洛阳强基联盟2022-2023学年上期大联考高一数学试卷

洛阳强基联盟大联考 高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分120 分，考试时间100 分钟。 2.答题前，考生务必用直径0. 5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑;非选择题请用直径0. 5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答 题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一、二章。 ―、选择题:本题共8 小题,每小题S 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合A={x∨−2<x<4 }，B={3,4,5}，则（∁RA)∩B= A. {2} B. {4,5} C. {3,4} D. {2,3} 2.设命题p:∃n∈N ,❑ √n>¿3,则为 ¬ p为 A.∀n∈N ,❑ √n≤3 B. ∃n∈N ,❑ √n>3 C. ∀n∈N ,❑ √n>3 D. ∃n∈N ,❑ √n≤3 3.不等式1−x x+1 >¿0 的解集是 A. {x∨x>l} B. {x∨x<−1 或x>1} C.{x∨x<−1} D. {x∨−1<x<1} 4.已知全集U=R，集合A={0，1，2},B={ x∨x 2+x =0}，则下列关于集合A，B 关系的韦恩图正确 的是 5.“ab≤2”是“a 2+b 2≤4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.满足条件{1，2}⊑A≨{1，2,3,4,5}的集合A 的个数是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7.已知:x>1，则x+4 x−1的最小值为 A. 6 B. 4 C. 5 D. 9 8.已知实数a<b，关于x的不等式x 2-（a+b)x+ab+l¿0 的解集为{x¿ x1<x<x2}，则实数a，b，x1， x2的大小关系为 A. a<x1<x2<b B. x1<a<b<x2 C. a¿ x1<b<x2 D. x1<a<x2<b 二、选择题:本题共4 小题,每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9.下列各式中关系符号运用正确的是 A.0⊆{-1,0,1} B.∅∈{∅} C.∅⊆{-1,0,1} D.{0}∈{-1,0,1} 10.已知p: x>1或x<−2，q: x<a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值可以是 A.-3 B. -5 C.2 D. 1 11.下列说法正确的是 A.设A，B 是两个不同的定点，则集合{P|PA=PB}表示的平面图形是等腰三角形 B.x∈A是x∈ (A∩B)的充分不必要条件 C.若 a<b<0，则 a 2>ab>b 2 D.若x+4 x >a对∀x>¿0 都成立，则a<4 12.对任意集合A ，B⊆R，记A㊉B={x∨x∈A U B且x∉A ∩B则称A ㊉B为集合A ，B的对称差, 例如，若A=¿{0，1，2}，B=¿{1，2,3}，则A ⊕B={0,3}，下列命题中为真命题的是 A.若A ，B⊆R 且A⊕B=∅ ，则A=B B. 若A，B⊆R 且A ㊉B=B ，则A=∅ C. 存在A，B⊆R ，使得A ㊉B=（∁R A）㊉（∁R B ） D.若 A，B⊆R 且 A ㊉B⊆A，则A ⊆B 三、填空题:本题共4 小题,每小题S 分，共20 分。 13.若M=x 2−x,N= x -3，则M 与N 的大小关系为__________ . 14.某班共40 人，其中24 人喜欢篮球运动，13 人喜欢乒兵球运动,6 人这两项运动都不喜欢，则只喜欢 乒乓球运动的人数为_________. 15.命题p:“∀x∈R，x 2−2 x+a+2≠0”假命题，则a取值范围为___________. 16.已知x>0，y>0,则2 x+ y x+ y + y −x x+2 y 的最大值是_________. 四、解答题:本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分10 分） 已知集合A={a−3,2a 2+5a，0}，且-3∈A. (1)求实数a的取值的集合M; (2)写出（1)中集合M的所有子集. 18. (本小题满分12 分） 已知A={x∨−1<x ≤4 } ,B={x∨m<x<3+m). (1)当 m=2 时，求 A ∪B; (2)若B⊆∁RA，求实数m的取值范围. 