浙江省宁波市九校2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题

宁波市2021 学年第一学期期末九校联考高二数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量 ，   , 1, b x y    ．若 / / a b  ，则（） A. 1 x y   B. 1 x y   C. 0 x y   D. 1 x y   【答案】A 2. 已知数列  n a 的通项公式为   2 * 2 9 n a n n n N    ．若数列  n a 的前n 项和为 n S ，则 n S 取得最大值时n 的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 3. 若函数  y f x  的图象如图所示，则函数  y f x  的导函数  y f x   的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】C 4. 已知直线: 1 l y x ，椭圆 2 2 : 1 3 x C y  ．若直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，则线段AB 的 中点的坐标为（） A. 1 3 , 4 4        B. 3 1 , 4 4        C. 1 3 , 2 2       D. 3 1 , 2 2         【答案】B 5. 若数列  n a 为等差数列，数列 n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（） A. 1 4 2 3 b b b b    B. 4 1 3 2 b b b b    C. 3 1 2 4 a a a a  D. 3 1 2 4 a a a a  【答案】D 6. 已知  f x  是偶函数   R f x x 的导函数，  1 1 f ．若 0 x 时，   3 0 f x xf x    ， 则使得不等式    3 2022 2022 1 x f x   成立的x 的取值范围是（） A.   2021, B.   ,2021  C.   2023, D.   ,2023  【答案】C 7. 若将双曲线 2 2 : C mx ny    绕其对称中心顺时针旋转120°后可得到某一函数的 图象，且该 函数在区间  0,   上存在最小值，则双曲线C 的离心率为（） A. 2 3 3 B. 3 C. 2 D. 2 3 【答案】C 8. 如图，在直三棱柱 1 1 1 ABC A B C  中，AB AC  且AB AC  ，点E 为 1 AA 中点．若平面 过点E，且平面与直线AB 所成角和平面与平面 1 1 BCC B 所成锐二面角的 大小均为30°，则这 样的平面有（） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 若OA � ，OB � ，OC � 是三个不共面的单位向量，且两两夹角均为，则（） A. 的取值范围是  0, B.   , , OA AB BC � 能构成空间的一个基底 C. “ 2 OP OA OB OC    � ”是“P，A，B，C 四点共面”的充分不必要条件 D.   0 OA OB OC BC     � 【答案】BD 10. 在平面直角坐标系xOy 中，点   1,0 F ，动点M 到点F 的距离与到直线 1 x  的距离相等， 记M 的轨迹为曲线C．若过点F 的直线与曲线C 交于  1 1 , A x y ，  2 2 , B x y 两点，则（） A. 1 2 1 y y  B. OAB  的面积的最小值是2 C. 当 2 AF BF  时， 9 2 AB  D. 以线段OF 为直径的圆与圆   2 2 : 3 1 N x y   相离 【答案】BCD 11. 若函数    ex f x x a a R    ，则（） A. 函数  y f x  的值域为R B. 函数  g x xf x  有三个单调区间 C. 方程  0 f x x  有且仅有一个根 D. 函数    y f f x  有且仅有一个零点 【答案】BC 12. 若数列  n a 满足   2 * 1 1 2 2 n n n a a ma n N     ，则（） A. 当 1 1 2 a  ， 1 m 时， 1 3 n n a a  B. 当 1 1 2 a  ， 1 m 时， 1 2 1 1 1 3 n a a a       C. 当 1 3 a ， 1 m  时， 1 2 1 1 n a a a     D. 当 1 3 a ， 1 m  时， 1 1 2 1 3 1 1 1 2 n n n a a a a a            【答案】AD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”． “三角垛”的最上面一层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球……．设各层球数构成一个 数列  n a ，其中 1 1 a ， 2 3 a ， 3 6 a ，则 5 a ______． 【答案】15 14. 已知点 1 F 为双曲线 2 2 : 1 4 x C y  的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 相交于P，Q 两点． 若 1 3 PF ，则 1 QF ______． 【答案】7 15. 如图，正四棱锥P ABCD  的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M，N 分别为直线 AB，CE 上的动点，则MN 的最小值为______． 【答案】 2 6 3 16. 若函数    2 1 3ln 3 2 x ke x f x x x k R x x       恰有两个极值点，则k 的取值范围是_____ _． 【答案】 3 4 1 e k  四、解答题：本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知过点  3,2 A 的圆的圆心M 在直线 3 y x  上，且y 轴被该圆截得的弦长为4． （1）求圆M 的标准方程； （2）设点   2,3 N  ，若点P 为x 轴上一动点，求PM PN  的最小值，并写出取得最小值时 点P 的坐标． 【答案】（1）    2 2 1 3 5 x y     （2）3 5 ， 1 ,0 2 P       18. 已知函数    3 2 1 2 a f x x x x a R      ． （1）当 1 a 时，求曲线  y f x  在点    2, 2 P f 处的切线方程； （2）若对任意的 1 ,2 2 x       ，  0 f x 恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1） 15 11 2 y x   （2） 2 a  19. 已知正项等差数列  n a 满足：   * 3 3 4 N n n a a n    ，且 1 2a ， 2 a ， 3 1 a 成等比数列． （1）求  n a 的通项公式； （2）设 n b 的 前n 项和为 n S ，且2 2 n n n S a   ，求  2n b 的前n 项和． 【答案】（1） 3 2 n a n   ； （2） 2 6 2 3 3 4n n     . 20. 如图，在四棱锥P ABCD  中，PA 底面ABCD，AD BC ∥ ， AD CD  ，AB AC  ， 2 2 CD AD   ． （1）证明：PB AC  ； （2）当PB 的长为何值时，直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值为 4 5 ？ 【答案】（1）证明见解析 （2） 2 6 PB  21. 已知椭圆   2 2 2 2 : 1 0 x y C a b a b     的离心率为 3 2 ，以椭圆两个焦点与短轴的一个端点为 顶点构成的三角形的面积为2 3 ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）过点  0,2 P 作直线l 与椭圆C 相切于点Q，且直线l 斜率大于0，过线段PQ 的中点R 作直 线交椭圆于A，B 两点（点A，B 不在y 轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N ，试判断直线MN 的斜率是否为定值；若是，请求出该定值． 【答案】（1） 2 2 1 8 2 x y   （2）是，1 2 22. 已知函数     ln 1 1 R f x x a x a      ． （1）讨论函数  y f x  的单调性； （2）若函数  y f x  有两个零点 1 x ， 2 x ，证明： 1 2 4 1 2 1 x x x x e      ． 【答案】（1）函数  y f x  的单调性见解析； （2）证明见解析.