湖南省湘东九校2021-2022学年高二下学期期末联考数学试卷

湖南省湘东九校2022 年7 月高二期末联考 数学试卷 总分：150 分 时量：120 分钟 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求. 1. 已知复数 ，其中 ，是虚数单位，若 为纯虚数，则 的值为 （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. -1 或1 2. “ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下表是茶颜悦色“幽兰拿铁”一天的销售量 （单位：杯）与温度 （单位：摄氏度） 的对比表，根据表中数据计算得到的经验回归方程是 ，则 的值为（ ） 温度（ ） 18 19 20 21 22 销售量（ ） 79 84 94 96 A. 86 B. 88 C. 90 D. 92 4. 若 ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 5. 已知函数 的部分图象如下图所示，则函数 的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. 第19 届亚运会即将在西子湖畔----杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、 杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，在 杭大学生纷纷踊跃参加.现有4 名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在游泳、篮球、体操 三个项目进行志愿者服务，假设每个项目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能参与其 中一个项目，在甲被安排到游泳项目的条件下，乙也被安排到游泳项目的概率为 （ ） A. B. C. D. 7. 线段 是圆 的一条直径，直线 上有一动点 ，则 的最小值为（ ） A.9 B. 10 C.11 D. 12 8. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，可以形成一个新的数列，再把所得数列按 照同样的方法可以不断构造出新的数列.现将数列1，3 进行构造，第1 次得到数列1，4， 3 ；第2 次得到数列1 ，5 ，4 ，7 ，3 ；依次构造，第 次得到数列1 ， .记 ，若 成立，则 的最小值为 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合要 求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若 为对立事件，则 B. 若 为互斥事件，则 C. 若 ，且事件 互斥，则 相互独立 D. 若 ，则 10. 已知 ，且 ，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线上存在点 （点 不与左、右顶点重合），使得 ，则双曲线 的离心率的可能取 值为 （ ） A. B. C. D. 2 12. 如图，在棱长为2 的正方体 中，点 分别是线段 上的 动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最小值为 C. 直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围为 D. 与 所成角的取值范围为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 的展开式中 的系数为_________（用数字作答）. 14. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，点 是抛物线 上一点， 到准线的距离为 ，且 ，则抛物线 的方程为__________ __. 15. 足球运动成为了当今世界上开展最广、影响最大、最具魅力、拥有球迷数最多的体育项 目之一，2022 年卡塔尔世界杯是第22 届世界杯足球赛，比赛于2022 年11 月21 日至12 月 18 日在卡塔尔境内7 座城市中的12 座球场举行.已知某中球的表面上有四个点 ， 平面 平面 ， 为等腰直角三角形， ， ，则 该足球的表面积为_________. 16. 若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围 是___________. 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10 分）在 中，角 的对边分别为 ，且满足 . （1）求角 的值； （2）若 ，且 的面积为 ，求 边上的中线 的长. 18. （12 分）已知等差数列 满足 ，数列 的前 项和 满足 . （1）求数列 和 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 19.（12 分）如图所示，四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是 边长为2 正方形， ， 与 交于点 ，点 在线段 上. （1）求证： 平面 ； （2）若 平面 ，求平面 与平面 所成夹角的余弦值. 20.（12 分）某城市实施了机动车尾号限行，该市报社调查组为了解市民对“车辆限行”的 态度，随机抽查了50 人，将调查情况进行整理后制成如下表： 年 龄 （岁） 频数 5 5 10 15 10 5 赞成人数 3 4 9 10 7 3 （1）请估计该市市民对“车辆限行”的赞成率和被调查者的年龄平均值；（同一组数据用 该区间的中点值作代表） （2）用样本估计总体，将样本频率视为概率，且每位市民是否赞成相互独立.现从全市年 龄在 的市民中随机选取4 人进行追踪调查，记被选4 人中不赞成“车辆限行”的 人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望； （3）若在这50 名被调查者中随机发出20 份的调查问卷，记 为所发到的20 人中赞成 “车辆限行”的人数，求使概率 取得最大值的整数 . 21.