河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月联考数学试卷

（北京）股份有限公司 洛阳强基联盟3 月联考 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150 分，考试时间120 分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出 答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A 版必修第二册第六章~第七章第2 节。 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1. 已知i(a−i)=b−(2i)³(a,b∈R),则a+b= A.-9 B.9 C.7 D.-7 2. 已知△ABC为等边三角形，则⃗ AB与 ⃗ BC的夹角为 A.120° B.60° C.30° D.-60° 3. 已知向量a=(8,-2),b=(m,1),若a=λb,则实数m的值是 A.-4 B.-1 C.1 D.4 4. 在△ABC中,角A ,B ,C的对边分别为a,b,c,已知 a=❑ √2,b=❑ √3,B=60° ,则A= A.45°或135° B.135° C.45° D.60°或120° 5. 若复数z满足( z−2i)(1+i)=i，则z在复平面内对应的点的坐标为 A .(−1 2 ,−3 2) B.(−1 2 , 5 2) C .( 1 2 ,−3 2) D .( 1 2 , 5 2) 6. 已知△ABC的内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c,则“△ABC是钝角三角形”是 “a²+b²−c ²<0” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7. 已知向量a，b的夹角为 π 3 ,且|a|=2,b=(1,1), 则a在b上投影向量的坐标为 A .(❑ √2,❑ √2) B.( 1 2 , 1 2) C .( ❑ √2 2 , ❑ √2 2 ) D.( 1 ,1 ) （北京）股份有限公司 8. 在平行四边形ABCD中, AB=4 , AD=3,⃗ AE=1 3⃗ EB ,⃗ DF=2⃗ FC , 且⃗ BF· ⃗ CE=−6, 则平行四 边形ABCD的面积为 A . 12 5 B. 24 5 C . 12❑ √6 5 D . 24 ❑ √6 5 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9. 对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是 A.若a≠b，则a与b不是共线向量 B.(a+b)·c=a·c+b·c C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c D.(a·b)c=(b·c)a 10. 若复数z 为纯虚数，则 A. z+z为实数 B. z-z为实数 C. z² 为实数 D. zi 为实数 11. 下列说法正确的是 A.若两个非零向量 ⃗ AB ,⃗ CD共线，则A ，B，C ，D必在同一直线上 B.若向量a与b平行，b与c平行，则a，c方向相同或相反 C.若非零向量⃗ AB与 ⃗ CD是共线向量，则它们的夹角是0°或180° D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量 12. 在△ABC中，内角A ，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是 A.若a>b,则sin A>sin B B.若sin A>sin B,则A>B C.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 D.若△ABC为锐角三角形,则sin A>cos B 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13. 设复数z满足zi+1=z,则 ¿ z∨¿¿. 14. 在△ABC中, 角A ,B ,C的对边分别为a,b,c, 且 bcosC+c sin B=a,b=6, 则 a+2b sin A+2sin B =¿. 15. 已知平面向量a=(1,−2),b=(4 , y),若a与a+b的夹角为锐角,则y的取值范围为 . 16. 如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A 处测得山顶C 处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m 的M处(即MD=400)，观测到山顶C处的仰 角为15°，山脚A处的俯角为45°,则山高BC= m. （北京）股份有限公司 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分10 分) 已知虚数z 满足 ¿ z∨¿ ❑ √5. (1)求证 : z+ 5i z 在复平面内对应的点在直线y=x上； (2)若z是方程2 x ²+4 x+k=0(k ∈R) 的一个根，求k与z. 18. (本小题满分12 分) 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且(3a+b)·(a−2b)=−16. (1)若(a−b)⊥(a+λb),求实数λ的值; (2)求a与2a−b的夹角的余弦值. 