19. (本小题满分12 分） 设p:∨x+1∨¿2，q: x−(2a+1)<0. (1)若a=2,求同时满足条件p，q的实数x构成的集合; (2)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 20. (本小题满分12 分) (1) 已知a，b，c均为正数，求证:bc a +ac b +ab c ≥a+b+c (2) 已知xy>0,求证: 1 x > 1 y 的充要条件是x< y 21. (本小题满分12 分） 已知集合A={x∨−3≤x ≤10}，B={x∨2m+1≤x ≤3m−2}，且B≠∅. (1)若命题p:“∀x∈B，x∈A ”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q:“∃x∈A ，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围. 22. (本小题满分12 分） 第31 届世界大学生夏季运动会将于2023 年7 月28 日至8 月8 日在四川成都举行，某公司为了竞标 配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25 元，年销售 8 万 件. (1)据市场调查，若价格每提高1 元，销售量将相应减少2 000 件，要使销售的总收入不低于原收入， 该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革 新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入1 6 (x 2 - 600)万元作为技改费用，投入50 万元作为 固定宣传费用，投入x 5 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件 时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 洛阳强基联盟大联考•高一数学 参考答案、提示及评分细则 1. B A={x∨−2<x<4 }, 所以∁RA= {x∨x ≤2或x ≥4},所以（∁RA)∩B= {4,5}.故选 B. 2. A 存在量词命题的否定为全称量词命题，即∃x∈M , p( x)的否定格式为∀x∈M, ¬ p( x),所以B,D 的量词格式错误，而A 选项未对结论进行否定，其正确的写法为∀n∈N ,❑ √n≤3.故选C 3. D 分式不等式1−x x+1 >¿0 等价于(1 — x)( x+1)>0,即（x−1))( x+1)<¿0,解得−1<x<1故不等式 1−x x+1 >0 的解集是{x∨−1<x<1}.故选 D. 4. A ∵集合 B={x|x 2+ x = 0},∴B={0,-1}. ∵集合 A={0,1,2},∴A∩B={0}.故选 A. 5. B 易知a 2+b 2≥2ab,则当a 2+b 2≤4 时，有2ab≤a 2+b 2≤4,解得ab≤2;当a=1，b=2 时，满足ab≤2， 但此时a 2+b 2 = 5¿2,故 a b2”是a 2+b 2≤4”的必要不充分条件.故选B. 6. C 因为集合{1, 2}⊆A⫋{1,2,3,4,5},所以集合 A 可以是{1,2}, {1,2,3} ( {1,2,4} ( {1,2,5}, {1, 2,3,4}, {1,2,3,5}, {,2,4,5},共 7 个.故选C 7. C x+ 4 x−1=x−1+ 4 x−1 +1≥2❑ √4+1=5.当且仅当x−1 = 4 x−1，即x=3时，“=”成立.故选C 8. A 由题可得x1+x2=a+b, x1 x2=ab+1，由a<b，x1¿ x2 ，设x1=a+m，则x2=b−m，所以 x1 x2=(a+m)(b−m)=ab+m(b−a)−m 2=ab+1,所以m(b−a)−m 2=1，m=1+m 2 b−a ,又a<b，所以 b−a>0, 所以m>¿0.故x1>a，x2<b 又x1¿ x2 ，故a<x1¿ x2<b 故选A 9. BC 根据元素和集合的关系知0∈{-1,0,1},所以A 错误,B 正确；根据集合与集合的关系知C 正确，D 错误.故选BC. 10. AB p: x>1或x<−2，q: x<a，q是p的充分不必要条件，故a≤-2，对比选项知AB 满足条件.故选A B. 11. CD A 中,A, B 是两个不同定点，满足{P∨PA=PB},则动点P 的轨迹为线段AB 的中垂线，所以A 不正确;B 中，若 B⫋A,则A∩B=B,当x∈A 时,x∈(A∩B)不一定成立，所以充分性不成立，所以B 不 正确；C 中，根据不等式的基本性质得，若a<b<0，则a 2>ab>b 2是成立的，所以C 正确;D 中， a<( x+ 4 x ) m∈¿¿ ，又x>¿0，x+ 4 x ≥2❑ √x∙4 x =4.所 以a<4,所以D 正确.故选CD. 12. ABC 对于A,因为A⨁B=∅,所以∅={x∨x∈A ∪B且x∉A ∩B},即A∪B 与A∩B 是相同的，所 以A=B,即A 是真命题;对于B,因为A⨁B=B,所以B={x∨x∈A∪B 且x∉A ∩B },所以A⊆B,且 B 中的元素不能出现在A∩B 中，因此A=∅,即B 是真命题;对于C,A=B 时,A⨁B=∅, ( ∁RA)㊉（ ∁RB) =∅=A⨁B,C 是真命题;对于D,因为A⨁B⊆A,所以{x∨x∈A ∪B且x∉A ∩B}⊆A,,所以 B⊆A,即D 是假命题.故选ABC. 13. M >N , M −N=x 2 — x —( x — 3)= ( x−1) 2+2>0，∴M >N. 14. 10 ∵6 人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40 -6 = 34 人；∴喜欢两项运 动的人数为24+13 -34 = 3 人，∴只喜欢乒乓球的人数为13-3 = 10 人. 15. a≤−1 ,∵p 为假命题，∴¬ p:∃x∈R，x 2+2 x+a+2 = 0 为真命题，∴∆=4−4(a+2) ≥0,解得, a≤−1，即a的取值范围为a≤−1. 16. 