浙江省金衢六校联盟2021-2022学年高二上学期期末联考数学试题

高二数学学科 试题 第1页 （共4 页） 绝密★考试结束前 2021 学年第一学期金衢六校联盟期末联考 高二年级数学学科 试题 考生须知： 1. 本卷共4 页满分150 分，考试时间120 分钟； 2. 答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数 字； 3. 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4. 考试结束后，只需上交答题纸. 一、单项选择题：本大题共8 题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求. 1．已知i 是虚数单位，则复数 i z 2 1− = 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．“ 0  b a ”是“ 1  b a ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数 ) 3 2 cos( 2 ) (  − = x x f ，则下列说法正确的是（ ） A． ) (x f 的最小正周期为 2 B． ) (x f 的图象关于直线 6 5 = x C． ) (x f 的一个零点为6  D． ) (x f 在区间       3 , 6   的最小值为1 4．化学中，将构成粒子（原子、离子或分子）在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的 固体物质称为晶体.在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位， 这个基本单位叫做晶胞.已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞（其中Ti原子位于 晶胞的中心，Ca 原子均在顶点位置，O 原子位于棱的中点）.则图中原子连 线BF 与 1 B E 所成角的余弦值为（ ） A. 2 1 B. 2 2 C. 3 1 D. 3 3 5．已知直线 0 2 : = − − + a y ax l 在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值 是（ ） A． 2 − 1 或 B． 1 2 − −或 C． 2 − D． 1 第4 题图 6．已知△ABC 的顶点B、C 在椭圆 1 3 2 2 = + y x 上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另 外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） A．2 3 B．6 C．4 3 D．12 高二数学学科 试题 第2页 （共4 页） 7．函数 x x x f ln ) ( = 的图象大致形状是（ ） A． B． C． D． 8． 已知F 是双曲线 1 2 2 2 2 = −b y a x 的左焦点， 圆 2 2 2 2 : b a y x O + = + 与双曲线在第一象限的 交点为P ，若PF 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（ ） A．5 B．2 C．3 D． 2 5 二、多项选择题：本大题共4 题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有 多个选项项符合题目要求.全部选对得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9．下列命题是真命题的是（ ） A． R x  ， 2 1  + x x B． 0  x ， x x = ln C． R x  ， 1 2 −  + x x D． 0  x ， x x 2 2 = 10．正方体 1 1 1 1 ABCD ABC D − 的棱长为2, , , E F G 分别为 1 1 , , BC CC BB 的中点.则（ ） A．直线 1 D D 与直线AF 垂直 B．直线 1 AG 与平面AEF 平行 C．平面AEF 截正方体所得的截面面积为9 2 D．点 1 A 和点D 到平面AEF 的距离相等 第10 题图 11． 已知椭圆 2 2 : 1 9 8 x y C + = 的左、 右两个焦点分别为 1 F ， 2 F ， P 为椭圆上一动点， ( ) 1,1 M ， 则下列结论正确的有（ ） A． 1 2 PF F △ 的周长为8 B． 1 2 PF F △ 的最大面积为2 2 C．存在点P 使得 1 2 0 PF PF  = D． 1 PM PF + 的最大值为5 12．已知函数 2 2 2 , 0 ( ) log , 0 x x x f x x x − −   =     ，若 4 3 2 1 x x x x    ，且 ) ( ) ( ) ( ) ( 4 3 2 1 x f x f x f x f = = = ，则下列结论正确的是（ ） A． 1 2 1 − = + x x B． 1 4 3 = x x C． 2 1 4  x D． 1 0 4 3 2 1   x x x x 高二数学学科 试题 第3页 （共4 页） 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13．已知抛物线 px y 2 2 = 的准线方程为 2 − = x ，则 = p ________． 14．已知𝐴(−3,0)， ( ) 10 B , ，则以AB 为直径的圆的方程为________. 15．已知函数 ( ) 1 2 1 , 0 , 0 x x f x x x  −   =     ，则 ( ) ( ) 3 f f − =_________． 16．已知点P 在圆 2 2 2 = + y x 上，已知 ) 0 , 4 ( A ， ) 0 , 4 (− B ，则 PB PA 的最小值为 ___________. 五、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步 骤.符合题目要求. 17．设函数 ) 3 2 sin( ) (  − = x x f （1）求 ( ) f x 的最小正周期和 ( ) f x 的最大值； （2） 已知锐角△ABC的内角A， B， C对应的边分别为a， b， c， 若 2 3 ) ( = A f ， 4 a = 且 5 b c + = ， 求△ABC 的面积. 18．某高中高二年级学生在学习完成数学选择性必修一后进行了一次测试，总分为100 分. 现用分层随机抽样方法从学生的数学成绩中抽取一个样本量为40 的样本， 再将40 个成绩样 本数据分为6 组： ) 40,50 ， ) 50,60 ， ) 60,70 ， ) 70,80 ， ) 80,90 ，  90,100 ，绘制得到如 图所示的频率分布直方图. （1） 从所给的频率分布直方图中估计成绩样本数据众数， 平均数，中位数； （2） 在区间 ) 40,50 和  90,100 内的两组学生成绩样本数 据中，随机抽取两个进调查，求调查对象来自不同分组 的概率. 第18 题图 19．已知圆 2 2 : 6 8 21 0 C x y x y + − − + = 和直线l ： 4 3 0 kx y k − − + = . （1）求直线l 所经过的定点的坐标，并判断直线与圆的位置关系； （2）求当k 取什么值，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长. 高二数学学科 试题 第4页 （共4 页） 20．如图，在四棱锥 ABCD P − 中，O 是AD 边的中点， ⊥ PO 底面 1 . = PO ABCD ．在 底面ABCD中， 2 , 1 , , // = = = ⊥ AD CD BC AD CD AD BC ． （1）求证：AB // 平面POC ； （2）求直线PC 与平面PAB所成角的正弦值． 第20 题图 21．已知函数 ) ( ) ( 2 R a b ax x x f  + + = . （1）若 0 ) (  x f 的解集为  2 , 1 − ，求 b a, 的值； （2）若 5 ) 2 ( = f ， b a, 均正实数，求 b a 1 2 + 的最小值； （3）若 2 = a ，当 0  x 时，若不等式 0 ) 2 )( (  − x x f 恒成立，求实数b 的值. 22．已知椭圆 ) 0 ( 1 : 2 2 2 2   = + b a b y a x C 的左､右顶点分别为 B A, ，椭圆C 的左､右焦点分 别为 2 1, F F ，点 ) 2 , 0 ( − M 为椭圆C 的下顶点，直线MA与MB 的斜率之积为 3 2 − . （1）求椭圆C 的方程； （2）设点 Q P, 为椭圆C 上位于x 轴下方的两点，且 2 1 //QF PF ，求四边形 2 1PQF F 面积的 最大值.