湖南省多所学校2022-2023学年高二上学期期中数学试卷

（北京）股份有限公司 高二数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号，座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时， 将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册、第二册占30%，选择性必修第 一册占70%。 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.倾斜角为135°，在 轴上的截距为1 的直线方程是 A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3.下列关于空间向量的说法中错误的是 A.零向量与任意向量平行 B.任意两个空间向量一定共面 C.零向量是任意向量的方向向量 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 4.若方程 表示椭圆，则 的取值范围为 A. B. C. D. 5.空间中有三点 ， ， ，则点P 到直线MN 的距离为 A. B. C.3 D. 6.某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9 名评委对某摄影作品的评分如下： 97，90， ，95，92，85，87，90，94.去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平 均分为91 分，后来有1 个数据模糊，无法辨认，以 表示，则 A.84 B.86 C.89 D.98 7.已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点， 是 上一点，且位于第一 象限， ，则 的纵坐标为 A.1 B.2 C. D. （北京）股份有限公司 8.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑 中， 平面 ， ， ，E 是BC （北京）股份有限公司 的中点，H 是 内的动点（含边界），且 平面ACD，则 的取值范围 是 A. B. C. D. 二、选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，则 A. 的图象关于 轴对称 B. 的最小正周期是 C. 的图象关于点 对称 D. 在 上单调递减 10.如图，平面 内的小方格均为边长是1 的正方形，A，B，C，D，E，F 均为正方形 的顶点，P 为平面 外一点，则 A. B. C. D. 11.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为，过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点， 的中点为M，A，M，B 在直线上的投影分别为P，N，Q，则 A. B. C. D. （北京）股份有限公司 12.已知曲线 ： ，则 A.曲线 围成的面积为 （北京）股份有限公司 B.曲线 截直线 所得弦的弦长为 C.曲线 上的点到点 的距离的最大值为 D.曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知向量 ， ， ，若 ， ， 共面，则 ______ ____. 14.已知圆 和圆 的半径都为1，圆心分别为 ， ，写出一个与圆 和 圆 都相切的圆的方程：__________. 15.古希腊伟大的数学家阿基米德早在2200 多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆 周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.如图，某种椭圆形镜子按照实际面积定价，每 平方米200 元，小张要买的镜子的外轮廓是长轴长为1.2 米且离心率为 的椭圆，则小张 要买的镜子的价格为__________元.（结果精确到整数） 16.足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、 内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，如图所示.已知某“鞠” 的表面上有四个点P，A，B，C，满足 ， 平面ABC， ，若三棱锥 的体积为2，则制作该“鞠”的外包皮革面积的最小值为___________. 四、解答题：本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） 17.（10 分） 为丰富学生的校园生活，提升学生的实践能力和综合素质，培养学生的兴趣爱好，某校计 （北京）股份有限公司 划借课后托管服务平台，开设书法兴趣班.为了解学生对这个兴趣班的喜爱情况，该校随机 抽取了本校100 名学生，调查他们对这个兴趣班的喜爱情况，得到数据如下. （北京）股份有限公司 喜爱 不喜爱 合计 男 40 20 60 女 30 10 40 合 计 70 30 100 （1）从这100 名学生中随机抽取1 人，求该学生是女学生且喜欢书法兴趣班的概率； （2）从该校随机抽取1 名男学生和1 名女学生，求这2 名学生中恰有1 人喜欢书法兴趣班 的概率. 18.（12 分） 已知圆 经过点 ， ， . （1）求圆 的标准方程； （2）过点 向圆 作切线，求切线方程. 19.（12 分） 如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， . （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求平面 与平面 夹角的余弦值. 20.（12 分） 在锐角 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且 . （1）求角 的大小； （2）求 的取值范围. 21.