5 —2❑ √3 令 x+ y=m，x+2 y=n，则 x=2m — n，y=n — m. 2 x+ y x+ y + y −x x+2 y =2 (2m−n)+n−m m + 2n−3m n =3m−n m + 2n−3m n =5−n m −3m n ≤5−2❑ 当且仅当n=❑ √3m时,取等号. 17. 解：（1) ∵−3∈A，则−3=a−3 或-3 = 2a 2 +5a ∴a = 0 或a=-1 或a=-3 2. …………………………………………………………………………… 2 分 当a =0 时，2a 2+5a=0,集合A 不满足互异性， ∴a = 0 (舍去) ……………………………………………………………………………………… 4 分 当a=-1 时，A= {-4,-3,0}; 当a=-3 2.时，A= {-9 2，-3,0}，故a的取值集合M= {- 1，-3 2}……………………………………… 6 分 (2)由（1) 知M= {-3 2，-1} …………………………………………………………………………… ， 7 分 ∴M 的子集为∅，{-3 2 }，{-1}，{-3 2，-1}………………………………………………………………… … 10 分 18. 解：（1)当m=2时，B={x|2<x<5}, A ∪B={x|−1<x<5}…………………………………5 分. (2) ∵−3+m>m，∴B≠∅. ∁R A={x∨x ≤−1 或x>4. ∵B⊆ ∁R A， ∴m+3≤-1或m≥4, 故m的取值范围为{m∨m≤-4 或m≥4} …………………………………………………………… 12 分 19. 解：（1)当 a=2 时，因为p:−3<x<1,q: x−5<0,即 x<5， 所以同时满足条件p,q的实数x构成的集合即为公共部分的实数x构成的集合，即为 {x∨−3<x<1} ……………………………………………………………………… 12 分. (2)因为p 是q 的充分条件，且, p:−3<x<1,q: x<2a+1， 所以{x∨−3<x<1}⊆ {x∨x<2a+1} ……………………………………………………………… ， 8 分. 所以2a+1≥1,解得a≥0， 故实数a的取值范围是{a∨a≥0}. ……………………………………………………………… 12 分. 20.证明：（1)因为均a,b,c为正数，所以bc a + ac b ≥2❑ √ bc a ∙ac b =2c,当且仅当a=b时等号成立， 同理ac b + ab c ≥2a(当且仅当b=c时等号成立），bc a + ab c ≥2b当且仅a=c时等号成立， ……… …………………………………………………………………………………………………… 3 分. 所以三式相加得2(bc a + ac b + ab c )=2(a+b+c)， 所以bc a + ac b + ab c ≥a+b+c,当且仅当“a=b=c”时等号成立. ………………………………6 分. (2)充分性: ∵x< y , xy<0, 1 xy >0 ∴x∙1 xy < y ∙1 xy ，即1 x > 1 y . …………………………………………………………………………… 9 分. 必要性：∵1 x > 1 y , xy>0， ∴1 x ∙xy< 1 y ∙xy，即x< y ,. 综上，1 x > 1 y 的充要条件为x< y ……………………………………………………………………12 分. 21. 解：⑴由命题“p:∀x∈B , x∈A”是真命题，可知B⊆A， 又B≠∅,所以{ 2m+1≤3m−2 2m+1≥−3 3m−2≤10 ， …………………………………………………………………4 分. 解得 3≤m≤4………………………………………………………………………………………6 分. (2)因为 B≠∅，所以 2m+1≤3m−2，得 m≥3. 因为命题q:“∃x∈A , x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，………………………………………………9 分 所以−3≤2m+1≤10, 或−3≤3m−2≤10， 解得−2≤m≤9 2. 综上，3≤m≤9 2 ………………………………………………………………………………………12 分 22. 解：（1)设每件定价为t 元,依题意得(8-t −25 1 ×0.2)t≥25×8，…………………………………… 2 分 整理得t 2−65t+1000≤0， 解得25≤t ≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40 元. ……………………………………6 分 (2)依题意知：当x>25时,不等式ax ≥25 × 8+50+1 6(x 2−600)+ 1 5 x有解,等价于 x>25时，a≥150 x + 1 6 x+ 1 5有解. ………………………………………………………………………9 分 由于150 x + 1 6 x ≥2❑ √ 150 x × 1 6 x=10，当且仅当150 x =1 6 x，即x =30 时等号成立，所以a≥10.2 故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2 万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投 入之和，此时该商品的每件定价为30 元。……………………………………………………………12 分