浙江省2022-2023学年高二上学期10月份三校联考数学试题

（北京）股份有限公司 浙江省2022-2023 学年高二上学期10 月份三校联考数学试题 选择题部分 一、单项选择题: 本大题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项符合题目要求. 1.若复数z=1+3i 1−i ( i为虚数单位), 则¿ z∨¿( ) A. ❑ √10 B. ❑ √2 C. ❑ √5 D. ❑ √3 2.若平面内两条平行直线l1: x+(a−1) y+2=0,l2:ax+2 y+1=0 之间的距离为3 ❑ √5 5 , 则实数 a=¿ ( ) A. −2 B. −2 或1 C. −1 D. −1 或2 3.已知圆锥的底面半径为1 , 且它的侧面展开图是一个半圆, 则这个圆雉的体积为( ) A. ❑ √3 3 π B. ❑ √3π C. ❑ √5 3 π D. ❑ √5π 4.如图, 在四面体OABC中, M是棱OA上靠近A的三等分点, N , P分别是BC , MN的中点, 设 ⃗ OA=⃗ a,⃗ OB=⃗ b,⃗ OC=⃗ c, 用⃗ a, ⃗ b, ⃗ c表示⃗ OP, 则( ) A. ⃗ OP= 1 4 ⃗ a+ 1 4 ⃗ b+ 1 4 ⃗ c B. ⃗ OP=1 2 ⃗ a+ 1 3 ⃗ b+ 1 4 ⃗ c C. ⃗ OP=1 3 ⃗ a+ 1 2 ⃗ b+ 1 4 ⃗ c D. ⃗ OP=1 3 ⃗ a+ 1 4 ⃗ b+ 1 4 ⃗ c 5.已知△ABC的外心为O , AB=2❑ √3, AC=2❑ √2, A为钝角, M是弦BC的中点, 则 ⃗ AM ⋅⃗ AO=¿( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6.如图, 已知圆锥的底面半径为2 , 母线长为4, AB为圆锥底面圆的直径, C是AB的中点, D是 母线SA的中点, 则异面直线SC与BD所成角的余弦值为( ) A. ❑ √3 4 B. ❑ √10 20 C. ❑ √3 3 D. ❑ √3 2 7. 若正数a,c满足(a−1)(c−1)=1, 则4 a+c的最小值为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 （北京）股份有限公司 8. 在矩形ABCD中, BC=2, M为BC的中点, 将△ABM和△DCM沿AM , DM翻折, 使点B 与点C重合于点P, 若∠APD=150 ∘, 则三棱锥M −PAD的外接球的表面积为( ) A. 12π B. 17π C. 24π D. 68π 二、多项选择题: 本大题共4 小题, 每小题5 分, 共20 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多 个选项符合题目要求. 全部选对的得5 分, 部分选对的得3 分, 有选错的得0 分. 9. 下列说法正确的是( ) （北京）股份有限公司 A. 直线y=ax−2a+4(a∈R)恒过定点 B. 直线y+1=3 x 在y轴上的截距为1 C. 直线x+❑ √3 y+1=0的倾斜角为150 ∘ D. 已知直线l过点P(2,4), 且在x , y轴上截距相等, 则直线l的方程为x+ y −6=0 10.函数f ( x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, π 2 <φ<π), 则f ( x)在区间(0, π 2)内可能( ) A. 单调递增 B. 单调递减C. 有最小值, 无最大值D. 有最大值, 无最小值 11.分别拋掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6 ），设事件M=¿ “第 ” 一枚骰子的点数为奇数, 事件N=¿ “ ” 第二枚骰子的点数为偶数, 则( ) A. M与N 互斥 B. M与N不对立 C. M与N 相互独立 D. P( M ⋃N )= 3 4 12.如图, 若正方体的棱长为1 , 点M是正方体ABCD−A1B1C1 D1的侧面AD D1 A1上的一个 动点(含边界), P是棱C C1的中点, 则下列结论正确的是( ) A. 沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为 ❑ √13 2 B. 若保持¿ PM∨¿ ❑ √2, 则点M在侧面AD D1 A1内运动路径的长度为π 3 C. 