宁夏银川一中2021-2022学年高二上学期期中考试数学(理)试题

银川一中2021/2022 学年度(上)高二期中考试 数学(理科)试卷 一、单选题:本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．已知复数 ，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．双曲线 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与 自然和谐共生的发展理念，对境内企业产生 的废水进行实施监测，如图所示茎叶图是对 A， 两家企业10 天内产生废水的某项指标 值的检测结果，下列说法正确的是（ ） A． 两家企业指标值的极差相等 B． 企业的指标值的中位数较大 C． 企业的指标值众数与中位数相等 D． 企业的指标值的平均数相等 4．下列命题正确的是（ ） A．“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件 B． 命题“ ”为假命题，则命题p 与命题q 都是假命题 C． “am2<bm2”是“a<b”成立的必要不充分条件 D ．命题“ 存在 ，使得 ” 的否定是：“ 对任意 ，均有 x2+x+1<0” 5．从编号1～100 的100 位同学中用系统抽样的方法随机抽取5 位同学了解他们的学习状况， 若编号为51 的同学被抽到，则下面4 位同学的编号被抽到的是（ ） A．1 B．31 C．81 D．93 6．设△ABC 的三边长分别为a、b、c，△ABC 的面积为S，内切圆半径为r，则 . 类比这个结论可知：四面体S-ABC 的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径 为R，四面体S-ABC 的体积为V，则R=（ ） A. B. C. D. 7．有一段演绎推理：“大前提：奇函数的图象关于原点对称，小前提： 是奇 函数，结论：所以 的图象关于原点对称”.则该推理过程( ) A．因大前提错误导致结论错误 B．正确 C．因小前提错误导致结论错误 D．因推理形式错误导致结论错误 8．已知抛物线 经过点 为抛物线的焦点，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 9．2021 年某省实施新的“ ”高考改革方案，“3”即为语文､数学､英语3 科必选， “1”即为从物理和历史中任选一科，“2”即为从化学､生物､地理､政治中任选2 科，则该 省某考生选择全理科(物理､化学､生物)的概率是（ ） A． B． C． D． 10．蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期 由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一 类非常重要的数值计算方法．某同学根据蒙特·卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率 的值，每次用计算机随机在区间 内取两个数，共进行了 次实验，统计发现这 两个数与 能构成钝角三角形的情况有 种，则由此估计 的近似值为（ ） A． B． C． D． 11．已知椭圆和双曲线有相同的焦点 ，它们的离心率分别为 ， 是它们的一个公 共点，且 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 12．椭圆 的左、右焦点分别是 、 ，斜率为 的直线l 过左 焦点 且交 于 ， 两点，且 的内切圆的周长是 ，若椭圆 的离心率为 ，则线段 的长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共20 分. 13．复数 的实部为______． 14．已知样本数据 的标准差为2，则数据 的标准差为____ _______. 15．毕业数年后，老师甲与乙、丙、丁三个学生在一起聊各自现在所从事的职业，得知三个 学生中一个是工程师，一个是教师，一个是法官，且丁比法官的年纪大，乙跟教师不同 岁，教师比丙年纪小，则三个学生中是工程师的是__________. 16．2021 年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象． 已知抛物线 的焦点为F，圆 与抛物线Z 在第一象限的交 点为 ，直线 与抛物线Z 的交点为A，直线l 与圆F 在第一象 限的交点为B，则△FAB 周长的取值范围为______． 三、解答题(共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（10 分） 《中华人民共和国道路交通安全法》第47 条的相关规定：机动车行经人行道时，应当 减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和 国道路交通安全法》第90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3 分，罚款50 元的处罚.下 表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5 个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 120 105 100 90 85 （1）请利用所给数据求违章人数 与月份 之间的回归直线方程； （2）预测该路口9 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数. 参考公式： ， . 18．（12 分） 已知 ， . (1)若p 为真命题，求a 的取值范围； (2)若 为真命题，且 为假命题，求a 的取值范围. 19．(12 分) 已知抛物线 的准线方程为 ，过其焦点F的直线l交抛物线C于 A、B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为 . （1）求实数p的值； （2）求△OAB 的面积. 20．(12 分) 已知椭圆 过点 ，且 的离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）过点 的直线与 相交于 两点，且 ，求的方程. 21．