黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题

试卷第1页，共4页 哈师大附中2021 级高二上学期开学数学试题 一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1． 在复平面内， 复数z1， z2 所对应的点关于虚轴对称， 若z1＝1+2i， 则复数z2＝ （ ） A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．2+i 2．如图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图为△A'B'C'，已知A'O'＝B'O'＝C'O'＝1，则 △ABC 的周长为（ ） A．6 B．8 C． D． 3．已知在ABC 中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A．x>2 B．0<x<2 C．2<x<3 D．2<x<4 4．为庆祝中国共产党成立100 周年，某市举办“红歌大传唱”主题活动，以传承红色 革命精神， 践行社会主义路线，某高中有高一、高二、高三分别600 人、500 人、700 人，欲采用分层抽样法组建一个36 人的高一、高二、高三的红歌传唱队，则应抽取 高三（ ） A．10 人 B．12 人 C．14 人 D．16 人 5．已知向量a  ，b  满足 3 a   ， 4 b   ，且a  与b  反向，则  3 a b b      （ ） A．36 B．48 C．57 D．64 6．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，其面积 为2，则△ABC 的外接圆的直径为（ ） A．4 2 B．5 2 C．4 D．5 7．某圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为（ ） A． B． C． D． 8． 从2 名男生和2 名女生中选2 人参加校庆汇报演出， 则选到一男一女的概率为 （ ） A． B． C． D． 试卷第2页，共4页 9．已知四面体ABCD 的所有棱长都相等，其外接球的体积等于 π，则下列结论正确 的个数为（ ） ①四面体ABCD 的棱长均为2： ②四面体ABCD 的体积等于 ； ③异面直线AC 与BD 所成角为60°． A．0 B．1 C．2 D．3 10． 已知p是边长为2的正三角形ABC的边BC上的一点， 则AP AB    的取值范围是 （ ） A．[2，6] B．[2，4] C．(2，4) D．(0，4) 11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为2，M，N 分别是棱BC，CC1 的中点，动点 P 在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，若PA1∥面AMN，则线段PA1 的长度范围 是（ ） A．[2， ] B．[2，3] C．[ ，3] D． [ ， ] 12.在等腰ABC  中，AB＝AC，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC  的面积的最大 值是（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13． 已知平面向量a  ， b  满足 1 a   ， 2 b   ，  0 a a b       ， 则a  ， b  的夹角为________. 14.已知甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：14，30，37，a ，41，52，53， 55，58，80；乙组：17，22，32，b ，45，47，51，59．若甲组数据的第30 百分位数 和乙组数据的中位数相等，则 a b等于___________. 15．设ABC  的内角 , , A B C 所对的边为, , a b c ，则下列命题正确的有___________. ①．若 2 2 2 a b ab c    ，则0 3 C    ②.若 2 ab c  ，则0 3 C    ③．若 2 a b c   ，则0 3 C    ④．若 4 4 4 a b c   ，则0 2 C   16．已知正三棱锥P ABC  侧棱长为l ，且 2 3 l  ，底面边长为2，则P ABC  外接 试卷第3页，共4页 球表面的最小值为___________. 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题10 分）． 树立和践行 “绿水青山就是金山银山， 坚持人与自然和谐共生” 的理念越来越深入人心， 已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进 展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20 人的样本，并将这20 人按年龄分组： 第1 组[15，25），第2 组[25，35），第3 组[35，45），第4 组[45，55），第5 组[55， 65]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求样本中第3 组人数； （2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的平均数； （3）若从年龄在[15，35）的人中随机抽取两位，求至少有一人的年龄在[15，25） 内的概率． 18．（本小题12 分）． 在ABC  中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知 2 2 2 b c a bc    . （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若 2 a  ，求2b c 的取值范围. 19．（本小题12 分）． 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的体积为4，△A1BC 的面积为 ． （1）求A 到平面A1BC 的距离； （2）设D 为A1C 的中点，AA1＝AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A﹣BD ﹣C 的正弦值． 试卷第4页，共4页 20．（本小题12 分）． 甲、乙，丙三个同学做同一道数学题，且他们能否解答正确该题互不影响.已知甲解答 正确的概率为p ，乙解答正确的概率为m ，丙解答正确的概率为0.7，甲、乙二人中至 少有一人解答正确的概率为0.88. (1)若 0.5 p  ，求甲，乙二人中至多有一人解答正确的概率； (2)若 2 m p  ，求甲，乙、丙三人中恰有两人解答正确的概率. 21．（本小题12 分）． 已知ABC  的内角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且2 cos 2 a B c b    . (1)求角A 的大小； (2)若 3 3 a  ，求ABC  面积的最大值. 22．（本小题12 分）． 如图， 在平行四边形ABCD中， 2 AB  ， 2 BC  ， 4 ABC    ， 四边形ACEF 为矩形， 平面ACEF 平面ABCD， 1 AF ，点M 在线段EF 上运动． (1)当AE DM  时，求点M 的位置； (2)在（1）的条件下，求平面MBC 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值． 