湖南省长沙市长郡中学2021-2022学年高二下学期期末数学试卷

长郡中学2021-2022 学年度高二第二学期期末考试 数学 一、选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1.设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.已知 ， ， ，则a，b，c 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3.函数 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4.点A 的坐标为（1，3），将点A 绕原点逆时针旋转 后到达C 点位置，则C 的横坐标为 （ ） A. B.-2 C. D. 5.为了宣传2022 年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5 名志愿者将两个 吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的 安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不 同的分配方案种数为（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 6. ★如图是函数 的导函数 的图象，则下列判断正确的是（ ） A.在区间（-2，1）上， 是增函数 B.当 时， 取到极小值 C.在区间（1，3）上， 是减函数 D.在区间（4，5）上， 是增函数 7.已知函数 .若 存在2 个零点，则a 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 8.若函数 在 上单调，且在 上存在极值点，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9.已知复数 ，则下列各项正确的为（ ） A.复数z 的虚部为i B.复数 为纯虚数 C.复数z 的共轭复数对应的点在第四象限 D.复数z 的模为 10.如图，在 中， ， ， ， ， . 设 在 上的投影向量为 ，则下列命题正确的是（ ） A. 的值为 B. 的值为 C. D. 11. 已知定义在R 上的函数 满足 ， ，且当 时， ，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线 对称 B.当 时， C.当 时， 单调递增 D. 12.关于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 是 的极大值 B.函数 有且只有1 个零点 C. 在（0，1）上单调递减 D.设 ，则 三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13. 的展开式中 的系数为______. 14. 已知随机变量X 服从正态分布 ，且 ，则 ______. 15.若函数 在区间 上是增函数，则a 的取值范围是___ ___. 16.费马点是指到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费 马点在三角形内，且费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点对三角 形三边的张角相等，均为120°.已知 的三个内角均小于120°，P 为 的费马 点，且 ，则 面积的最大值为______. 四、解答题（本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10 分）设函数 . （1）画出 的图象； （2）当 时， ，求 的最小值. 18. ★ （12 分）在5 道试题中有3 道代数题和2 道几何题，每次从中随机抽出1 道题，抽出 的题不再放回，求： （1）第1 次抽到代数题且第2 次抽到几何题的概率； （2）在第1 次抽到代数题的条件下，第2 次抽到几何题的概率. 19. （12 分）已知 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足 . （1）求角C； （2）CD 是 的角平分线，若 ， 的面积为 ，求c 的值. 20.（12 分）设平面向量 ， ，函数 . （1）当 时，求函数 的值域； （2）若锐角 满足 ，求 的值. 21.（12 分）某靶场有A、B 两种型号的步枪可供选用，其中甲使用A、B 两种型号的步枪 的命中率分别为 ， . （1）若出现连续两次子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，若击中标靶至少 3 次，则可以获得一份精美礼品，若甲使用B 型号的步枪，并装填5 发子弹，求甲获得精 美礼品的概率； （2）现在A、B 两把步枪中各装填3 发子弹，甲打算轮流使用A、B 两种步枪进行射击， 若击中标靶，则继续使用该步枪，若未击中标靶，则改用另一把步枪，甲首先使用A 种型 号的步枪，若出现连续两次子弹脱靶或者其中某一把步枪的子弹打光耗尽的现象便立刻停 止射击，记X 为射击的次数，求X 的分布列与数学期望. 22.