三棱锥B−C1 MD的体积最大值为1 6 D. 若点M在A1 D上运动, 则D1到直线PM 的距离的最小值为2 3 非选择题部分 三、填空题: 本大题共4 小题, 每小题5 分, 共20 分. 13.点P(−2,−1)到直线l:(1+3 λ)x+(1+2 λ) y=2+5 λ( λ∈R)( λ∈R)的距离的取值范围 为____________. 14.已知向量⃗ a, ⃗ b满足¿ ⃗ a∨¿4 , ⃗ a⋅⃗ b=−6 ❑ √2, 且向量⃗ a在向量⃗ b上的投影向量为−2❑ √2 3 ⃗ b, 则⃗ b 的模为____________. 15.已知函数f ( x)= 1 2 x −x−1 2−x , g( x)=x 1 2 −ln 1 x . 若对∀x1∈[−log23,0],∃x2∈[e ,4], 使得 f (x1)−g (x2)≥m成立, 则实数m的取值范围为____________. 16.如图, 在四棱台ABCD−A ′ B ′C ′ D ′中, A A ′=3, ∠BAD=∠BA A ′=∠DA A ′=60 ∘, 则 |⃗ A C ′−( x⃗ AB+ y⃗ AD)|( x , y ∈R)的最小值为____________. （北京）股份有限公司 四、解答题: 本大题共6 小题, 共70 分, 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.( 本题满分10 分) （北京）股份有限公司 △ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c, 设sin 2 A+sin 2B−sin 2C=❑ √2sin A ⋅sin B. (I) 求角C的大小; (II) 若cos B=3 5 , D是边BC上一点, 且CD=4 BD , △ACD的面积为7 5 , 求AC的长. 18.( 本题满分12 分) 已知△ABC的顶点A(4,1), AB边上的中线CM所在的直线方程为2 x−y −6=0,∠ABC的 角平分线所在的直线方程为2 x+ y −3=0. (I) 求顶点B的坐标; (II) 求边BC所在的直线方程. 19.( 本题满分12 分) 如图, 已知三棱锥S−ABC ,SA ⊥平面ABC ,∠ABC=120 ∘, AB=2,BC=1,SA=❑ √3.M , N 分别为SB ,SC的中点. ( I ) 证明: BC/¿平面AMN; (II) 求点M到平面ABN的距离. 20.(本题满分12 分) “ ” 某市为了了解人们对中国梦的伟大构想的认知程度, 针对本市不同年龄和不同职业的人举办 “ ” 了一次一带一路知识竞赛, 满分100 分(95 分及以上为认知程度高), 结果认知程度高的有 m人, 按年龄分成5 组, 其中第一组: ¿, 第二组: ¿, 第三组: ¿, 第四组: ¿, 第五组: [40,45], 得 到如图所示的频率分布直方图, 已知第一组有10 人. ( I ) 根据频率分布直方图, 估计这m人的年龄的平均数和第80 百分位数; (II) 现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20 人, “ ” 担任本市的中国梦宣传使者. (i) 若有甲( 年龄38)，乙( 年龄40)两人已确定人选宣传使者, 现计划从第四组和第五组被抽 到的使者中, 再随机抽取2 名作为组长, 求甲、乙两人至少有一人被选上的概率; (ii) 若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37 和5 2, 第五组宣传使者的年龄的平均数 与方差分别为43 和1 , 据此估计这m人35∼45岁所有人的年龄的方差. （北京）股份有限公司 21.(本题满分12 分) 如图, 平行六面体ABCD−A1B1C1 D1中, CB⊥BD ,∠C1CD=45,∠C1CB=60, C C1=CB=BD=1. (I) 求对角线C A1的长度; (II) 求二面角C −BD−C1的余弦值. 22.(本题满分12 分) 如图, 设直线l1: x=0,l2:3 x−4 y=0. 点A的坐标为(1,a)(a> 3 4). 过点A的直线l的斜率为k, 且与l1,l2分别交于点M , N (M , N 的纵坐标均为正数). ( I ) 设a=1, 求△MON面积的最小值; ( II ) 是否存在实数a, 使得 1 ¿OM∨¿+ 1 ¿ON∨¿¿ ¿的值与k无关? 若存在, 求出所有这样的实 数a; 若不存在, 请说明理由.