广东省部分名校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题(1)

广东省部分名校2021-2022 学年高二上学期期中考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名.考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A 版选择性必修第一册到第二章占70%，高一必修内容占 30%。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知 ， ，则 A. B. C. D. 2.设复数z 满足 ，则z 的虚部为 A.1 B. C. D. 3.直线： 的倾斜角为 A.45° B.60° C.120° D.135° 4.函数 图象的对称中心可能是 A. B. C. D. 5.某工厂12 名工人某天生产同-类型零件，生产的件数分别是10，15，12，16，17，12， 15，13，11，14，16，17，则这组数据的第70 百分位数是 A.11 B.12 C.15.5 D.16 6.已知平面 的一个法向量为 ，点 为 内一点，则点 到 平面 的距离为 A.4 B.3 C.2 D.1 7.如图，在直三棱柱 中，D 为棱 的中点， ， ， ，则异面直线CD 与 所成角的余弦值为 A. B. C. D. 8.已知圆M： ，圆N： ，圆N 上存在点P，过P 作 圆M 的两条切线PA，PB，若 ，则m 的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9.下列函数中，在 上的值域是 的是 A. B. C. D. 10.已知直线的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则下 列结论正确的有 A.若 ，则 B.若 ，则 C.若 ，则 D.若 ，则 11.已知直线 与曲线 有且仅有1 个公共点，则m 的取值可能 是 A. B. C.1 D. 12.正方体 的棱长为2，且 ，过P 作垂直于平面 的直线l，分别交正方体 的表面于M，N 两点.下列说法不正确 的是 A. 平面 B.四边形 面积的最大值为 C.若四边形 的面积为 ，则 D.若 ，则四棱锥 的体积为 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知 ，且 ，则 的最小值是___________. 14.已知直线过点 ，且与直线 垂直，则直线的方程为__________ _. 15.在平行六面体 中，点P 是AC 与BD 的交点，若 ， 且 ，则 ___________. 16.已知不经过坐标原点 的直线与圆 ： 交于A，B 两点，若锐角 的面积为 ，则 ___________， ___________.（本题第一空 2 分，第二空3 分） 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 已知直线： . （1）若直线与直线 ： 平行，求 的值； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 18.（12 分） 在① ， ，②当 时， 取得最大值 3 ，③ ， 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答. 问题：已知函数 ，且 （1）求 的解析式； （2）若 在 上的值域为 ，求 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 19.（12 分） 如图，四棱锥 的底面ABCD 为矩形， ， ，AC 与BD 相交于 点 . （1）证明：平面 平面ABCD. （2）若 ，求平面PAD 与平面 夹角的余弦值. 20.（12 分） 已知圆 经过 ， ， 三点. （1）求圆 的方程. （2）设 为坐标原点，直线： 与圆 交于 ， 两点，是否存在实数 ， 使得 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 21.（12 分） 已知PA，PB，PC 是从点P 出发的三条线段，每两条线段的夹角均为60°， ， ， ，点G 为 的重心，即点G 是 三条中线的交点，且 . （1）求x，y，z 的值； （2）求点G 到直线PA 的距离， 22.（12 分） 已知A，B 是圆C： 与y 轴的两个交点，且A 在B 上方. （1）若直线过点 ，且与圆C 相切，求的方程； （2）已知斜率为k 的直线m 过点 ，且与圆C 交于M，N 两点，直线AM，BN 相交于 点T，证明点T 在定直线上. 