19. (本小题满分12 分) 已知△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c,且2cos A=acos B+bcos A. (1)求角A; (2)若△ABC的周长为3 ❑ √3, ❑ √3，且△ABC外接圆的半径为1，判断△ABC的形状，并求△ABC的 面积. 20. (本小题满分12 分) 如图，在等腰梯形ABCD中， AB/¿CD ,∨⃗ AB∨¿2∨⃗ DC∨¿2,∠BAD= π 3 ,E 是BC边的中点. (1)试用 ⃗ AB ,⃗ AD表示 ⃗ AE ,⃗ BC ; （北京）股份有限公司 (2)求 ⃗ DB⋅⃗ AE的值. 21. (本小题满分12 分) 如图，在平面四边形ABCD中， AB=2❑ √3,∠ADC=∠CAB=90° ,设∠DAC=θ. (1)若θ=60°,AB=2CD,求BD的长度; (2)若∠ADB=∠ABC=30°,求tanθ. 22. (本小题满分12 分) 记△ABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A+c sinC=b. (1)求证: sin B+ 2ac a 2+c 2 cos B=1; (2)若△ABC的面积S=kb²(k>0),求k的最大值，并证明：当k取最大值时，△ABC为直角三角形. 洛阳强基联盟3 月联考·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1. B i(a−i)=b−(2i)³,即1+ai=b+8i,所以a=8,b=1,a+b=9.故选B. 2. A 因为△ABC 为等边三角形,所以 AB与BC 的夹角为120°.故选A. 3. A 由a=λb,得 { 8=λm, −2=λ ,解得m=-4.故选A. （北京）股份有限公司 4. C 由正弦定理得 sin A=a b sinB= ❑ √2 ❑ √3 × ❑ √3 2 = ❑ √2 2 ,∵a<b,∴0< A<B ,∴角A 等于45°.故选C. 5. D 由( z−2i)(1+i)=i,得z= i 1+i +2i= i (1−i) (1+i) (1−i) +2i=1 2 + 1 2 i+2i=1 2 + 5 2 i, 所以z 在复平面内 对应的点的坐标为 ( 1 2 , 5 2).故选D. 6. B 若△ABC 中B 为钝角, 则C 为锐角,cosC>0, 即有a²+b²−c ²>0, 故充分性不成立；若 a²+b²−c ²<0,由余弦定理得 cosC=a 2+b 2−c 2 2ab <0, 即C 为钝角，故必要性成立.故选B. 7.C∨a∨cosθ⋅ b ¿b∨¿=2× 1 2 × 1 ❑ √2 ⋅(1,1)=( ❑ √2 2 , ❑ √2 2 ).¿故选C. 8. D 因 为 AE=1 3 EB , DF=2 FC , 所 以 BF ⋅CE=(CF −CB)⋅(CB+BE )=( 1 3 CD−CB)⋅(CB+ 3 4 CD)=−∨CB¿ 2+ 1 4 ∨CD ¿ 2−5 12 CB⋅CD=−3 2+ 1 4 ×4 2− 得 c os∠BCD= 1 5 ,则 sin∠BCD=2❑ √6 5 ,所 以 S ABCD=CB⋅CD⋅sin∠BCD=4×3× 2❑ √6 5 =24 ❑ √6 5 .故选D. 9. ACD 对于A，两个向量是否共线只跟方向有关，故A 错误； 对于B，这是数量积对加法的分配律，显然成立的，故B 正确； 对于C 若a和b，c都垂直，显然b，c至少在模长方面没有任何关系，故C 错误； 对于D,(a·b)c=(b·c)a很多时候是不成立的,则(a·b)c与(b·c)a是分别和c 、a共线的向量,故错误.故 选ACD. 10. ACD 因为z为纯虚数,设z=mi(m∈R,且 m≠0), z=−mi,则z+z=0,A 正确;z−z=2mi, B 错误; z ²=−m²为实数,C 正确;zi=m为实数,D 正确.故选ACD. 11. CD 平行向量又叫共线向量，向量AB 与CD 是共线向量，则 AB与CD 平行或共线，故A 错误； 当b 为零向量时，结论不成立，故B 错误；由向量的夹角可知C 正确；平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量，故D 正确。故选CD. 12.ABD 在△ABC 中,由正弦定理得 a sin A = b sin B ,所以 a b =sin A sin B .若a>b,则 a b=sin A sin B >1, 又 sin A>0,sin B>¿0,所以sin A>sin B,故A 正确;因为a b=sin A sin B ,又sin A>sin B,sin A>0,sin B>¿0, 所以a b=sin A sin B >1,所以a>b, 所以A>B, 故B 正确; 若acos A=bcos B, 由正弦定理可得 sin AcosA=sin Bcos B, 即sin 2 A=sin 2B, 则2 A=2B或2 A+2B =π, 即A=B或A+B= π 2 ,则 △ABC 是等腰三角形或直角三角形故C 错误；若△ABC 为锐角三角形，则A+B>¿ π 2 ,所以 π 2 > A> π 2 −B>0, 又y=sinx在(0, π 2)上为单调增函数，所以sin A>sin( π 2 −B),即sin A>cos B,故 （北京）股份有限公司 D 正确.故选ABD. 13. ❑ √2 2 由zi+1=z,得 z= −1 i−1= 1 1−i =1+i 2 , 则z=1 2 −1 2 i, z=❑ √( 1 2) 2 +(−1 2) 2 = ❑ √2 2 . 14.6 ❑ √2 由 正 弦 定 理 得 sin BcosC+sinCsin B=sin A, 即 sin BcosC+sinCsin B=sin(B+C )=sinBcosC+cos BsinC ,∴sinCsin B=cos BsinC ,∵sinC ≠0,∴sin B= = b sin B = 6 ❑ √2 2 =6 ❑ √2,∴a=6 ❑ √2sin A ,b=6 ❑ √2sin B , 所 以 a+2b sin A+2sin B =6 ❑ √2 (sin A+2sin B) sin A+2sin B =6 ❑ √2. 