黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

哈师大附中2020 级高二上学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.直线x+√3 y+1=0 的倾斜角为 （ ） A．2 π 3 B． π 6 C． 5 π 6 D．π 3 2.过直线 x+ y−3=0 和 2 x−y+6=0 的交点，且与直线 2 x+ y−3=0 垂直的直线方程是 () A． 4 x+2 y−9=0 B． 4 x−2 y+9=0 C． x+2 y−9=0 D． x−2 y+9=0 3.圆x2+ y2−2 x−2 y+1=0 上的点到直线x−y=2的距离最大值是（ ） A． B．1+√2 C．1+ √2 2 D．1+2√2 4.焦点为 ，离心率为 的椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 5.如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是 （ ） A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B． C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 6.经过点 P (2,−3) 作圆 (x+1) 2+ y 2=25 的弦 AB，使点 P 为弦 AB 的中点，则弦 AB 所在直线的 方程为 () A． x−y−5=0 B． x−y+5=0 C． x+ y+5=0 D． x+ y−5=0 7.将标号为1，2，3，4，5，6 的6 个小球放入3 个不同的盒子中，若每个盒子至少放1 个，但其中 标号为1，2 的小球放入同一个盒子中，则不同的放法共有( ) A．150 种 B．160 种 C．240 种 D．360 种 8.在平面直角坐标系 xOy 中，O 是坐标原点，设函数 f (x )=k (x−2)+3 的图象为直线 l，且 l 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，给出下列四个命题： ①存在正实数 m，使 △AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有一条； ②存在正实数 m，使 △AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有两条； ③存在正实数 m，使 △AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有三条； ④存在正实数 m，使 △AOB 的面积为 m 的直线 l 仅有四条． 其中所有真命题的序号是 () A. ①②③ B. ③④ C. ②④ D. ②③④ 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分. 9．已知椭圆 ，则下列结论正确的是（ ） A．若 ，则椭圆 的离心率为 B．若椭圆 的离心率越趋近于0,椭圆越接近于圆 C．若点 分别为椭圆 的左、右焦点，直线过点 且与椭圆 交于 两点，则 的周长 为 D．若点 分别为椭圆 的左、右顶点，点 为椭圆 上异于点 的任意一点，则直线 的斜率之积为 . 10．在二项式 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A．第5 项的二项式系数最大 B．所有项的系数和为 C．所有奇数项的二项式系数和为 D．所有偶数项的二项式系数和为 11．投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1 和表2 所示． 表1 股票甲收益的分布列 表2 股票乙收益的分布列 收益X/元 -1 0 2 收益Y/元 0 1 2 概率 0.1 0. 3 0. 6 概率 0. 3 0.4 0. 3 则下列结论中正确的是（ ） A．投资股票甲的期望收益较小 B．投资股票乙的期望收益较小 C．投资股票甲比投资股票乙的风险高 D．投资股票乙比投资股票甲的风险高 12．以下四个命题表述正确的是（ ） A．直线 恒过定点 B．圆 上有且仅有3 个点到直线 的距离都等于1 C．曲线 与曲线 恰有三条公切线，则 D．已知圆 ，点P 为直线 上一动点，过点 向圆 引两条切线 、 ， 、 为切点，则直线 经过定点 三、填空题：本题4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 A={三个人去的景点各不相同}，事件 B={甲独自去一个景点}，则 P ( A ∣B)=¿ ． 14.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为 2:1，货车中途停车修理的概率为 0.02，客车中途停 车修理的概率为 0.01，今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率 ． 15.书架上原有6 本书，再放上3 本，但要求原有的相对顺序不变，则不变方法有______. 16． 中， ， 边上的两条中线之和为39，则 的重心的轨迹方程为 _____________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答题应写出文子说明、证明过程或演算步骤. 17.（本题满分10 分） 已知椭圆C 与与椭圆 有相同的焦点,且离心率为 . （1）椭圆C 的标准方程； （2）若椭圆C 的两个焦点 ，P 是椭圆上的点，且 ，求 的面积. 18. （本题满分12 分） 已知圆C 的圆心C 在直线 上，与x 轴相切，且被直线 截得的弦长为 . （1）求圆C 的方程； （2）当圆C 的圆心在第一象限时，过点 作圆C 的切线，求切线方程. 