陕西省部分名校2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题

（北京）股份有限公司 高二数学试卷（理科） 考生注意： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分.考试时间120 分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容：北师大版必修5 占30%，选修2-1 占70%. 第Ⅰ卷 一､选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.椭圆 的长轴为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2.在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ） A. B. C.5 D.6 3.已知 .则下列命题中，真命题是（ ） A. B. C. D. 4.如图，在四面体 中， 是 的中点， ，设 ，则 （ ） A. B. （北京）股份有限公司 C. D. 5.已知等比数列 的前 项乘积为 ，若 ，则 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. （北京）股份有限公司 7.已知空间三点 ，则 到直线 的距离为（ ） A. B. C. D. 8.已知数列 满足 ，则“ ”是“ ”的（ ） A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如 图，在阳马 中， 平面 ，底面 是正方形， 分别为 的中点，点 在线段 上， 与 交于点 ，若 平面 ，则 （ ） A. B. C. D.1 10.设 ，则 的最小值为（ ） A. B. C.1 D.2 11.已知 为抛物线 上一点， 为焦点，过 作 的准线的垂线，垂足为 ，若 的周 长不小于30，则点 的纵坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12.如图，平行六面体 的体积为 ，且 分别为 的中点，则（ ） （北京）股份有限公司 A. B. 平面 （北京）股份有限公司 C. D. 到平面 的距离为 第Ⅱ卷 二､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.已知双曲线 的焦距为10，则 __________. 14.若 满足约束条件 则 的最小值为__________. 15.如图，在直三棱柱 中， 分别为棱 的中点，则 __________. 16.已知椭圆 的左､右焦点分别为 为椭圆 上的一点，若 ，则 __________. 三､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17.（10 分） 已知抛物线 是抛物线 上的点，且 . （1）求抛物线 的方程； （2）已知直线交抛物线 于 两点，且 的中点为 ，求直线的方程. 18.（12 分） 已知数列 的前 项和为 ，且 . （北京）股份有限公司 （1）求 的通项公式； （北京）股份有限公司 （2）设 ，求数列 的前 项和 . 19.（12 分） 如图，在长方体 中， . （1）求异面直线 与 所成角的余弦值； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.（12 分） 的内角 的对边分别为 ，已知 . （1）求 ； （2）设 ，当 的值最大时，求 的面积. 21.（12 分） 如图，在四棱锥 中， 是边长为2 的菱形，且 分别是 的中点. （1）证明：平面 平面 . （2）求二面角 的大小. （北京）股份有限公司 22.（12 分） 已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 . （1）求双曲线 的标准方程； （北京）股份有限公司 （2）设 为双曲线 的右顶点，直线与双曲线 交于不同于 的 两点，若以 为直径的圆经过点 ，且 于点 ，证明：存在定点 ，使 为定值. 高二数学试卷参考答案（理科） 1.D 椭圆 的长轴为4. 2.A 由余弦定理可得 ，所以 . 3.C 由题意可得 为真命题， 为假命题.故 为真命题. 4.B 因为 是 的中点， ，所以 . 5.A 因为 ，所以 .因为 ，所以 . 6.C 因为 的渐近线方程为 ，所以 . 7.B ， 到直线 的距离为 . 8.C 因为 ，所以 或 ，故“ ”是“ ”的必要 不充分条件. 9.C 以点 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），则 . 设平面 的法向量为 ，则 令 ，得 . 设 ，则 .因为 平面 ，所以 ，则 ，即 （北京）股份有限公司 0，解得 ，故 . 10.A ，当且仅当 （北京）股份有限公司 ，即 时，等号成立. 11.A 如图，设点 的坐标为 ，准线 与 轴的交点为 ，则 ，所以 的周长为 .设函数 ，则 为减函数，因为 ，所 以 的解为 . 12.D 因为 ，且 ，所以四边形 的面积为 . 因为平行六面体 的体积为 ，所以平行六面体 的高为 .因为 ，所以 在底面的投影在 上.设 在底面的投影为 ，则 ，因为 ，所以 . 因为 ，所以 为 的中点.以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正 方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， . （北京）股份有限公司 因为 ，所以 与 不平行，故 错误. 设平面 的法向量为 ， 则 （北京）股份有限公司 令 ，则 .因为 ，所以 与平面 不平行，故B 错误. 因为 ， 所以 与 不垂直，故C 错误. 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 . 因为 ，所以 到平面 的距离为 ，故 正确. 13. ，解得 或 （舍去）. 14. 作出可行域（图略），当直线 经过点 时， 取最小值，最小值为 . 15.4 取 的中点 ，连接 . 16.3 因为 （北京）股份有限公司 ，所以 （北京）股份有限公司 . 17.解：（1）因为 ， 所以 ， 故抛物线 的方程为 . （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为 ， 则 两式相减得 ，整理得 . 因为 的中点为 ，所以 ， 所以直线的方程为 ，即 . 18.解：（1）当 时， . 当 时， ， 所以 ， 因为 也满足，所以通项公式为 . （2）因为 ， 所以 . 19.解：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 （北京）股份有限公司 ， . 设平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 . （1）设异面直线 与 所成的角为 ， 则 即异面直线 与 所成角的余弦值为 . （2）设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 . 20.解：（1）由三角形的性质和正弦定理可知 ， （北京）股份有限公司 其中 ，所以 ， 因为 ，所以 ，故 . （2）由正弦定理有 ， （北京）股份有限公司 且 ， 其中 ， 所以当 时， 有最大值，此时 ， 所以 ， 由正弦定理有 ，故 ， 所以 . 21.（1）证明：取 的中点 ，连接 . 因为 ，所以 . 在 中， ， 所以 为等边三角形， 所以 .因为 ，所以 平面 . 因为 分别是 的中点， 所以 ， 所以平面 平面 ，所以 平面 . 因为 平面 ，所以平面 平面 . （2）解：由（1）知 平面 .因为 ，所以可求得四棱锥 的 高为 以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 ， （北京）股份有限公司 . （北京）股份有限公司 . 记平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 . 记平面 的法向量为 ， 则 令 ，得 . 因为 ，且二面角 为钝角， 所以二面角 为 . 22.（1）解：由题意知 . 因为双曲线 的渐近线方程为 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 故双曲线 的标准方程为 . （北京）股份有限公司 （2）证明：设 . ①当直线的斜率存在时，设的方程为 ， （北京）股份有限公司 联立方程组 化简得 ， 则 ，即 ， 且 因为 ， 所以 ， 化简得 ， 所以 或 ，且均满足 . 当 时，直线的方程为 ，直线过定点 ，与已知矛盾； 当 时，直线的方程为 ，过定点 . ②当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线 ， 联立方程组 得 （舍去）或 ，此时直线也过定点 . 因为 ，所以点 在以 为直径的圆上， 为该圆圆心， 为该圆半径. 故存在定点 ，使 为定值6.