辽宁省沈阳市重点高中联合体2021-2022学年高二12月考试数学试题

沈阳市重点高中联合体 2021—2022 学年度上学期12 月考试高二年级试题 数 学 考试时间：120 分钟 满分：150 分 一、单选题（本大题共8 个小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的。） 1．抛物线 的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．直线过点 ，与直线 垂直，则直线方程为（ ） A． B． C． D． 3．椭圆 与双曲线 有相同的焦点，则实数 等于（ ） A． B． C． D． 4．已知正四面体 中， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 5．从6 名男医生，5 名女医生中选出3 名医生组成一个医疗小组，且至少有一名女医生， 则不同的选法共有（ ） A．130 种 B．140 种 C．145 种 D．155 种 6．点在圆 上移动时，它与定点 连线的中点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 7．已知 是椭圆 的左右焦点，点 是过原点 且倾斜角为 的直线与椭圆 的一个交点，且 ，则椭圆 的离心率为 （ ） A． B． C． D． 8．2021 年7 月，我国河南郑州遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安 排甲､乙､丙､丁､戊五名专家赴三地工作,因工作需要，每地至少需要安排一名专家， 其中甲､乙两名专家必须安排在同一地工作，则不同的安排方案的总数为（ ） A．36 B．30 C．24 D．18 二、多选题（本大题共4 个小题，每小题5 分，共计20 分。在每小题给出的选项中有多 项符合题目要求，全部选对得5 分，部分选对得2 分，错选或者多选不得分。） 9．如图，正方体 的棱长为1， 是 的中点，则下列说法正确的是（ ） A．直线 平面 B． C．三棱锥 的体积为 D．直线 与面 所成的角为 10．已知方程 表示的曲线为 ，则以下四个判断正确的为（ ） A．当 时，曲线 表示椭圆 B．当 或 时，曲线 表示双曲线 C．若曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，则 D．若曲线 表示焦点在 轴上的双曲线，则 11．过双曲线 的右焦点 ,作一条渐近线的垂线，垂足为点 ，与 另一条渐近线交于点B，若 ，则双曲线的离心率可能为（ ） A． B． C． D． 12．已知 为坐标原点，定点 ， 、 是抛物线 上两点， 为 其焦点，若 到准线的距离为2，则下列说法正确的是（ ） A． 周长的最小值为 B．若 ，则 最小值为4 C．若直线 过点F，则直线 的斜率之积恒为 D．若 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为 三、填空题（本大题共4 个小题，每题5 分，共计20 分。） 13．已知曲线 ，则以 为中点的弦所在直线的一般式方程为______. 14．从2，3，4，5，6，7 任取三个不同的数字，组成无重复数字三位数，要求个位数最 大，百位数最小，则这样的三位数的个数为______(用数字作答). 15．曲线 与直线 有两个交点，则实数的取值范围是______． 16．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 交于 两点， 且直线与圆 交于 两点，若 ,则直线的斜率为_ _____． 四、解答题（本大题共6 个小题，共计70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤，并写在答题卡相应位置上。） 17．（本题10 分）已知圆 ： ，直线： （ ）． （1）判断直线与圆 的位置关系； （2）若圆C 上有三个不同的点到直线的距离为 ，求此时的直线方程. 18．（本题12 分）（1）若 ；求正整数 ；（2）已知 ，求 . 19．（本题12 分）从 等7 人中选5 人排成一排（以下问题均用数字作答） （1）若 必须在内，有多少种排法？ （2）若 三人不全在内，有多少种排法？ （3）若 都在内，且 必须相邻， 与 都不相邻，有多少种排法？ 20．（本题12 分）已知抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上一点， 且 . （1）求抛物线的标准方程； （2）直线交抛物线于不同的 两点， 为坐标原点，且 求证：直线 恒过定点，并求出这个定点. 21．（本题12 分）已知在长方形 中， ，点 是 的中点，沿 折起平面 ，使平面 平面 . （1）求证：在四棱锥 中， ； （2）在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ？若存在， 找出点 的位置；若不存在，请说明理由. 22．（本题12 分）如图所示，点 是椭圆 的一个顶点， 的长轴是圆 的直径, 是过点 且互相垂直的两条直线，其中 交圆 于 两点， 交椭圆 于另一点 . （1）求椭圆 的方程； （2）求 面积取得最大值时的直线的方程.