（12 分） 某种零件的质量指标值以分数(满分100 分)衡量，并根据分数的高低划分三个等级，如 下表: 为了监控某种零件的一条生产线的生 产过程，检验员随机抽取了100 件零件， 进行质量指标值检查，将检查结果进行 整理得到如下的频率分布直方图: (1)若该生产线的质量指标值要求为: 第一条:生产线的质量指标值合格和 优秀的零件至少要占全部零件的75％， 第二条:生产线的质量指标值平均分不低于95 分； 如果同时满足以上两条就认定生产线的质量指标值合格，否则为不合格，请根据以上抽样调 查数据，判断该生产线的质量指标值是否合格? (2)在样本中，按质量指标值的等级用分层抽样的方法从质量指标值不合格和优秀的零件 中抽取5 件，再从这5 件中随机抽取2 件，求这两件的质量指标值恰好一个不合格一个优秀 的概率. 22．(12 分） 已知点 是圆 上任意一点，点 与点 关于原点对称，线段 的垂 直平分线分别与 ， 交于 ， 两点. （1）求点 的轨迹 的方程； （2）过点 的动直线与点 的轨迹 交于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使以 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 高二期中考试参考答案（理科数学） 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C C A B C B B D A B B 二、填空题 13.0 14.6 15.丙 16. 三、解答题 17．【详解】 （1）由表中数据知： ，.........................................2 分 ，.........................................4 分 所以 ，........................................6 分 ，.......................................8 分 所以所求回归直线方程为 . （2）当x=9 时， （人）................................10 分 18.【详解】 对于命题p 为真，解得 . .......................................6 分 (II) ， ，则 ...................................8 分 因为 为真命题，且 为假命题，所以真假或假真， 当真假，有 ，即 ； ............................10 分 当假真，有 ，则无解. 综上所述， .............................12 分 19.【详解】 （1）由准线方程为 知， ，故 ...............................6 分 （2）由（1）知，抛物线方程为 ， 设直线l 的方程为 ， ， 联立抛物线方程 ，化简得 .....................8 分 则 ， 由线段 的中点为 知 ， ，代入韦达定理知， ，解得 ，................10 分 故直线的方程为 . 所以 ， 因此 的面积为 ................12 分 20【解析】 （1）由已知得 ，.........................2 分 解得 ， ．........................4 分 ∴椭圆 的方程为 ........................6 分 （2）当为 轴时，可验证，也符合条件........................7 分 当不为 轴时，设直线的方程为 ，代入椭圆 的方程得 ，........................8 分 设 ， ，则 ， . ．........................10 分 解得 ． ∴直线的方程为 或 ．........................12 分 21.【详解】解析(1)根据抽样调查数据，生产线的质量指标值合格和优秀的零件所占比例的 估计值为: (0.100+0.150+0.125+0.025)×2=0.80, 因为0.80＞0.75，所以满足生产线质量指标值要求的第一条;........................2 分 生产线的质量指标值平均分约为: (89×0.025+91×0.075+93×0.100+95×0.150+97×0.125+99×0.025)×2=94.4, 因为94.4＜95，所以不满足生产线质量指标值要求的第二条;........................4 分 综上，可以判断该生产线的质量指标值是不合格的.........................6 分 (2)由频率分布直方图可知，不合格、优秀的频率分别为0.2，0.3，....................8 分 故在样本中用分层抽样方法从质量指标值不合格和优秀的零件中抽取5 件零件，质量指标值 不合格的有2 件，设为甲、乙，优秀的有3 件，设为A，B，C。从这5 件零件中随机抽取2 件，有: 甲乙，甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，AB，AC，BC，共10 种， 其中恰好一个不合格一个优秀的有:甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C 共6 种.........10 分 所以这两件的质量指标值恰好一个不合格一个优秀的概率P＝ ..................12 分 22．【详解】 （1）由题意得 ，..................2 分 ∴点 的轨迹 为以 为焦点的椭圆 ∵ ， ∴ ∴点 的轨迹 的方程为 ...................4 分 （2）当直线的斜率存在时，可设其方程为 ，设 联立 可得 ， 由求根公式可得 ..................6 分 假设在 轴上存在定点 ，使以 为直径的圆恒过这个点， 则 即 ∵ ，...........8 分 ，...10 分 由 解得 ∴在 轴上存在定点 ，使以 为直径的圆恒过这个点. 当直线的斜率不存在时，经检验可知也满足以 为直径的圆恒过点 因此在 轴上存在定点 ，使以 为直径的圆恒过这个点.............12 分