（12 分）动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离之比 是常数 ，记动点 的轨迹为曲线 . （1）求曲线 的方程； （2）设 是曲线 上的一动点，由原点 向圆 引两条切线， 分别交曲线 于点 ，若直线 的斜率均存在，并分别记为 ，试问 是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由. 22.（12 分）已知 . （1）求 （ 为 的导函数）在 上的最小值； （2）讨论函数 在 上的零点个数. 参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D A B B C C AB ABD BC ABD 1. C 【解析】由题意可知： ，则 ，故选C. 2. A 【解析】由题意可知： ，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选A. 3. D 【 解 析 】 由 题 意 可 知 ： ， 则 .故选D. 4. A 【解析】由题意可知： ，则 ，故 选A. 5. B【解析】由题意可知： 为奇函数，排除 ； 在 是单调递减函数，排除A；当 时， ，则 在 单调递增，排除C.故选B. 6. B【解析】记“甲被安排到游泳项目”为事件A，记“乙也被安排到游泳项目”为事件 B，所求概率为 . 故选B. 7. C 【解析】 ，故选C. 8. C 【解析】由题意可知： ，则 ，则 ，当 时， ，当 时， ，故选C. 9. AB 【解析】 ，则 不相互独立，所以C 是错误的； ， 当 相 互 独 立 时 ， 才 有 ，所以D 是错误的，故选AB. 10. ABD 【解析】 ，所以A 是正确的； ，所以B 是正确的； ，则 ， 所 以 C 是 错 误 的 ； ，所以D 正确的，故选ABD. 11. BC 【解析】∵ ，则 ，则排除 A ；记 ， ， ，则 ，由 正弦定理可知： ，则 ，所以B，C 是正确 的，故选BC. 12. ABD【解析】如图1， 平面 ，所以A 是正确的；如图 2， 的最小值就是 ，所 以B 是正确的；如图3，直线 在面 的投影为 ，则直线 与平面 所 成 角 为 ， 则 ， ，所以C 是错误的；如图4， 与 所 成角 的最小角为 ，此时 ，则 ， 与 所 成角 的最大角是直线 或 与 的夹角，此时 ，所以D 是正确.故选 ABD. 三、填空题 13. 240 【解析】 的系数为 . 14. 【解析】依题意可得 ，所以抛物线 的方程为 . 15. 【解析】依题意可得 ，又平面 平面 且交线为 ， 所以 平面 ，在三角形 中， ， 设三角形 的外接圆半径为 ，则有 ， 所以 ， 设足球的半径为 ，则 ， 所以足球的表面积为 . 16. 【解析】不等式 ，在 恒成立， 即 在 恒成立，设 ，则 ， 因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 时， ； 时， ，若 时， 恒成立， 即 恒成立，所以 ， 设 ，则 ，所以 在 上单调递减，所以 ， 即 的取值范围为 . 四、解答题 17.【解析】（1）因为 ， 由正弦定理可得 ，所以 . 因为 ，所以 . （2）法一：因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 又因为 为 的中点，所以 ， 在 中，由余弦定理可得 ， 所以 . 法二：因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 因为 为中线，所以 ， 所以 ， 所以 . 18.【解析】（1）因为 为等差数列，且满足 ， 则 ，所以 ； 又数列 满足 ，则 时， ， 时， ，两式相减可得 ，即 ， 所以 是以-2 为首项，-2 为公比的等比数列，所以 . （2）由（1）可得 ， 所以 ， ， 两式相减可得 ， 所以 ， 所以 . 19. 【解析】因为平面 平面 且交线为 ， 又 平面 且 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以 . 因为 是边长为2 正方形，所以 ，又 ， 所以 ，即 ， 又因为 ， 平面 ， 所以 平面 . （2）因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ， 因为 为 的中点，所以 为 的中点， 以 分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 则有 ， 易得平面 的一个法向量为 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ， 取 ，则 ， 设平面 与平面 所成夹角为 ，则 ， 所以平面 与平面 所成夹角的余弦值为 . 20.【解析】（1）赞成率为 ， 平均年龄为 （2） 的可能取值为0，1，2，3，4，因为年龄在 的市民不赞成“车辆限行”的 频率为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 的分布列为： 0 1 2 3 4 . （3）这50 被调查者中，有36 人赞成，14 人不赞成， 所以 ， 由 ， 解得 ，因为 ，所以 . 21.【解析】（1）由题意，点 与定点 的距离 ， 点 到直线 的距离 ，所以 ，化 简得 故曲线 的方程为 ； （2）由题意可得，直线 的方程分别为 ，设 . 由直线 与圆 相切可得 . ，同理 ， 所以 是方程 的两个根，所以 ， 所以 ， ， 因为 是曲线 上的一动点，所以 ， 则有 ， 联立方程 ，所以 ， 所以 ，同理 所以 ， 因为 ，所以 ， 所以 . 22.【解析】（1）依题意， ， 记 ，则 ， 则 在 上单调递增， 所以 ，故 的最小值为2. （2）法一：由题意可知 . 构造 ，则 ， ① 当 时， ， 则 ， 则 在 上单调递增，则 ， 所以当 时， 在 只有一个零点； ② 当 时，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ，所以 单调递增， 当 时，令 ，则 ，则 单 调递增， 又 ，则 ，使得 ， 所以 ， 单调递减， 单调递增， 又 ，则 ， 所以 单调递减， 单调递增， 又 ，则 ， 所以当 时， 在 有两个零点， 综上：当 时， 只有一个零点；当 时， 有两个零点. 法二：由题意可知 构造 ，则 ， ①当 时，易证 ，则 ，此时 只有 一个零点； ②当 时，则 ， 令 ，则 ， 当 时， ，则 在 单调递增； 令 ，则 ， 当 时， ，则 在 单调递增， 当 时， ，即 ，则 在 单调 递增， 故 ，即 ，则 在 单调递增， 此时 ，此时 只有一个零点， 当 时（同解法一，略）