19. （本题满分12 分） 某超市销售 5 种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品 牌 牙 膏 的 销 售 量 在 超 市 同 类 产 品 中 所 占 比 重 ） 如 下 ： 牙膏品牌 A B C D E 销售价格 15 25 5 20 35 市场份额 15% 10% 25% 20% 30% (1) 依市场份额进行分层抽样，随机抽取 20 管牙膏进行质检，其中 A 和 B 共抽取了 n 管． （i）求 n 的值； （ii）从这 n 管牙膏中随机抽取 3 管进行氟含量检测．记 X 为抽到品牌 B 的牙膏数量，求 X 的分布列和数学期望和方差． (2) 品牌 F 的牙膏下月进入该超市销售，定价 25 元/管，并占有一定市场份额．原有 5 个品牌 的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管 μ1 元，下 月牙膏的平均销售价为每管 μ2 元，比较 μ1，μ2 的大小．（只需写出结论） 20. （本题满分12 分） 在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标分别为 B(-1,1)，内角A 的角分线方程为3x+y-3=0,AB 边上的 高线方程为2x-y-2=0. (1)求AC 边的所在直线方程;（2）若△ABC的面积为 ，求△ABC外接圆方程. 21.（本题满分12 分） 某射手每次射击击中目标的概率是 2 3，且各次射击的结果互不影响． (1) 假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的概率； (2) 假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分，在 3 次射击中， 若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分， 记 ξ 为射手射击 3 次后的总的分数，求 ξ 的分布列和期望． 22．（本题满分12 分） 已知圆 O1: x 2+ y 2+2 x+8 y−8=0，圆 O2: x 2+ y 2−4 x−4 y−2=0． (1) 试判断圆 O1 与圆 O2 的位置关系；若两圆相交，求公共弦长； (2) 在直线 O1O2 上是否存在不同于 O1 的一点 A，使得对于圆 O2 上任意一点 P 都有 ∣PO1∣ ∣PA ∣ 为同一常数？若存在，请求出点 A 的坐标；若不存在，请说明理由． 2019 级高二上学期期中数学试卷答案 一、选择题 1.C 2.D 3.B 4.B 5.B 6.A 7.A 8.D 9.BCD 10.ABD 11.BC 12.BD 二、填空题 13.0.5 14.0.8 15.504 16. 三、解答题 17.解：（1）椭圆C 的焦点 ， 所以椭圆C 的标准方程为 . 4 分 （2）由 ， ，得 ，而 ，所以 ，所以 10 分 18. 解：（1）由已知圆心C 在直线3x-y=0 上，且与x 轴相切，，设圆心C(a,3a),半径r=|3a|,圆心C 到 直线x-y=0 的距离 , 由 得 ，故所求圆的方程为 或 . 6 分 （3）因为圆心在第一象限，所以圆方程为 ， 若直线的斜率不存在，即x=4 满足条件； 8 分 若直线的斜率存在，设直线方程为y-1=k(x-4),由 ，得 ，即直线的方程为 5x-12y-8=0 故所求的切线方程为x=4 或5x-12y-8=0 12 分 19.(1) 由题设，品牌 A 的牙膏抽取了 20×15%=3 管， 品牌 B 的牙膏抽取了 20×10%=2 管， 所以 n=3+2=5． 2 分 （ii）随机变量X 的可能取值为0,1,2 P ( X=2)=C3 1C2 2 C5 3 = 3 10 P ( X=1)=C3 2C2 1 C5 3 =3 5 P ( X=0)=C3 3 C5 3= 1 10 所以 X 的分布列为： 的数学期望为 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 X 8 分E ( X )=0× 1 10 +1× 3 5 +2× 3 10=6 5． 10 分 (2) μ1<μ2． 12 分 20.解：（1）由AB 边上高为2x-y-2=0，得直线AB 的斜率为 ，所以直线AB： 由 ，得A(1,0), 点B(-1,1)关于3x+y-3=0 的对称点为（2,2），所以直线AC:y=2x-2 6 分 （2）由 ，△ABC的面积为 ， , 得 ，所以BC 为△ABC外接圆 的直径，所以外接圆的方程为 . 6 分 21.解：(1) 设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数，则 X ∼B(5, 2 3)． 在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率P ( X=2)=C5 2×( 2 3) 2 ×(1−2 3) 3 = 40 243 . 4 分 (2) 由 题 意 可 知 ， ξ 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,3,6， 则 P (ξ=0) ¿ P ( A1 A2 A3)=( 1 3) 3 = 1 27 , P (ξ=1) ¿ P ( A1 A2 A3)+P ( A1 A❑2 A3)+P ( A1 A2 A3) ¿ ¿ =P ( A1 A2 A3)=2 3 × 1 3 × 2 3= 4 27 ,¿ P (ξ=3)¿=P ( A1 A2 A3)+P ( A1 A2 A3)¿=( 2 3) 2 × 1 3 + 1 3 ×( 2 3) 2 = 8 27 ,¿ P (ξ=6)¿=P ( A1 A2 A3)=( 2 3) 3 = 8 27 .¿ 所以 ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 3 6 P 1 27 2 9 4 27 8 27 8 27 10 分 12 分 22 解：由圆 得圆 ， 由圆 得圆 ， 两圆的圆心距 ， 又 ，所以两圆相交． 3 分 两圆交点弦的方程为x+2y-1=0,所以相交弦长为 . 3 分 （2）存在．易得直线 的方程为 ， 设 ， 结合题意， 设 （ ， ）， 8 分 化简得 ， 显然上式与圆 的方程为同一方程， 所以 所以 故所求点的坐标为 ． 12 分