湖南省衡阳市部分学校2021-2022学年高二下学期期末联考数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 ， ，且 ，则 的取值范围是 A. B. C. D. 2.若 ，则 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.某高中学校积极响应国家“阳光体育运动”的号召，为确保学生每天平均一小时的体育锻炼，调查了该校 学生每周平均体育锻炼时间的情况，随机收集了300 名学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小 时），将其分为 ， ， ， ， ， 六组，整理后得到如图所示的频率分布直 方图，则估计该校高中学生每周平均体育锻炼时间的平均数为 A.5.5 小时 B.4.8 小时 C.5 小时 D.5.8 小时 4.函数 的图象大致为 A. B. C. D. 5.设 ， ，是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则“ ”的一个充分不必要条件是 A. 垂直于 内无数条直线 B. ， ， C. ， ， ， ， ， D. ， 6.画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆 中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 ： 的蒙日圆方程 为 ， ， 分别为椭圆 的左、右焦点.离心率为 ， 为蒙日圆上一个动点，过点 作椭圆 的两条切线，与蒙日圆分别交于P，Q 两点，若 面积的最大值为36，则椭圆 的长轴 长为 A. B. C. D. 7.已知直线是平面 的斜线，且与平面 交于点 ，在平面 上的射影为 ，在平面 内过点 作一条 直线 ，直线 和直线m 不重合，直线与平面 所成的角为 ，直线m 与直线n 所成的角为 ，直线与 直线n 所成的角为 ，则 A. B. C. D.以上说法都不对 8.已知抛物线 的焦点为F，准线为，过 的直线与抛物线交于A，B 两点，与准线 交于C 点，若 ，且 ，则 A.4 B.12 C.4 或16 D.4 或12 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.已知函数 的最小正周期为 ， 图象的一个对称中心为 ，则 A. B. C. D. 10.已知 的展开式中各项的二项式系数之和为64，则 A. B.展开式中各项的系数和为1 C.展开式中第3 项或第4 项的二项式系数最大 D.展开式中有理项只有4 项 11.如图，在棱长为2 的正方体 中，点M 在线段 （不包含端点）上运动，则 A.异面直线 与 所成角的取值范围是 B. C.三棱锥 的体积为定值 D. 的最小值为 12.已知函数 若 有三个不等实根 ， ， ，且 ，则 A. 的单调递减区间为 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D.函数 有4 个零点 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.已知 ， ， ，则 与 的夹角为_____________. 14.写出过点 与曲线 相切的一条直线的方程：_____________. 15.直线： 被圆 ： 截得的弦长为_____________. 16.已知 是定义在 上的奇函数﹐且满足 ，当 时， ，若 ，则 _____________. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 在 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 . （1）求 ； （2）若 ， ，求 的面积. 18.（12 分） 已知正项数列 的前 项和为 ，且 ， . （1）求 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 19.（12 分） 第24 届冬季奥运会于2022 年2 月4 日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7 个大项，15 个分项，109 个小项. 为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，被调查的男、女生人数均为100， 其中对冬季奥运会项目了解比较全面的男生人数是女生人数的2 倍.将频率视为概率，从被调查的男生和女生 中各选一人，两人对冬季奥运会项目了解都不够全面的概率为 . （1）完成以下2×2 列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有 关； 男 生 女生 合计 了解比较全面 了解不够全面 合计 （2）用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取3 人，记其中对冬季奥运会项目了解比较全面的人数为 ，求 的分布列与数学期望. 附： ， 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 20.（12 分） 在三棱台 中， 平面 ， ，且 ， 为 的中点， 是 的中点. （1）证明：平面 平面 . （2）求二面角 的余弦值. 21.（12 分） 已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为A，且 ， 到C 的渐近线 的距离为1，过点 的直线与双曲线C 的右支交于P，Q 两点，直线AP，AQ 与y 轴分别交于M，N 两点. （1）求双曲线C 的标准方程. （2）若直线MB，NB 的斜率分别为 ， ，判断 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 22.（12 分） 已知函数 . （1）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围； （2）若 ， 是 的两个极值点，且 ，证明： . 