河北省名校联盟2021-2022学年高二下学期4月联考数学试题

河北省高二年级4 月联考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：选择性必修第二册，选择性必修第三册第六、七章． 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知3 为a，b 的等差中项，2 为a，6 的等比中项，则1 1   a b （） A．3 2 B． 3 3 C．1 D．2 2．从只有2 张有奖的8 张彩票中不放回地随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数， 则 ( 3)   P X （） A．1 4 B．9 64 C．6 35 D．5 28 3．设函数 2 e ( ) (1) 1     x f x f x x ，则 (1)  f （） A． e 4  B．e 4 C．e 2 D．3e 4 4．2022 年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C 三人在自由式滑 雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（） A．12 种 B．16 种 C．64 种 D．81 种 5．已知随机变量X 的分布列如下表： X 1  0 1 2 P 1 2 1 8 m n 若 ( ) 0  E X ，则 (2 1)   D X （） A．5 B．4 C．3 2 D．9 4 6．设等差数列 n a 的前n 项和为 n S ，若 1 4 6 11, 6    a a a ，则当 n S 取得最小值时，n 的 值为（） A．6 B．6 或7C．8 或9 D．9 7．将7 名防疫工作人员随机分配到甲、乙、丙3 个单位中的某1 个单位进行防疫抽检，每个单 位至少2 人，则不同的分配方法有（） A．572 种 B．580 种 C．630 种 D．840 种 8．已知等比数列 n a 的公比为2，若 1 3 5   a a ，则 1 2 2 3 3 4 99 100       a a a a a a a a （ A． 100 2 1  B． 101 2 1  C．  100 2 4 1 3  D．  99 2 4 1 3  二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．下列式子正确的是（） A． 2 5 7 7 C C  B． 3 2 3 5 4 4 C C C   C． 3 3 3 5 5 3 A C A  D． 4 3 6 6 A 4A  10．设  5 2 2 10 0 1 2 10 1         x x a a x a x a x ，则（） A． 0 1  a B． 8 5  a C． 0 1 2 10 1       a a a a D． 1 3 5 9 1       a a a a 11．已知数列 n a 的前n 项和为 n S ，满足( 1) ( 2)     n n n S a n n ，则（） A． 50 51  S B． 49 152  S C． 50 150  S D． 49 50  S 12．已知, 均为锐角， sin cos 2          ，则（） A．cos sin    B．sin cos    C．cos sin    D．sin cos    三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13． 8 ( 1)  x 的展开式中，二项式系数最大的项是第_______项，其系数是_______．（用数字作 答，本题第一空2 分，第二空3 分） 14．曲线 ln   y x x 上的点到直线 2 4   y x 的最短距离是________． 15．给图中A，B，C，D，E 五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同 色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案． 16．有红、黄、蓝3 套卡片，每套5 张，分别标有字母A，B，C，D，E．若从这15 张卡片中抽取5 张，且这5 张卡片的字母各不相同，则这5 张卡片三色齐全的概率为_________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 4 名男生和4 名女生（包含甲、乙）站成一排表演节目． （1）若这4 名女生不能相邻，有多少种不同的排法？ （2）已知这4 名女生身高互不相等，若按身高从高到低排列，则有多少种不同的排法？ （3）若甲不能站在左端，乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ 18．（12 分）已知函数 3 2 ( ) 2 1     f x x x x ． （1）求曲线 ( )  y f x 在 0  x 处的切线方程； （2）求曲线 ( )  y f x 过坐标原点的切线方程． 19．（12 分）车辆定位系统由全球卫星定位系统（GPS）和地理信息系统（GIS）组成，可以实 现对汽车的跟踪和定位，某地区通过对1000 辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度 5 1 , 2 4        X N ． （1）预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在3 ,3 2       的概率； （2）记Y 表示随机抽取的10 辆家用汽车中导航精确度在[1,4]之外的汽车数量，求 ( 1)  P Y 及 Y 的数学期望． 