（12 分） 已知双曲线 ： 的离心率为 ，且焦点到渐近线的距离为1. （1）求双曲线 的方程； （2）若动直线与双曲线 恰有1 个公共点，且与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点， 为坐标原点，证明： 的面积为定值. （北京）股份有限公司 22.（12 分） 如图，菱形 的边长为2， ，E 为AB 的中点.将 沿DE 折起，使 A 到达 ，连接 ， ，得到四棱锥 . （1）证明： . （北京）股份有限公司 （2）当二面角 在 内变化时，求直线 与平面 所成角的正 弦值的最大值. 高二数学试卷参考答案 1.B 因为直线的倾斜角为135°，所以斜率为-1.因为直线在 轴上的截距为1，所以所求直线 方程为 ，即 . 2.D 3.C 在直线上取非零向量 ，把与向量 平行的非零向量称为直线的方向向量，C 错误. 4.D 因为方程 表示椭圆，所以 ， ，且 ，解 得 . 5.A 因为 ，所以 的一个单位方向向量为 . 因为 ，所以点 到直线 的距离为 . 6.C 当 时， ，则 不符合题意； 当 时， ，则 不符合题意； 当 时， ，解得 . 7.C 因为 ，所以 . 由双曲线的定义可得 ， 所 以 ， 解 得 ，故 的面积为 .设 的纵坐标为 ， 的 （北京）股份有限公司 面积为 ，解得 . 8.B 设F，G 分别为AB，BD 的中点，连接FG，EF，EG.易得 ， ，因 为 平面 ， 平面 ， ， （北京）股份有限公司 ，所以平面 平面 .因为 平面 ，所以H 为线段FG 上的点. 易得 平面 ，因为 ，所以 平面 ， ， . 因为 ，所以 ， . . 因为 ，所以 . 9.BCD 将 的图象向右平移 个单位长度后得到 的图象，则 .则A 错误，B 正确.令 ， ，解得 ， ，当 时， . 则C 正确. 令 ， ，解得 ， ，则D 正确. 10.ABD 在平面 内选取两个互相垂直的单位向量 ， ，且 ， 则 ， ， ， 则 ， . 所以 ， . ， . （北京）股份有限公司 11.ACD 抛物线 的焦点为 ，准线方程为 . 设直线 的方程为 ， ， ，则 ， （北京）股份有限公司 .联立方程组 得 ，则 ， . 因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 ，故A 正确； 因为 ，所以 ， 故C 正确，B 错误； 因为 ，所以 ，故D 正确. 12.ABD 当 ， 时，曲线 ： ；当 ， 时，曲线 ： ；当 ， 时，曲线 ： ；当 ， 时，曲线 ： .画出曲线 ，如图所示.曲线 围成的 面积为 ，A 正确. 曲线 截直线 所得弦的弦长为 ，B 正确. 以 为圆心作圆与曲线 相切，设其中一个切点为 ，则曲线 上的点到点 的距 离的最大值为 ，C 错误. 数形结合可得，曲线 上到直线 距离最大的点在第一象限， 到直线 的距离 ，曲线 上的点到直线 的距 离的最大值为 ，D 正确. （北京）股份有限公司 13.1 因 为 ， ， 共 面 ， 所 以 ， 即 ，则 ，解得 ， ， . 14. （或 或 ）与圆 和圆 都相切的圆如图所示，分别为 ， ， . 15.151 设镜子的外轮廓对应的椭圆的长半轴长与短半轴长分别为 米， 米，则 故小张要买的镜子的价格为 元. 16. 如图所示，取 的中点 ，过 作 ，且 ， 因为 平面 ，所以 平面 . 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 是三棱锥 外接球的球心， 为球的半径. 因为 ，所以 . 因 为 ， 所 以 球 的 半 径 （北京）股份有限公司 ， （北京）股份有限公司 当且仅当 时，等号成立，此时 ，所以 ，故所求表面积 的最小值为 . 17.解：（1）从这100 名学生中随机抽取1 人，该学生是女学生且喜欢书法兴趣班的概率为 . （2）由题意可知该校男学生喜欢书法兴趣班的频率为 . 由题意可知该校女学生喜欢书法兴趣班的频率为 . 故所求概率 . 18.解：（1）设圆 的方程为 ， 则 解得 ， ， ， 所以圆 的方程为 ， 故圆 的标准方程为 . （2）当切线斜率不存在时，切线方程为 . 当切线斜率存在时，设切线方程为 ，即 . 由 ，解得 ， 所以切线方程为 ，即 . 综上所述，所求切线方程为 或 . 19.解：（1）以 为坐标原点， 的方向为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系， （北京）股份有限公司 则 ， ， ， ， 则 ， ， （北京）股份有限公司 所以 ， 故异面直线 与 所成角的余弦值为 . （2） ，设平面 的法向量为 ， 则 ，即 令 ，得 . 易知 是平面 的一个法向量， 由 ， 得平面 与平面 夹角的余弦值为 . 20.解：（1）由正弦定理可得 ， 即 . 因为 ， 所以 ， 即 . 因为 ，所以 ， . 因为 ，所以 . （2） . （北京）股份有限公司 因为 为锐角三角形，所以 ，则 . （北京）股份有限公司 所以 ， . 故 的取值范围为 . 21.（1）解：设双曲线 的一个焦点为 ，一条渐近线的方程为 ， 所以焦点到渐近线的距离为 . 因为 ，所以 ， ， 所以双曲线 的方程为 . （2）证明：当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ， 此时 ， . 当直线的斜率存在时，不妨设直线： ，且斜率 ， 联立方程组 得 ， 由 ，得 ， 联立方程组 得 . 不妨设直线与 的交点为 ，则 . 同理可求 ，所以 . 因为原点 到直线的距离 ， 所以 ，又因为 ，所以 ， 故 的面积为定值，且定值为 . 22.（1）证明：在菱形 中，因为 为 的中点， ，所以 ， （北京）股份有限公司 在翻折过程中，恒有 ， ， 又 ，所以 平面 ， 而 平面 ，所以 . （北京）股份有限公司 （2）解：由（1）知 为二面角 的平面角，记其为 ，则 ， 以 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ， ， ， 设平面 的法向量 ，则 ，得 令 ，得 ， ，则 . 令 ， ，得 . ， 当且仅当 时，等号成立. 故直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .