黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题(2)

1 / 2 哈师大附中2021 级高二学年上学期期中考试数学学科试题 满分150 时间：120 分钟 一、选择题（共12 小题，每题5 分，共60 分，1 至8 题是单选题，9 至12 题是多选题） 1．双曲线 2 2 1 4 y x − = 的渐近线方程是（ ） A．2 0 x y  = B．4 0 x y  = C． 2 0 x y  = D． 4 0 x y  = 2．已知圆 2 2 1 : 2 0 C x y x + − = ，圆 2 2 2 :40 Cxyy + + = ，则这两个圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为 难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为： “有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半， 走了6 天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（ ） A．63 里 B．126 里 C．192 里 D．228 里 4．已知椭圆 2 2 1 369 x y + = 与x 轴交于点A，B，把线段AB 分成6 等份，过每个分点做x 轴的 垂线交椭圆的上半部分于点 1 P ， 2 P ， 3 P ， 4 P ， 5 P ，F 是椭圆C 的右焦点，则 12345 PFPFPFPFPF + + + + = （ ） A．20 B．153 C．36 D．30 5．在等比数列 n a 中， 1 1 8 a = ， 2 q ，则 4 a 与 8 a 的等比中项是（ ） A．4  B．4 C．2 − D．4 − 6．直线l 与圆 2 2 (2)2 x y − + = 相切，且l 在x 轴､y 轴上的截距相等，则直线l 的方程不可能 是（ ） A． 0 x y + = B． 2 2 2 0 x y + − − = C． 0 x y − = D． 4 0 x y + − = 7．某数学爱好者以函数图象组合如图“爱心”献给在抗疫一线的 白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线 2 1 :|| Cyaxx = − 与 2 :|| Cybcx= − 构成，若a，b ，c 依 次成等比数列，则=（ ） A． 3 2  B．2 3 C． 2 3 ± D．3 2 8．已知双曲线C ： ( ) 2 2 2 2 10,0 x y a b a b − =   的右焦点为F ，关于原点对称的两点A、B 分别 在双曲线的左、右两支上，以AB 为直径的圆恰好过右焦点F ，3BFFC = ，且点C 在双曲 线上，则双曲线的离心率为（ ） A．10 3 B．10 2 C． 5 2 D．2 3 3 9．（多选题）已知抛物线C：y2=4x 的焦点为F，直线𝑙:𝑦= 𝑥−2与抛物线C 交于A，B 两 点，则（ ） A．抛物线C 的准线方程为𝑥= −1 B．点F 到直线l 的距离为√2 2 C．∠AOB π 2 = D．|𝐴𝐵| = 10 10．（多选题）已知等差数列{𝑎𝑛}的前n 项和为𝑆𝑛，𝑎1 = 1，𝑎2 = 3，𝑏𝑛= 22𝑎𝑛，{𝑏𝑛}的前 n 项和为𝑇 𝑛则下列说法正确的是（ ） A．数列{𝑎𝑛}的公差为2 B．𝑠𝑛= 𝑛2 C．数列{𝑏𝑛}是公比为4 的等比数列 D．𝑇 𝑛= 4(1−16𝑛) 1−4 2 / 2 11．（多选题）在正方体 1 1 1 1 ABCD ABC D − 中，𝐸, 𝐹分别是𝐵𝐶, 𝐴1𝐷1的中点，下列说法正确 的是（ ） A．四边形 1 BEDF 是菱形 B．直线AC 与 1 BC 所成的角为4  C．直线 1 AC 与平面ABCD所成角的正弦值是 3 3 D．平面 1 A BD 与平面ABCD夹角的余弦值是 6 3 12．（多选题）已知数列{𝑎𝑛}是等比数列，下列结论正确的为（ ） A．若𝑎1 + 𝑎3 < 0，则𝑎1 + 𝑎2 < 0 B．若𝑎1𝑎2 > 0，则𝑎2𝑎3 > 0 C．若𝑎1𝑎2 < 0，则(𝑎2 −𝑎1)(𝑎2 −𝑎3) < 0 D．若𝑎2 > 𝑎1 > 0，则𝑎1 + 𝑎3 > 2𝑎2 二、填空题（共4 个小题，每题5 分，共20 分） 13．抛物线𝑥2 = 8𝑦的焦点到准线的距离是______. 14．已知 n S 是等差数列 n a 的前n 项和，若 20 15 S = ，𝑆40 = 75，则𝑆60 =__________． 15．数列 n a 满足𝑎1 = 1， 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 = 2𝑛+1 2𝑛−1（𝑛∈𝑁∗，𝑛≥2），则𝑎𝑛=__________． 16．已知点P 是椭圆 2 2 1 168 x y + = 上非顶点的动点， 1 F ， 2 F 分别是椭圆的左、右焦点，O 是 坐标原点，若M 是 1 2 FPF  的平分线上一点，且 1 0 FMMP  = ，则OM 的取值范围 是 ． 三、解答题（共6 个题，17 题10 分，其余各题每题12 分，共70 分） 17．（10 分）已知圆C：( ) ( ) 2 2 1216 x y − + − = ，过点 ( ) 1,3 P − 且倾斜角为的直线与圆C 交于A ，B 两点． (1)当 135 = 时，求弦长|𝐴𝐵|的值； (2)当点P 为线段AB 中点时，求直线AB 的方程． 18．（12 分）如图，在直三棱柱𝐴𝐵𝐶−𝐴1𝐵1𝐶1中，𝐴𝐶⊥ 𝐵𝐶，E 为 1 BB 的中点， 1 2 2 ABCCBC = = = ． (1)证明： 1 AC C E ⊥ ； (2)求平面𝐴𝐸𝐶1与平面𝐵𝐵1𝐶1𝐶夹角的余弦值． 19．（12 分）已知双曲线C ： ( ) 2 2 2 2 10,0 x y a b a b − =   经过点( ) 22,3 P ，焦点F 到渐近 线的距离为 3 ． (1)求双曲线C 的方程； (2)若斜率为1 的直线l 与双曲线C 相交于A ，B 两点，当l 过双曲线C 的右焦点时,求弦长 |𝐴𝐵|的值. 20．（12 分）已知等差数列 n a 中，𝑎10 = 10，𝑎17 = 17，在各项均为正数的等比数列  n b 中， 1 2 b a = ， 3 8 b a = ． (1)求数列 n a 与 n b 的通项公式； (2)求数列  n n a b 的前n 项和 n T ． 21．（12 分）已知数列{ } n a 的前n 项和为 n S ，若 2 219 n Snn = − . (1)求证：数列{ } n a 是等差数列； (2)若 n n b a = ，求数列 n b 的前n 项和 n T ． 22．（12 分）已知平面内的两点A(0，2√2)，B(0，－2√2)，过点A 的直线l1 与过点B 的 直线l2 相交于点C，若直线l1 与直线l2 的斜率乘积为－ 1 2，设点C 的轨迹为E. (1)求E 的方程； (2)设P 是E 与x 轴正半轴的交点，过P 点作两条直线分别与E 交于点M，N，若直线 PM，PN 斜率之积为－2，求证：直线MN 恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.