附 ： 若   2 ,   X N ， 则 ( ) 0.6827          P X ， ( 2 2 ) 0.9545          P X ， 10 ( 3 3 ) 0.9973.0.9973 0.9733           P X ． 20．（12 分）在正项数列 n a 中，已知 2 2 2 1 4 1 2 1, 2,2       n n n a a a a a ． （1）求数列 n a 的通项公式； （2）记 1 1    n n n b a a ，数列 n b 的前n 项和为 n S ，求使得 9  n S 的整数n 的最小值． 21．（12 分）甲，乙两名羽毛球爱好者进行杀球训练，甲每次杀球成功的概率为2 3 ，乙每次杀 球成功的概率为3 5 ．已知甲、乙各进行2 次杀球训练，记X 为甲、乙杀球成功的总次数，假设 甲、乙两人杀球是否成功相互没有影响，且每次杀球训练相互独立． （1）求 2  X 的概率； （2）求X 的分布列及数学期望． 22．（12 分）已知函数 3 2 1 ( ) e 1( 0) 3 2       x ax ax f x x x 有两个极值点   1 2 1 2 ,  x x x x ． （1）求a 的取值范围． （2）证明： 1 2 2   x x ． 河北省高二年级4 月联考 数学参考答案 1．A 由题可得 6, 4    a b ab ，则1 1 3 2     a b a b ab ． 2．D 6 5 2 5 ( 3) 8 7 6 28   P X ． 3 ．B 2 e ( ) 2 (1) ( 1)      x x f x xf x ．令 1  x ．则 e (1) 2 (1) 4     f f ．则 e (1) 4   f ，所以 e e e (1) 2 4 4    f ． 4．C 每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，根据分步乘法计 数原理，不同的选法共有4 4 4 64  种． 5 ．A 由题可知 1 1 1 1, ( ) 2 0 2 8 2         m n E X m n ，解得 1 1 , 4 8   m n ，则 1 1 ( ) 1 1 2 4   D X 1 5 4 8 4   ，故 (2 1) 4 ( ) 5    D X D X ． 6．A 设等差数列的公差为d，因为 1 4 6 5 11, 2 6     a a a a ，所以 5 3  a ，所以 2  d ， 所以 2 2 ( 1) ( 11) 2 12 ( 6) 36 2         n n n S n n n n ． 故当 6  n 时， n S 取得最小值． 7．C 根据题意将这7 名防疫工作人员以2，2，3“形式分配到甲，乙、丙3 个单位，共有 2 2 3 7 5 3 2 2 C C A 630 A  种分配方法． 8 ． D 因 为 1 3 5, 2    a a q ， 所 以 1 1  a ， 则 1 2 1 1 2 , 2      n n n n n a a a ， 则   99 1 2 2 3 3 4 99 100 2 4 1 3        a a a a a a a a ． 9．ABC 2 5 3 2 3 3 3 3 4 3 7 7 5 4 4 5 5 3 6 6 C C ,C C C ,A C A ,A 6 5 4 3,A 6 5 4      ，所以 4 3 6 6 A 4A  ． 10．BCD 令 0  x ，解得 0 1  a ，令 1  x ，得 0 1 2 10 1       a a a a ，令 1  x ，得 0 1 2 3 10 1        a a a a a ，故  1 3 5 9 2 2       a a a a ，即 1 3 5 9 1       a a a a ， 4 3 8 5 5 C ( 1) C 5     a ，故选BCD． 11 ．AB 由( 1)    n n n S a n ，可得 1 ( 1) ( 3)       n n n n S S S n n ，当n 为奇数时， 1      n n n S S S n ，即 1  n S n ，当n 为偶数时， 1 2    n n S S n ，所以当 51  n 时， 50 51  S ，当 50  n 时， 50 49 2 50   S S ，解得 49 152  S ． 12 ．AC 由 sin cos 2          ，可得 sin sin 2 2                  ，令 sin  y x x ，则 1 cos 0    y x ，因为 , 为锐角，且 sin  y x x 单调递增，所以 2      ，则cos sin ,cos sin       ． 13．5；70 二项式 8 ( 1)  x 的展开式共有9 项，根据二项式系数的性质，可得第5 项的二项式系 数最大，所以二项式系数最大的项是 4 4 4 4 5 8 C ( 1) 70     T x x ，且其系数为70． 14．5 设与 2 4   y x 平行的直线l 与 ln   y x x 相切，则切线l 的斜率 2  k ， 因为 ln   y x x ，所以 1 1   y x ，由 1 1 2     y x ，得 1  x ． 