陕西省部分名校2022-2023学年高二上学期期末文科数学试题

（北京）股份有限公司 高二数学试卷（文科） 考生注意： 1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分.考试时间120 分钟. 2. 请将各题答案填写在答题卡上. 3. 本试卷主要考试内容：北师大版必修5 占30%，选修1-1 占70%. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1. 椭圆C： 的长轴为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 在 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 （ ） A. B. C. 5 D. 6 3. 已知p： ， ；q： ， .则下列命题中，真命题是（ ） A. B. C. D. 4. 设 ，则 （ ） A. －12 B. －3 C. 3 D. 12 5. 已知等比数列 的前n 项乘积为 ，若 ，则 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线C： 的焦点为F，抛物线C 上有一动点P，且 ，则 的最小值 （北京）股份有限公司 为（ ） A. 8 B. 16 C. 11 D. 26 8. 已知数列 满足 ， ， ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 函数 的最小值是（ ） （北京）股份有限公司 A. B. 4 C. D. 3 10. 设 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 11. 已知P 为抛物线C： 上一点，F 为焦点，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H，若 的周 长不小于30，则点P 的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 定义在 上的函数 的导函数为 ，且 恒成立，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 已知双曲线C： 的焦距为10，则 ______. 14. 若x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为______. 15. 已知函数 的零点恰好是 的极值点，则 ______. 16. 已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ， ，P 为椭圆C 上的一点，若 ，则 ______. 三、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 已知函数 满足 . （北京）股份有限公司 （1）求 的值； （2）求 的图象在 处的切线方程. 18.（12 分） 已知抛物线C： ， 是抛物线C 上的点，且 . （北京）股份有限公司 （1）求抛物线C 的方程； （2）已知直线l 交抛物线C 于M，N 两点，且MN 的中点为 ，求直线l 的方程. 19.（12 分） 已知数列 的前n 项和为 ，且 . （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前n 项和 . 20.（12 分） 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 . （1）求A； （2）设 ，当 的值最大时，求 的面积. 21.（12 分） 已知函数 . （1）当 时，求 的单调区间； （2）证明：当 时， 在 上存在唯一零点. 22.（12 分） 已知双曲线C： 的右焦点为 ，渐近线方程为 . （1）求双曲线C 的标准方程； （2）设D 为双曲线C 的右顶点，直线l 与双曲线C 交于不同于D 的E，F 两点，若以EF 为直径的圆经过点 D，且 于点G，证明：存在定点H，使 为定值. 高二数学试卷参考答案（文科） 1. D 椭圆C： 的长轴为4. （北京）股份有限公司 2. A 由余弦定理可得 ，所以 . 3. C 由题意可得p 为真命题，q 为假命题.故 为真命题. （北京）股份有限公司 4. B 因为 ，所以 . 5. A 因为 ，所以 .因为 ，所以 . 6. C 因为 的渐近线方程为 ，所以 ， . 7. C 记抛物线C 的准线为l，作 于T，当P，Q，T 共线时， 有最小值，最小值为 . 8. C 因为 ，所以 或 ，故“ ”是“ ”的必要 不充分条件. 9. C 由题意可得 ，令 ， ，令 ，得 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的最小值是 . 10. A ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 11. A 如图，设点P 的坐标为 ，准线 与y 轴的交点为A，则 ， ，所以 的周长为 .设 函数 ，则 为减函数，因为 ，所以 的解为 . （北京）股份有限公司 12. A 设函数 ， ，则 ， 所以 在 上单调递减，从而 ， （北京）股份有限公司 即 ，则 . 13. ，解得 或 （舍去）. 14. －1 作出可行域（图略），当直线 经过点 时， 取最小值，最小值为－1. 15. －1 设 是 的零点，也是 的极值点，则 ，所以 ，解得 ， . 16. 3 因为 ，所以 . 17. 解：（1）因为 ，所以 ，解得 . （2）由（1）可得 ， ， 则 ， . 故所求切线的方程为 ，即 . 18. 解：（1）因为 ， 所以 ， 故抛物线C 的方程为 . （2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k， ， ， 则 ， 两式相减得 ，整理得 . （北京）股份有限公司 因为MN 的中点为 ，所以 ， 所以直线l 的方程为 ，即 . （北京）股份有限公司 19. 解：（1）当 时， . 当 时， ， 所以 ， 因为 也满足，所以通项公式为 . （2）因为 ， 所以 . 20. 解：（1）三角形的性质和正弦定理可知 ，其中 ，所以 ， 因为 ，所以 ，故 ， . （2）由正弦定理有 ， 且 ， 其中 ， 所以当 时， 有最大值，此时 ， ， 所以 ， （北京）股份有限公司 由正弦定理有 ，故 ， 所以 . 21.（1）解：当 时， . 令 ，得 ，令 ，得 ， （北京）股份有限公司 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . （2）证明： ， 令 ，得 ，因为 ，所以 . 当 时， ， 在 上单调递减； 当 时， ， 在 单调递增. 而 ， 且 ， 又因为 在 上单调递增， 所以 在 上有唯一零点. 当 时，恒有 ， 无零点. 综上，当 时， 在 上存在唯一零点. 22.（1）解：由题意知 . 因为双曲线C 的渐近线方程为 ，所以 . 因为 ，所以 ， ， 故双曲线C 的标准方程为 . （2）证明：设 ， . ①当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为 ， 联立方程组 ，化简得 ， （北京）股份有限公司 则 ，即 ， （北京）股份有限公司 且 . 因为 ， 所以 ， 化简得 ， 所以 或 ，且均满足 . 当 时，直线l 的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾； 当 时，直线l 的方程为 ，过定点 . ②当直线l 的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE： ， 联立方程组 ，得 （舍去）或 ，此时直线l 也过定点 . 因为 ，所以点G 在以DM 为直径的圆上，H 为该圆圆心， 为该圆半径. 故存在定点 ，使 为定值6.