高二数学试卷参考答案 1.A 因为 ，所以 . 2.B 因为 ，所以 在复平面内对应的点位于第二象限. 3.D . 4.C 因为 ，所以 为奇函数，故排除B，D.当 时， ；当 时， .故选C. 5.C 对于C，因为 ， ，所以平面 内一定存在直线 ，满足 且 ， 相交.因为 ， ，所以 ， ，所以 ，反之不一定成立，故选C. 6.B 因为椭圆 的离心率 ，所以 . 因为 ，所以 ，所以椭圆 的蒙日圆的半径为 . 因为 ，所以 为蒙日圆的直径，所以 ，所以 . 因为 ，当 时，等号成立， 所以 面积的最大值为， . 由 ，得 ， ，故椭圆 的长轴长为 . 7.C 如图，过直线上一点 （与M 不重合）作平面 的垂线交平面 于 ，过 作直线 的垂线交直线 于点 ，则 ， ， ，故 . 8.A 如图，过A，B 向作垂线，垂足分别为D，E，则 . 设 ， ，因为 ， ， 所以 .因为 ，所以 ， . 设直线 的方程为 ， 联立方程组 得 ，则 . 因为 ，所以 或 . 因为 ，所以 ，故 . 9.BC 因为 ，所以 ，得 .因为 图象的一个对称中心为 ，所以 ， 所以 ， ，得 ， .因为 ，所以 ， . 10.ABD 因为展开式中各项的二项式系数之和为64，所以 ， ，故A 正确；令 ，得所有项 的系数和为1，故B 正确；因为 ，所以展开式共7 项，所以第4 项的二项式系数最大，故C 错误；因为 通项是 ，当 时为有理项，所以只有4 项为有 理项，故D 正确. 11.BCD 因为 ，所以异面直线 与 所成的角即 （或其补角）.因为 为正 三角形，所以 ，故A 错误； 因为 平面 ，所以 ，故B 正确﹔ 因为 平面 ，所以 ，故C 正确； 如图，将 与 展开在同一平面内， 的最小值为 ，由余弦定理得 ，故D 正确. 12.ACD 结合函数 和 的图象（图略）可知， 的单调递减区间为 ， 的取值范围是 .由 ，得 ，即 ，则 .又因 为 ，所以 的取值范围为 . 令 ，则 或 ，即函数 有4 个零点. 13. 设 ， 的夹角为 ，因为 ，所以 ，所以 ，故 与 的夹角为 . 14. 或 （注意只需从这两条切线中挑一条作答即可）设切点为 ，因为 ，所以切线方程为 ，将点 代入得 ，解得 或 .当 时，切线方程为 ；当 时，切线方程为 . 15. 圆 的圆心为 ，半径为6，因为圆心到直线的距离为 ，所以直线被圆 截得的弦长为 . 16.-4 因为 是定义在 上的奇函数，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 的周期为8， 所以 ，故 . 17.解：（1）因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 . （2）因为 ， ， 所以 ， . 由余弦定理 ， 可得 ，即 ， 解得 或 . 当 时， 的面积为 ； 当 时， 的面积为 . 18.解：（1）当 时， ，所以 或 . 因为 ，所以 . 当 时， ， 所以 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 所以数列 是首项为1，公差为3 的等差数列， 故 . （2）因为 所以 . 19.解：（1）设对冬季奥运会项目了解比较全面的女生人数为 ，则对冬季奥运会项目了解比较全面的男生 人数为 .因为从被调查的男生和女生中各选一人，两人都对冬季奥运会项目了解不够全面的概率为 ，所以 . 男 生 女生 合计 了解比较全面 80 40 120 了解不够全面 20 60 80 合计 100 100 200 所以 ， 故有99.9%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关. （2）从全校学生中随机抽取一人且该学生对冬季奥运会项目了解比较全面的概率 . 因为随机变量 ， 所以 ， ， ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 所以 . 20.（1）证明：连接 ，设 ，则 ， ， . 因为 平面 ， 为 的中点，所以 平面 . 因为 ，所以 . 以 为坐标原点，以 ， ， 的方向分别为x，y，z 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ， . 因为 ， ， ， 所以 ， ， 所以 ， . 因为 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . （2）解：由（1）知， ， ， . 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 . 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 . 因为 ，且二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为 . 21.解：（1）因为 ， 到渐近线的距离为 ， 又因为 ，所以 ， ， ， 故双曲线 的标准方程为 . （2）设直线： ， ， ， ， 联立方程组 得 ， 所以 ， . 因为直线 的方程为 ， 所以 的坐标为 ，同理可得 的坐标为 . 因为 ， ， 所以 ， 即 为定值 . 22.（1）解：因为 恒成立，所以 ， 即 . 令函数 ，则 恒成立. 令函数 ，则 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 . 因为 ，所以 在 上单调递增， 所以 等价于 ，即 恒成立. 令函数 ，则 ， 当 时， ；当 时， . 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， 故 的取值范围是 . （2）证明：因为 ， 是 的两个极值点，所以 ， 是方程 的两个根， 且 . 由 得 因为 ， 所以 ， 即需证 恒成立. 由 可得 . 令 ，则 ， ， 所以 等价于 ，即 . 令函数 ， ，则 ， 所以 在 上单调递减，所以 ，即 ， 故 .