高二数学参考答案 1.D 因为 ， ，所以 . 2.C ，则 的虚部为 . 3.D 因为直线的斜率为-1，所以的倾斜角为135°. 4.A 令 ， ，解得 ， .当 时， ，则 是函数 图象的一个对称中心. 5.D 这组数据按从小到大的顺序排列为10，11，12，12，13.14，15，15，16，16，17，17. 因为12×70%=8.4，所以这组数据的第70 百分位数是16.. 6.D 因 为 ， ， 所 以 ， ，则点P 到平面 的距离 . 7.A 以C 为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z 轴的正方向，建立如图所 示的空间直角坐标系.由已知可得 ， ， ， ，则 ， ， .所以 异面直线 与 所成角的余弦值为 . 8.D 圆 ： 可化为 ，因为 ， 所以四边形MAPB 是正方形，所以 ，于是点P 的轨迹是圆心在原点，半径为 的圆.又因为点P 在圆N 上，所以 ，解得 . 9.AD 函数 和 在 上的值域是 ，则A ，D 正确；函数 在 上的值域是 ，则B 错误；函数 在 上的值 域是 ，则C 错误. 10.AD 由 ，得 ，则 ，即 ，故A 正确，C 错误；由 ，得 ，则 ，即 ，故B 错误，D 正确. 11.ABD 曲线 的图象如图所示，直线 过定点 .当 时，直线 与曲线 有且仅有1 个公共点. 12.ACD 因为 与 不垂直.所以 与平面 不垂直.A 不正确.如图，以 为 坐标原点， ， ， 的方向分别为x，y，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则 ， ， ， .因为 .所以 . 因为 平面 ，所以 ，则 ， .若 平面 ，则 ，即 ， ， ；若 平面 .则 ，即 ， ， .因为 ， 所以四边形 的面积 当 时，四边形 的面积最大，且最大值为 ，点B 到直线 的距离为 ，即点B 到平面 的距离为 ，故四棱锥 的体积 ，B 正确，D 不正确. 若四边形 的面积为 . 则 或 ，解得 或 ，C 不正确. 13. 因 为 ， 所 以 ， 则 ，当且仅当 时，等号成立. 14. 设直线的方程为 ，则 ，解得 .所以直线的方程为 . 15. 由题意可得， ，则 ，故 . 16. ； 或 因为圆C 的半径 ，所以 的面积 ，所以 .又 为锐角三角 形，所以 ， . 因为点O 在圆C 上，所以 或 150°，故 或 . 17.解：（1）因为 ，所以 解得 . （2）令 ，得 ，即直线在 轴上的截距为 . 令 ，得 ，即直线在x 轴上的截距为 . 因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以 . 所以 ，解得 或 . 则直线的方程是 或 ，即 或 . 18.解：（1）若选①， 由题意可得 解得 ， . 故 . 若选②， 由题意可得 解得 ， . 故 若选③. 因为 ，所以 图象的对称轴方程为 ，则 ，即 . 因为 ，所以 . 故 . （2）因为 在 上的值域为 ，所以 ，即 . 因为 图象的对称轴方程为 ，且 ，所以 在 上单调递增， 则 整理得 ，即 . 因为 ，所以 ，即 . 19.（1）证明：因为底面ABCD 为矩形，所以O 为AC，BD 的中点，连接PO.因为 ， ，所以 ， ， 又AC 与BD 相交于点O，所以 平面ABCD. 因为 平面PAC，所以平面 平面ABCD. （2）解：取AB 的中点E，BC 的中点F，连接OE，OF.因为底面ABCD 为矩形，所以 .设 ，则 ，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， . 设平面 的法向量为 ， 由 令 ，所以 . 设平面 的法向量为 ， 由 令 ，所以 . 故 ，所以平面PAD 与平面PAB 夹角的余弦值为 . 20.解：（1）设圆M 的方程为 ， 则 解得 故圆M 的方程为 . （2）假设存在实数 ，使得 . 由（1 ）可知，圆M 的圆心坐标为 ，半径为 ，点O 在圆M 上，因为 ，所以直线 ，所以 ，所以 ， 此时点M 到直线l 的距离 ，符合条件， . 21.解：（1） ， 因 为 点 G 为 的 重 心 ， 所 以 ， 则 ，即 ， ， . （2） ， . 故点G 到直线PA 的距离 . 22.（1）解：点 的坐标满足 ，所以P 为圆C 上一点. 圆C： 的圆心为 ，则 ， 所以直线的斜率为-1， 所以直线的方程为 ，即 ， （2）证明：设 ， ，直线m 的方程为 ， 由圆C： ，可得 ， . 联立方程组 消去y 并化简得 ， 所以 ， . 直线AM 的方程为 ，① 直线BN 的方程为 ，② 由 ① ② 知 . 由 ，化简得 .故点 在定直线 上.