（12 分）已知函数 ，且当 时， 的最大值为-1. （1）当 时，求 的图象在点 处的切线方程； （2）当 时，证明： 的极大值小于 . 长郡中学2021-2022 学车度高一第二学期期末考试 数学参考答案 一、二选择题 1.B 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.BCD 10.BD 11.ACD 12.BCD 3.A【解析】由题可得函数 定义域为 ，且 ，故 函数为奇函数，故排除BD，由 ， ，故C 错误，故选A. 4.D 【解析】设角 的终边过 ，则 ， ， ， 将 绕原点按逆时针方向旋转 ，得 ，则 ，设C 的坐标为 ， 则 ， 则点C 的横坐标为 .故选D. 5.C【解析】按除去小明和小李后，剩余3 人与小明同组的人数确定分组方法，即 种方法，这两组安装吉祥物的方法为 ，故按要求这五人共有 种方法.故选C. 6.D【解析】在（4，5）上 恒成立，∴ 是增函数. 7.C【解析】函数 存在2 个零点，即关于x 的方程 有2 个不同的实根，即函数 的图象与直线 有2 个交点，作出直线 与函数 的图象如图所示，由图可知， ，解得 . 8.A【解析】依据函数在 上单调，可知 ，计算出函数的对称轴，然后根据函 数在所给区间存在极值点可知 ，最后计算可知结果.因为 在 上单调， 所以 ，则 ，由此可得 . 因为当 ，即 时，函数取得极值，欲满足在 上 存在极值点，因为周期 ，故在 上有且只有一个极值，故第一个极值点 ，得 .又第二个极值点 ，要使 在 上单 调，必须 ，得 .综上可得， 的取值范围是 .故选A. 9.BCD【解析】 ，复数z 的虚部为1，故A 错误；复数 为纯虚数，故B 正确；复数z 的共轭复数对应点（2，-1）在第四象限， 故C 正确； ，故D 正确.故选BCD. 10.BD【解析】 在 上的投影向量为 ， ∴ . ， ， ∴ . 11.ACD【解析】因 ，则有函数 图象关于直线 对称，A 正 确； 由 得 ，又R 上的函数 满足 ， 因此有 ，于是得函数 是周期为2 的周期函数，当 时， ， 则 ，B 不正确； 当 时， ，因此 在[2，3]上单调递增，C 正确； 函数 是周期为2 的周期函数，则 ，D 正确；故选ACD. 12.BCD【解析】 ， ， ， 时， ，此时函数 单调递减； 时， ，此时函 数 单调递增，可得：函数 在 时取极小值即最小值， ，∴A 不正 确，而C 正确. 令 ，则 ，因此函数 在 上单调递减，而 ，因此函数 只有一个零点1，因此B 正确. ， 在 上单调递增，而 ，∴ 是函数 的极小值点，∴ ，因此D 正确.故选BCD. 三、填空题 13.12 14.0.14 【 解 析 】 ∵ 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 ， ∴ ， ∴ ，故答案为：0.14. 15. 【解析】由题意可得： ， ∵ 在定义域上是单调增函数，且函数 在区间 上是增函数， ∴ 在 上是增函数，∴ ，∴ ， 当 时，函数的定义域为 ，∴ ，∴ ， 当 时，定义域为 ，∴ . 16. 【 解 析 】 ∵ ， ∴ .∴ ，当且仅当 时， 等号成立. 四、解答 17.【解析】（1）当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， 则 画出 的图象. （2）当 时， ， 当 时， ，∴ ，当 时，要使 恒成立， 则函数 的图象都在直线 的下方或在直线上，∵ 的图象与y 轴的交点 的纵坐标为2， 且各部分直线的斜率的最大值为3，故当且仅当 且 时，不等式 在 上成立， 即 的最小值为5. 18.【解析】（1）设事件A 表示“第1 次抽到代数题”，事件B 表示“第2 次抽到几何 题”， 则 ， . （2）由（1）可得，在第1 次抽到代数题的条件下，第2 次抽到几何题的概率为 . 19. 【解析】（1 ）由正弦定理及 ，知 ， 化简得， . 由余弦定理知， ， 因为 ，所以 . （2）因为 的面积 ，所以 ， 由角平分线定理知 ，因为A，D，B 三点共线，所以 ， 所以 ， 即 ，化简得， ， 解得 ， 所以 ， 由（1）知， ，所以 . （第2 小问，用面积和得 做更简便） 20. 【 解 析 】 （ 1 ） . 当 时， ， ∴ ，即函数 的值域为 . （ 2 ） ， 则 ， ∴ . 21. 【解析】（1 ）甲击中5 次的概率为 ，甲击中4 次的概率为 ， 甲击中3 次的概率为 ， 所以甲获得精美礼品的概率为 （2）X 的所有可能取值为2，3，4，5， ， ， ， 所以X 的分布列为： X 2 3 4 5 P 所以 . 22.【解析】（1） 的定义域为 . 当 时， . ①若 ，因为 ，所以不满足题意. ②若 ， .当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 故x=b 是 在 上的唯一最大值点. 由于 ，所以 .所以 ， ， 故所求切线方程为 ，即切线方程为 . （2） ， 令 ，得 ， ， 当 时， ，因为当 时， ， 当\frac{1}{a}<x<1 时，f'\left(x\right)<0，当x>1 时， ， 所以 在 上是增函数，在 上是减函数，在 上是增函数. 所以 的极大值为 . 设 ，其中 ， 则 ， 所以 在 上是增函数， 所以 ，即 的极大值 小于 .