试卷第5页，共5页 哈师大附中2021 级高二上学期开学数学试题答案 一、 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 A C D C A B C A C B D A 二、 16 13. 14. 8 15. 3 3   ②③④ 16. 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解：（1）由频率分布直方图进行数据分析可得： （0.01+0.015+a+0.03+0.01）×10＝1，解得：a＝0.035． 所以样本中第3 组人数为：0.035×10×20＝7； （2）由频率分布直方图进行数据分析可得： 样本数据的平均数为20×0.01×10+30×0.015×10+40×0.035×10+50×0.03×10+60× 0.01×10＝41.5； （3）记事件A：至少有一人的年龄在[15，25）内， 年龄在[15，25）的有2 人，设为a、b；年龄在[25，35）的有3 人，设为1、2、3； 从5 人中任选2 人，有：ab、a1、a2、a3、b1、b2、b3、12、13、23 共10 种情况． 至少有一人的年龄在[15，25）内包括：ab、a1、a2、a3、b1、b2、b3 共7 种情况． 故所求概率为： ． 18． （Ⅰ） 2 2 2 1 cos 2 2 2 b c a bc A bc bc      ，   0, A    3 A    （Ⅱ） 3 A    ， 2 a  ， 由正弦定理， 4 sin sin sin 3 b c a B C A    ， 试卷第6页，共5页 4 sin 3 b B   ， 4 sin 3 c C  ，       4 4 2 2sin sin 2sin sin 3 3 b c B C A C C        ，   4 2sin cos 2cos sin sin 4cos 3 A C A C C C     ； 又 2 3 B C    ，故 2 0 3 C    ， 1 cos 1 2 C   ，   2 2,4 b c   . 19．解： （1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1 的体积为4，可得V ＝ V ＝ ， 设A 到平面A1BC 的距离为d，由V ＝V ， ∴ S •d＝ ，∴ ×2 •d＝ ，解得d＝ ． （2）连接AB1 交A1B 于点E，∵AA1＝AB，∴四边形为正方形， ∴AB1⊥A1B，又∵平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B， ∴AB1⊥平面A1BC，∴AB1⊥BC， 由直三棱柱ABC﹣A1B1C1 知BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥BC，又AB1∩BB1＝B1， ∴BC⊥平面ABB1A1，∴BC⊥AB， 以B 为坐标原点，BC，BA，BB1 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ∵AA1＝AB， ∴BC× AB× ＝2 ， 又 AB×BC×AA1＝4， 解得AB＝BC＝AA1＝2， 则B（0，0，0），A（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，2，2），D（1，1，1）， 则 ＝（0，2，0）， ＝（1，1，1）， ＝（2，0，0）， 设平面ABD 的一个法向量为＝（x，y，z）， 则 ，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1， ∴平面ABD 的一个法向量为＝（1，0，﹣1）， 设平面BCD 的一个法向量为＝（a，b，c）， 试卷第7页，共5页 ，令b＝1，则a＝0，c＝﹣1， 平面BCD 的一个法向量为＝（0，1，﹣1）， cos＜，＞＝ ＝ ， 二面角A﹣BD﹣C 的正弦值为 ＝ ． 20． (1)解：设A 为“甲解答正确”，B 为“乙解答正确”，C 为“丙解答正确”,且A 、B 、C 相互独 立， “甲、乙二人都解答正确”为事件“ AB ”，“甲、乙二人都解答错误”为事件“ AB ” ， 所以     0.88 1 1 1 1 P AB P A P B           ， 即    0.88 1 1 0.5 1 m     ，解得 0.76 m  ， 所以甲、乙二人中至多有一人解答正确的概率   1 1 0.5 0.76 0.62 P P AB     . (2) 解：由（1）知    1 1 1 0.88 p m      且 2 m p  ，解得 0.8 0.4 m p      ， 即  0.8 P A  、  0.4 P B  ，又 0.7 P C  ， 设甲、乙、丙三人中恰有两人解答正确为事件D ， 则       0.8 0.4 1 0.7 0.7 0.4 1 0.8 0.8 0.7 1 0.4 0.488 P D              . 21． (1) 在ABC 中，A B C     ， 由题意及正弦定理得2sin cos 2sin sin A B C B    ， ∴   2sin cos 2sin sin A B A B B     ， 试卷第8页，共5页 ∴2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A B A B A B B       ， ∴2cos sin sin A B B   ， 又∵sin 0 B  ，∴ 1 cos 2 A  ， 又∵   0, A   ，∴ 3 A   . (2) ∵ 3 3 a  ， 3 A   ， ∴由余弦定理得 2 2 2 1 cos 2 2 b c a A bc     ， 即 2 2 27 1 2 2 b c bc    ，化简 2 2 27 2 b c bc bc     ， 故 27 bc  （当且仅当 3 3 b c   时取“=”号）， ∴ 1 1 3 27 3 sin 27 2 2 2 4 ABC S bc A       △ . ∴ABC 面积的最大值为27 3 4 . 22． （1） 解： 2 AB  ， 2 AD BC   ， 4 ABC    ，  2 2 2 cos 2 AC AB BC AB BC ABC       ，  2 2 2 AB AC BC   ，  90 BAC   ， AB AC   ， 又AF AC  ， 又平面ACEF 平面ABCD， 平面ACEF 平面ABCD AC  ，AF 平面ACEF ， AF  平面ABCD， 所以以AB ，AC ， AF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则 (0,0,0), ( 2,0,0), (0, 2,0), ( 2, 2,0), (0, 2,1), (0,0,1) A B C D E F  ，设 (0, ,1),0 2 M y y ．则 (0, 2,1) AE    ， ( 2, 2,1) DM y     AE DM   ， 2( 2) 1 0 AE DM y        ，解得 试卷第9页，共5页 2 2 y  ， 1 2 FM FE  ．当AE DM  时，点M 为EF 的中点． （2）解：由（1）可得 2 ( 2, ,1) 2 BM    ， ( 2, 2,0) BC    设平面MBC 的一个法向量为 1 1 1 ( , , ) m x y z   ， 则 1 1 1 1 1 2 2 0 2 2 2 0 m BM x y z m BC x y                     ， 取 1 2 y  ， 则 (2,2, 2) m   ， 易知平面ECD 的一个法向量为 (0,1,0) n   ， 2 10 cos | cos , | | | | | 5 4 4 2 m n m n m n               ，平面MBC 与 平面ECD 所成锐二面角的余弦值为 10 5 ．