当 1  x 时， ln1 1 1   y ，即切点坐标为 (1,1) P ， 则点(1,1) 到直线 2 4   y x 的距离就是直线 ln   y x x 上的点到直线 2 4   y x 的最短距离， 所以点(1,1) 到直线 2 4   y x 的距离 2 2 | 2 1 4 | 5 2 ( 1)      d ， 所以曲线 ln   y x x 上的点到直线 2 4   y x 的最短距离为5 ． 15．72 当B，E 同色时，共有4 3 2 2 48  种不同的方案，当B，E 不同色时，共有 4 3 2 24  种不同的方案，所以共有72 种不同的方案． 16．50 81 设这5 张卡片的字母互不相同为事件A，这5 张卡片三色齐全为事件B． 1 1 1 1 1 5 3 3 3 3 3 ( ) C C C C C 3 243    n A ，依题意，5 张卡片的颜色可分两类：3，1，1 和2，2，1． 所以 1 3 1 1 1 2 1 2 3 5 2 2 3 5 2 3 2 2 2 2 C C C C C C C C ( ) 150 A A    n AB ，所以 ( ) 150 50 ( ) ( ) 243 81    n AB P B A n A ． 17．解：（1）这4 名女生不相邻的排法有 4 4 4 5 24 120 2880     A A 种． 3 分 （2）这4 名女生按身高从高到低的排法有 8 8 4 4 1680  A A 种．6 分 （3）①甲站在右端，其余6 人全排列，有 7 7 A 5040  种排法， 8 分 ②甲不站在右端，有6 种排法，乙有6 种排法，其余6 人全排，有 6 6 6 6 A 25920   种排法． 故一共有5040 25920 30960   种排法． 10 分 18．解：（1） 2 ( ) 3 2 2     f x x x ，则 (0) 2   f ， 2 分 又 (0) 1  f ， 3 分 所以曲线 ( )  y f x 在 0  x 处的切线方程为 2 1   y x ． 5 分 （2）设切点为    0 0 , x f x ，则   3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1, 3 2 2         f x x x x f x x x ， 6 分 则切线方程为     3 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1 3 2 2         y x x x x x x x ， 7 分 切线过坐标原点，则     3 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1 3 2 2 0         x x x x x x ， 8 分 整理可得 3 2 0 0 2 1 0    x x ，即   2 0 0 0 1 2 1 0     x x x ， 9 分 解得 0 1  x ，则  0 (1) 3     f x f ． 11 分 故所求切线方程为 3  y x ． 12 分 19．解：（1）由 5 1 , 2 4        X N ，易知 5 1 , 2 2     ， 1 分 预 估 该 地 区 某 辆 家 用 汽 车 导 航 的 精 确 度 在 3 ,3 2       的 概 率 3 3 ( 2 ) 2                     P X P X 0.9545 0.6827 0.8186 2   ， 则预估该地区某辆家用汽车导航的精确度在3 ,3 2       的概率为0.8186． 5 分 （2） (1 4) ( 3 3 ) 0.9973               P X P X ， 7 分 则 (10,0.0027)  Y B ． 8 分 10 ( 1) 1 0.9973 1 0.9733 0.0267     P Y ， 10 分 故 ( ) 10 0.0027 0.027     E Y np ． 12 分 20．解：（1）因为 2 2 2 1 2 2     n n n a a a ，所以数列 2 n a 是等差数列， 2 分 公差 2 2 4 1 1 3    a a d ， 3 分 故 2 1 ( 1)    n a n n ，即  n a n ． 5 分 （2） 1 1 1 1 1        n n n b n n a a n n ， 7 分 2 1 3 2 1 1 1           n S n n n ， 10 分 令 1 1 9   n ，则 99  n ， 11 分 故使得 9  n S 的整数n 的最小值为100．12 分 21．解：（1）甲2 次杀球成功，且乙2 次杀球失败的概率 2 2 1 2 3 16 1 3 5 225                 P ，1 分 甲2 次杀球恰有1 次成功，且乙2 次杀球恰有1 次成功的概率 1 1 2 2 2 2 1 3 2 16 C C 3 3 5 5 75    P ， 2 分 甲2 次杀球失败，且乙2 次杀球成功的概率 2 2 3 2 3 1 1 3 5 25                 P ，3 分 故 2  X 的概率 1 2 3 16 16 1 73 225 75 25 225        P P P P ． 4 分 （2）由题意可知X 的所有取值是0，1，2，3，4．5 分 2 2 2 3 4 ( 0) 1 1 3 5 225     