宁夏银川市一中2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题(1)

银川一中2021/2022 学年度(上)高二期末考试 数学(理科)试卷 一、单选题（每题5 分，共60 分） 1． （ ） A． B． C． D． 2．抛物线 的焦点坐标为 A. B. C. D. 3．已知函数 ，则 的值为 A. B. C. D. 4．函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 5．用数学归纳法证明 时，第一步应验证不等式（ ） A． B． C． D． 6．已知椭圆 x2 m + y2 3 =1 的一个焦点坐标为(-1，0)，则m 的值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．6 7．我国的刺绣有着悠久的历史，如图， 为刺绣最简单的四个图案，这些图案都 是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣 小正方形的 摆放规律相同，设第 个图形包含 个 小正方形，则 的表达式为 A． B. C. D. 8．函数 ， 的最小值为（ ） A．2 B． C． D．3 9．设 是函数 的导函数， 的图象如图所示， 则 的解集是( ) A. B. C. D. 10．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 A. B. C. D. 11．已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．已知a=4 ln3π ，b=3ln 4π ，c=4 ln π3 ，则a，b，c 的大小关系是( ) A. c<b<a B. b<c<a C. b<a<c D. a<b<c 二、填空题（本大题共4 小题，共20 分） 13．已知向量 ，且 ，则实数 ________________． 14．经过点 且与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程为_________． 15．函数 是R 上的单调递增函数，则a 的取值范围是______． 16．已知函数 是函数 的导函数, ,对任意实数 都有 , 则不等式 的解集为___________. 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分） 17．(10 分) 已知函数f(x)＝x ln ﹣x （1）求曲线y＝f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程； （2）求函数f(x)的极值． 18．(12 分) 已知抛物线 ： 的焦点为 ， 上的一点 到焦点的距离是， 求抛物线 的方程； 过 作直线，交 于 ， 两点，若线段 中点的纵坐标为 ，求直线的方 程. 19．(12 分) 在直三棱柱ABC A ﹣ 1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2， A1A=4，点D 是BC 的中点； （1）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （2）求直线AB1与平面C1AD 所成角的正弦值． 20．(12 分) 已知 ， 是函数 的两个极值点. （1）求 的解析式； （2）记 ， ，若函数 有三个零点，求 的取值范围. 21．(12 分) 如图，直角梯形 与等腰直角三角形 所在的平面互相 垂直， ， =2， . （1）求点C 到平面 的距离； （2）线段 上是否存在点F，使 与平面 所成角正弦值为 ，若存在，求出 ，若不存在，说明理由. 22．(12 分) 设函数f (x)=ex−ax−2(a∈R)． （1）求f ( x)的单调区间； （2）若a=1，k 为整数，且当x>0 时，k−x x+1 f '( x)<1恒成立，求k 的最大值．（其中 f '(x)为f ( x)的导函数．） 高二理科期末考试试卷答案(2022 上) 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B A C B B D D C B B B 二、填空题 13. 2 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：（1） ， ………………………………2 分 则 ， ， 即切线的斜率为0， ……………………………………4 分 所以曲线y＝f(x)在点（1，f(1)）处曲线的切线方程为 ；…………5 分 （2）当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上递减，在 上递增， ………………………9 分 函数 的极小值为 ，无极大值. ………………………10 分 18. 解： 抛物线： 的准线方程为 ， 由抛物线的定义可知 ， ………………………………2 分 解得 ， 的方程为 ． ………………………………………………4 分 由 得抛物线的方程为 ，焦点 ， 设，两点的坐标分别为 ， ， 则 ， ………………………………………………………6 分 两式相减， ， 整理得 ， ………………………………………………8 分 线段 中点的纵坐标为 ， 直线的斜率 ， …………………………10 分 直线的方程为 ，即 ． ……………12 分 19.解：（I）以 ， ， 为x，y，z 轴建立空间直角坐标系A xyz ﹣ ， 则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， ∴ =（2，0，﹣4）， =（0，2，4）， ………………………3 分 cos ∴ ＜ ， ＞= = ∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为； …………………………6 分 （II）由（I）知， =（2，0，﹣4）， =（1，1，0）， 设平面C1AD 的法向量为=（x，y，z）， 则可得 ，即 ，取x=1 可得=（1，﹣1，），……9 分 设直线AB1与平面C1AD 所成的角为θ，则sinθ=|cos＜ ，＞|= ∴直线AB1与平面C1AD 所成角的正弦值为 ………………………12 分 20.解：（1）因为 ，所以 ………1 分 根据极值点定义，方程 的两个根即为 ， ， ，代入 ， ，可得 ，解之可得， ， …………………………3 分 故有 ； ………………………………………4 分   1,  f x  1 1 f  3 2 ( ) 1 3 x f x ax bx     2 ( ) 2 f x x ax b     ( ) 0 f x   1 x  2 x  2 ( ) 2 f x x ax b      1 x  （2）根据题意， ， ， ， 根据题意，可得方程 在区间 ， 内有三个实数根， 即函数 与直线 在区间 ， 内有三个交点， 又因为 ， 则令 ，解得 ；令 ，解得 或 ， 所以函数 在 ， 上单调递减，在 上单调递增；…6 分 又因为 ， ， ， ，……10 分 函数图象如右所示： 若使函数 与直线 有三个交点， 则需使 ，即 ． …………………12 分 21.解：解：如图所示，取 中点 ，连结 ， ， 因为三角形 是等腰直角三角形，所以 ， 因为面 面 ，面 面 面 ， 所以 平面 ，又因为 ， 所以四边形 是矩形，可得 ， 则 ， 建立如图所示的空间直角坐标系，则： ………………………………1 分 据此可得 ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 可得 ，……………………………3 分 从而 ，又 ， 故求点 到平面 的距离 ．……………………5 分 （2）假设存在点 ， ， 满足题意， 点 在线段 上，则 ， ……………………………6 分 即： ， ， ， ， ， 据此可得： ， ，从而 ， ， ， ，…8 分 设 与平面 所成角所成的角为 ， 则 ， ………………………………10 分 整理可得： ， 解得： 或 （舍去）． ……………………………11 分 据此可知，存在满足题意的点 ，点 为 的中点，即 ．………12 分 22.解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ， ………………1 分 当 时， 对于 恒成立，此时函数 在 上单调递增； 当 时，由 可得 ；由 可得 ； 此时 在 上单调递减，在 上单调递增；…………3 分 综上所述：当 时，函数 的单调递增区间为 ， 当 时， 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，…4 分 （Ⅱ）若 ，由 可得 ， 因为 ，所以 ， 所以 所以 对于 恒成立， ……………………………5 分 令 ，则 ， ， 令 ，则 对于 恒成立， 所以 在 单调递增， ……………………7 分 因为 ， ， 所以 在 上存在唯一的零点 ， 即 ，可得： ， ……………………9 分 当 时， ，则 ， 当 时， ，则 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，……………11 分 因为 ，所以 的最大值为 . …………………………12 分