河北省名校联盟2021-2022学年高一下学期4月联考数学试题

河北省高一年级4 月联考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在 答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第五章至第二册第七章． 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．第24 届冬季奥林匹克运动会，即2022 年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克 赛事．北京时间2 月8 日，中国选手谷爱凌摘得冬奥会自由式滑雪大跳台金牌．谷爱凌夺冠的动 作叫“向左偏转偏轴转体 ”，即空中旋转 ，则 （ ） A．1 B． C． D． 2．记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知复数 在复平面内对应的点关于原点对称，若 ，则 对应的点位于（ ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D，第一象限 4．已知平面内的三点 ，若A，B，C 三点共线，则 （ ） A．6 B． C．3 D． 5．若 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．在 中，边 的中点为D，若O 为 的重心，则 （ ） A． B． C． D． 7．已知 为锐角， ，则 （ ） A． B． C． D． 8．记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 ，则 的周长为（ ） A．14 B． C．15 D． 二、选择题：本题共4 小题，每个小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．已知角 的终边经过点 ，则（ ） A． B． C． D． 10．已知平面内三点 ，则（ ） A． B． C． D． 与 的夹角为 11．记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 无解 B．若 ，则 有一解 C．若 ，则 有两解 D．若 ，则 有两解 12．已知函数 的图象经过原点，且恰好存在2 个 ，使得 的图象关于直线 对称，则（ ） A． B． 的取值范图为 C．一定不存在3 个 ，使得 的图象关于点 对称 D． 在 上单 调递减 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．函数 的一个周期可以是_________． 14．已知复数 ，则z 的虚部为_________；若 为纯虚数，则实数 ___ ____，（本题第一空3 分，第二空2 分） 15．甲、乙两艘渔船从点A 处同时出海去捕鱼，乙渔船往正东方向航行，速度为15 公里每小时， 甲渔船往北偏东 方向航行，速度为20 公里每小时，两小时后，甲渔船出现故障停在了B 处， 乙渔船接到消息后，立刻从所在地C 处开往B 处进行数援，则乙渔船到达甲渔船所在位置至少 需要_______小时．（参考数据：取 ） 16．已知正方形 的边长为2，正方形 的内切圆圆上有一动点E，平面内有一动点 P，则 的最大值为_________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．（10 分） 已知复数 ． （1）求 ； （2）若 ，求 的值． 18．（12 分） 已知函数 ． （1）求 的单调递增区间； （2）将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左 平移 个单位长度，得到函数 的图象，求 在 上的值域． 19．（12 分） 记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ． （1）求A 的大小： （2）若 ，求 的值． 20．（12 分） 已知向量 ． （1）若 在 上的投影向量的模为1，求x 的值； （2）若 ，求k 的值． 21．（12 分） 记 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 为边 上的中线，A 的角 平分线 交 于点E． （1）若 ，求 的值； （2）若 ，求 面积的最小值． 22．（12 分） 如图，在 中， ，P 为线段 上 的一动点． （1）若 ，求 的值； （2）求 的最小值． 河北省高一年级4 月联考 数学参考答案 1．B ． 2．B 由正弦定理 ，得 ． 3．C 因为 ，所以 ．故 对应的点位于第二象 限． 4．A 由题意得 ，因为A，B，C 三点共线，所以 ，得 ． 5．D 由题意得 ．所以 ． 6．D 由题意得 ． 7．D 由题意得， 为第二象限角，所以 ，所以 ． 8．B 由B ，得 ，得 ，所 以 ．由 ，得 ．故 的周长为 ． 9．AC 由题意得 ， ， ， ． 10．BCD 由题意得向量 ，A 错误．因为 ， 所以 ，B 正确．因为 ，所以 ，C 正确．因为 ，所以 与 的夹角为 ，D 正确． 11．AC 因为 ，所以 无解．A 正确． ，因为 ，所以 无解．B 错误．因为 ，所 以 或 ， 有两解，C 正确． 因为 ，所以B 为锐角， 有一解，D 错误． 12．ABD 因为 ，得 ，A 正确．由 ，得 ，所以 ，得 ，B 正确．当 时，存在3 个 ，使得 的图象关于点 对称．C 错误．因 为 ，所以 ，又 ，所以 ，所 以 在 上单调递减，D 正确． 13． （答案不唯一） 符合 （ 且 ）即可． 14． ； 由题意得 ，所以z 的虚部为 ．因为 为纯虚数，所以 ，即 ． 15．2.4 由题可知 ．由余弦定理得 ，得 ，乙渔船到达甲渔船所在位 置至少需要的时间为 小时． 16．3 如图，建立直角坐标系，得点 ，因为圆O 为单位圆，所以设 ．其中 ，则 ， 其中 ． 17．解：（1）因为 ， 所以 ． （2）由题意得 ， 所以 ， 所以 得 所以 ． 18．解：（1） ， 由 ， 得 ， 故 的单调递增区间为 ． （2）由题意得， ， 因为 ，所以 ， ， ， 故 在 上的值域为 ． 19．解：（1）由题意得 ， 得 ， 得 ， 所以 ， 即 ． （2）由余弦定理 ， 得 ． 因为 ，所以 ， 由正弦定理 ，得 ， 所以 ． 20．解：（1）由题意得 ， 所以 ，即 ． 又因为 ，所以 ． 所以 或 ， 即 或 ． （2）因为 ， 所以 ， 得 ，即 ． 21．解：（1）由余弦定理 ， 得 ，即 ． 由题意得 ， 两边平方得 ． （2）因为 ， 所以 ． 因为 ，所以 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 ，故 面积的最小值为 ． 22．解：（1）设 ，则 ， 因为 ， 所以 得 ． （2）因为 ， ． 所以 ． 所以 的最小值为 ．