15. (−∞,−8)∪(−8, 9 2)因为a与a+b的夹角为锐角, 所以a·(a+b)>0, 且a与a+b不共线, 即 1×5−2( y −2)>0,且1×( y −2)≠-2×5,解得y< 9 2 且y ≠−8. 16.600 由题意知∠AMD=45°,则 AM=❑ √2 MD=400 ❑ √2,又由∠CAB=60°,所以∠MAC=180° -60°-45°=75°,∠ACM=180°−75°−60°=45°, 在△MAC中，由正弦定理得 AC sin∠AMC = MA sin∠ACM , 即 AC sin 60° = 400 ❑ √2 sin 45° , 解得AC=400 ❑ √3,则BC=ACsin60°=600. 17.(1)证明:方法一:设z=a+bi(a,b∈R ,b≠0),…………………………………………………1 分 因为¿ z∨¿ ❑ √5,所以z z=5,…………………………………………………………………………2 分 所以z+ 5i z =z+zi=a+bi+(a−bi)i=a+b+(a+b)i, ……………………………4 分 所以z+ 5i z 在复平面内对应的点为(a+b,a+b),在直线y=x上. …………………………5 分 方法二:设z=a+bi(a,b∈R ,b≠0),…………………………………………………………1 分 因为 ¿ z∨¿ ❑ √a 2+b 2=❑ √5,所以a²+b²=5, …………………………………………2 分 z+ 5i z =a+bi+ 5i a+bi =a+bi+ 5i (a−bi) a 2+b 2 ¿a+bi+ai+b=a+b+(a+b)i, …………………………………………………………4 分 所以z+ 5i z 在复平面内对应的点为(a+b,a+b),在直线y=x上.……………………………5 分 (2)解:因为z=a+bi是方程2 x ²+4 x+k=0(k ∈R)的一个根, 所以2(a+bi)²+4(a+bi)+k=0, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 即2a²−2b²+4 a+k+(4 ab+4 b)i=0, 所以2a²−2b²+4 a+k=0,且4 ab+4 b=0, 由4 ab+4 b=0及b≠0,得a=−1,……………………………………………………………8 分 （北京）股份有限公司 因为a²+b²=5,所以b=±2, 把a=−1,b=±2代入2a²−2b²+4 a+k=0 得k=10, 所以k=¿10,z=¿-1±2i………………………………………………………………………………10 分 18.解:(1)因为(3a+b)·(a−2b)=−16,所以3a²−5a·b−2b²=−16, 即3×2²−5a·b−2×3²=−16,解得a·b=2.……………………………………………3 分 若(a−b)⊥(a+λb), 则(a−b)·(a+λb)=0, 即a²+( λ−1)a·b−λb²=0, 即2²+2( λ−1)−λ×3²=0, 解得 λ=2 7 . ……6 分 (2)∨2a−b∨¿ ❑ √(2a−b) 2= ❑ √4 a 2−4 a⋅b+b 2= ❑ √4×2 2−4×2+3 2=❑ √17 又a·(2a−b)=2a²−a·b=2×2²−2=6, …………………………………………………9 分 所以 cos<a,2a−b>¿ a⋅(2a−b) ¿a∨¿2a−b∨¿= 6 2×❑ √17 =3 ❑ √17 17 ,¿ 即a与2a−b的夹角的余弦值为 3 ❑ √17 17 . ……………………………………………………12 分 19.解:(1)2ccosA=acos B+bcos A, 由正弦定理得2sinCcosA=sin Acos B+sin Bcos A , ……………………………………2 分 因为sin Acos B+sin Bcos A=sin( A+B)=sinC, 所以2sinCcos A=sinC, 因为C ∈(0,π),所以sinC≠0, 所以 cos A=1 2 . ……………………………………………4 分 因为A ∈(0,π ), 所以 A= π 3 . …………………………………………………………………………………5 分 (2)设△ABC外接圆的半径为R,则R=1, 由正弦定理，得 a=2 R sin A=❑ √3, ⋯……………………………………………6 分 因为△ABC 的周长为3 ❑ √3,所以 b+c=2❑ √3. …………………………………………7 分 由余弦定理，得 a 2=b 2+c 2−2bc cos π 3 =(b+c ) 2−3bc , 即3=12−3bc, 所以bc=3……………………………………………9 分 由 { b+c=2❑ √3, bc=3, 得 { b=❑ √3, c=❑ √3, 所以△ABC 为等边三角形.………………………………………………………………………11 分 （北京）股份有限公司 所以△ABC 的面积 S=1 2 bc sin A=1 2 ×3× ❑ √3 2 =3 ❑ √3 4 .………………………………………12 分 20.解: (1) AC=AD+DC=AD+ 1 2 AB , AE=1 2 ( AB+ AC )=1 2( AB+ AD+ 1 2 AB)= 3 4 AB+ 1 2 AD , BC=AC −AB=AD+ 1 2 AB−AB=AD−1 2 AB. …………………………………………5 分 (2)∨AD∨¿ 1 2 ¿¿ ……………………………………………7 分 DB=AB−AD , DB⋅AE=( AB−AD )⋅( 1 2 AD+ 3 4 AB)= 3 4 ∨AB¿ 2−1 2∨AD ¿ 2−1 4 AB⋅AD ¿ 3 4 ∨AB¿ 2−1 2∨AD ¿ 2−1