3 9 3 ) ( 2 2 − = − =  ax ax x f ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6 分 当 0 a  时， 0 ) 3 ( 3 ) ( 2  − =  ax x f 恒成立， ( ) f x 在R 上单调递减， ( ) f x 至多一个零点，不合题意； · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7 分 当 0 a  时，令 '( ) 0 f x = ，则 a x 3  = ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8 分 所以，当 a x 3 −  或 a x 3  时， '()0 f x  ；当 a x a 3 3   − 时， '()0 f x  ； 所以 ( ) f x 在 ） ， （ a 3 −  − 和 ） ， （  + a 3 单调递增，在 ） ， （ a a 3 3 − 单调递减， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9 分 高二期末数学参考答案 第4页（共8 页） 所以 ( ) f x 的极大值为 1 3 6 ) 3 ( + = − a a f ， ( ) f x 的极小值为 1 3 6 ) 3 ( + − = a a f . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 又 ( ) f x 恰有三个零点，所以 3 610 3 610 a a  +     − +    ， ， · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 解得 108 0  a ． 综上，a 的取值范围为 108 0  a ． · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 20． （本小题满分12 分） 证明： （1）如图，取AC 中点D ，连接OD 、BD， 因为 2 OAOC = = ，所以ODAC ⊥ ，…………………………………………1 分 又OAOC ⊥ ， 所以 2 AC = ， 1 1 2 ODAC = = 因为 2 ABBC = = ，所以BD AD ⊥ ． 又因为 1 1 2 AD AC = = ，又 =2 OB ，所以 3 BD = ， 所以 2 2 2 OD BD OB + = ， 所以OD BD ⊥ .………………………………………………………………………3 分 又 = ACBDD ， 所以OD ⊥平面ABC ， ……………………………………………………………5 分 又因为OD 平面OAC ， 所以平面OAC ⊥平面ABC .………………………………………………………6 分 D E O C A B 高二期末数学参考答案 第5页（共8 页） （2）由（1）可得DO 、DA、DB两两垂直，以D 为原点，分别以DA、DB、DO 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 - Dxyz ，如图. 则 ( ) 1,0,0 A ，( ) 0,3,0 B ， ( ) 1,0,0 C − ， ( ) 0,0,1 O ， 1 1 ,0, 2 2 E  −     ，……………8 分 所以 ( ) 1,3,0 AB = − ， 1 1 ,3, 2 2 EB   = −     ， 设 ( ) =,, nxyz 为平面EAB的法向量， 则 3 0 1 1 30. 2 2 x y xyz −+ =   + − =   ， 令 1 y = ，则 3 x = ， 3 3 z = 所以 ( ) =3,1,33 n 是平面EAB的一个法向量，………………………………………10 分 由（1）知 ( ) =0,0,1 DO 为平面ABC 的一个法向量，…………………………………11 分 设平面ABC 与平面EAB所成角为，则 3 3 3 93 cos cos , 31 31 n DO = = = 故平面ABC 与平面EAB夹角的余弦值为393 31 ．………………………………12 分 21． （本小题满分12 分） （1）证明：由圆 2 2 2 15 0 x y x + + − = 可得 ， ∴圆心为 ，半径为4， ∵ / / EQ PC ， ∴ PCD EQD  =  ， 又∵| | | | PD CP = ， ∴ PCD PDC  =  ， D E B O C A z x y 高二期末数学参考答案 第6页（共8 页） ∴ EQD PCD PDC  =  =  ， ∴|||| EQED = ，…………………………………………………………………………2 分 ∴||||||||||4 EPEQEPEDPD + = + = = ，则||||4 EPEQ + = ，…………………3 分 ∴点E 的轨迹是以 (1,0) P − ， (1,0) Q 为焦点，4 为长轴长的椭圆，………………4 分 故点E 的轨迹的方程为 2 2 1(0) 4 3 x y y + =  ；………………………………………5 分 （2）解： ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程是 1 x = . 此时点M 的坐标是 3 1, 2       ，点N 的坐标是 3 1, 2   −     . 所以直线AM 的方程是 ( ) 1 2 2 y x = + ，直线BN 的方程是 ( ) 3 2 2 y x = − . 所以直线AM ，BN 的交点K 的坐标是( ) 4,3 . 所以点K 在直线 4 x = 上. …………………………………………………………………6 分 ②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k .所以直线l 的方程为 ( ) 1 ykx = − . 联立方程组 ( ) 2 2 1 1 4 3 ykx x y  = −   + =   ， ， 消去y ，整理得( ) 2 2 2 3 4 8 4 12 0 k x k x k + − + − = . 显然 0  . 不妨设 ( ) 1 1 , Mxy ， ( ) 2 2 , Nxy ， 所以 2 1 2 2 8 3 4 k x x k + = + ， 2 1 2 2 4 12 3 4 k x x k −  = + .…………………………………………7 分 因为直线AM 的方程是 ( ) 1 1 2 2 y y x x = + + ， 高二期末数学参考答案 第7页（共8 页） 由 ( ) 1 1 2 , 2 4. y y x x x  = +  +  =  得 1 1 6 , 2 4. y y x x  =  +  =  即AM 与=4 x 的交点 1 1 1 6 4, 2 y K x   =   +   ，…………………………………………………8 分 同理可得BN 与=4 x 的交点 2 2 2 2 4, 2 y K x   =   −   ，…………………………………………9 分 因为 ( ) ( ) 1 2 1 2 1212 6121 6 2 2222 kxkx y y xxxx − − − = − + − + − ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1212 1 2 612221 2 2 kxxkxx x x − − − + − = + − ，……………………10 分 因为 ( )( ) ( )( ) 1212 612221 kxxkxx − − − + − ( ) ( ) 12211212 232222 kxxxxxxxx = − − + − − + −     ( ) 1 2 1 2 2 2 5 8 k x x x x = − + +     ( ) 2 2 2 2 2412 5 8 2 8 3434 k k k k k   −    = − + + +     ( ) 2880 k = −+ = ， …………………………………11 分 所以 1 K 与 2 K 重合，即直线AM 、BN 的交点K 在直线 4 x = 上．…………………12 分 22． （本小题满分12 分） 【解析】 （1） ()e2cos x fxx  = − + ………………………………………………………………1 分 令 ) ( ) ( x f x h  = ，则( ) 0 0 h = 且 ()esin x hxx  = − ，………………………………2 分 ) 0 (  +  ， x ， ()esin1sin0 x hxxx  = − −  ， 所以( ) (0) 0 h x h  = ，即 ()0 f x   ， 所以 ) (x f 在 ) 0 (  + ， 的单调递增，………………………………………………3 分 高二期末数学参考答案 第8页（共8 页） ) 0 ( ， −  x ， ()e2coscos10 x fxxx  = − +  − ， 所以 ) (x f 在 ) 0 ( ， − 单调递减.……………………………………………………4 分 所以 ) (x f 的单调递减区间为 ) 0 ( ， − ， ) (x f 的单调递增区间为 ) 0 (  + ， ………5 分 （2）设 2 ()()()e2sin21 x Fxfxgxxxax = − = − + − −，且 0 ) 0 ( = F ，………………6 分 ( ) e cos 4 2 x F x x ax  = + − − ，令 ) ( ) ( x F x G  = ， ( ) e sin 4 x G x x a  = − − ， 令 ) ( ) ( x G x H  = ， ()ecos1cos0 x Hxxx  = − −  ， 所以 ) (x G 在 )  + ， 0 上单调递增， …………………………………………………………8 分 ①若 4 1  a ， 0 4 1 ) 0 ( ) (  − =    a G x G ，所以