湖湘教育三新探索协作体2021-2022学年高一上学期11月期中联考数学试题（答案解析）

试卷第1 页，共6 页 高一数学参考答案 1． 【答案】B【详解】由已知可得  3 A B = .故选：B. 2． 【答案】A【详解】 1 a ， 1 0 a  − ,则| 1| 0 a − ；又由| 1| 0 a − ，解得 1 a 或 1 a . “ 1 a ”是“| 1| 0 a −  ”的充分不必要条件；故选：A 3． 【答案】C【详解】 ( ) 2 ( 1) 2 ( 1) 3 1 f = − −− = − 故选：C. 4． 【答案】D【详解】因为函数 ( ) f x 是定义在R 上的偶函数， 所以 (3) ( 3) f f = − ， (4) ( 4) f f = − 因为函数 ( ) f x 是定义在R 上的偶函数，在( ) 0,  + 上是减函数， 所以函数 ( ) f x 在( ) ,0 − 上是增函数， 因为2 3 4, (4) (3) (2), ( 4) ( 3) (2) f f f f f f       −  −  . 故选：D. 5． 【答案】D【详解】函数 2 ( ) 2 f x x kx = − + 的对称轴为 2 k x = ， 由于 ( ) f x 在[ 2, 1] − − 上是增函数，所以 2 4 2 k k − −.故选:D 6． 【答案】A【详解】当 2 m = 时， ( ) 1 f x x− = ，函数 ( ) f x 在( ) 0,+上单调递减.故选：A 7． 【答案】D【详解】根据阴影部分的形状可知： 面积增加的速度：先慢后快，当P 过A 点后面积增加的速度： 先快后慢.故选：D 8． 【答案】C【详解】函数 ( ) f x 满足 ( ) ( ) 0 f x f x + − = ，所以 ( ) f x 是奇函数， 则 ( ) ( ) ( ) 2 f x f x f x x x − − = ， 在(0, ) +上 ( ) f x 是单调递减， 且 ( ) 2 0 f = ， 所以 ( ) ( ) ( ) 2 0 f x f x f x x x − − =  的解集为(0,2] ； 在( ,0) − 上 ( ) f x 是单调递减，且 ( ) ( 2) 2 0 f f − = − = ， 所以 ( ) ( ) ( ) 2 0 f x f x f x x x − − =  的解集为[ 2,0) − ；故选：C 试卷第2 页，共6 页 9． 【答案】BD【详解】 对于A，当 0, 2 a b = = −时， 2 2 a b  ，所以A 错误， 对于B，因为a b ，所以 2 2 3 a b b −  −  −， ，所以 2 3 a b −  −，所以B 正确， 对于C，当 0 c = 时， 2 2 0 ac bc = = ，所以C 错误， 对于D， 1 1 1 1 0 0, 0 0 b a a b b a ab a b a b ab −   −    −   ，所以D 正确；故选：BD 10． 【答案】ACD【详解】 对于A，显然正确； 对于B，因为 0 a  ，所以 1 1 1 2 2 2 ( 2) 2 0 2 2 2 a a a a a a + = + + −  +  − = + + + ， 当且仅当 1 2 3 1 2 a a a a + =  = − = − + 或 时取“=”，所以B 错误； 对于C，显然正确； 对于D，因为 0 a  ， 0 b ，所以 0, 0 a b b a   ，则 2 2 a b a b b a b a +   = ， 当且仅当a b a b b a =  = 时取“=”，所以D 正确.故选：ACD. 11． 【答案】ABD【详解】 对于A，命题“两个全等三角形的面积相等”是全称量词命题，所以A 正确； 对于B，若命题 : p x R , ( ) 0 f x  或 ( ) 1 f x ，则 0 : p x   R ， 0 0 ( ) 1 f x  ，正确 对于C， 函数 2 2 ( ) 2 x x f x x + = + 的定义域为{ | 2} x R x  − ， 故 ( ) f x 既不是奇函数也不是偶函数， 所以C 错误； 对于D，充分性：若 1 a + 是无理数，则a 是无理数，充分性成立； 必要性：若a 是无理数，则 5 a + 是无理数，必要性成立. 故“ 1 a + 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，所以D 正确.故选：ABD． 12.【答案】ACD【详解】 根据高斯函数的定义：对于A，显然正确； 对于B，因为( ) [ ] g x x x = − ，函数( ) g x 的值域为[0,1) ，所以B 错误； 对于C，因为函数( ) g x 的值域为[0,1) ，所以对任意的x ，方程 ( ( )) 0 f g x = 的解集为R ， 所以C 正确； 对于D， ( ) ( ) f x f y = ， [ ] [ ] 1 1 x y x y  = − −  ，即| | 1 x y − ，所以D 正确. 故选：ACD． 试卷第3 页，共6 页 13． 【答案】3 【详解】 , 2 A B a a = +  ， 3 2 5 a a =  + =  ，解得 3 a = 故答案为：3 14． 【答案】 ) ( ) 4,1 1, − + 【详解】根据题意知 1 0 x − 且 4 0 x +  ， 4 x  −且 1 x ，即函数的定义域为 ) ( ) 4,1 1, − +．故答案为： ) ( ) 4,1 1, − + 15． 【答案】5 【详解】设三类课程都选择参加的学生有x 人， 由题意得 ( ) ( ) ( ) 8 3 7 11 8 40 x x x x + − + − + − + = ，解得 5 x = .故答案为：5 16.【答案】( , 3] −− 【详解】由 ( ) ( ) f x g x = 即 2 3 2 3 x x x − = − − ，解得 0 x = 或 3 x = 易知，( ) 2 2 2 3, 0 3,0 3 2 3, 3 x x x h x x x x x x  − −   = −     − −   ，当 0 x = 时 ( ) min [ ] 3 h x = −. 对任意的x 都有( ) h x m  成立，则 3 m −即 ( , 3] m−− .故答案为：( , 3] −− 17． 【答案】(1)(  ) , 4 3, −− + , (2) ( , 1) −− 【详解】 （1）不等式可化为( )( ) 4 3 0 x x + −  ，解集为(  ) , 4 3, −− +............5 分 （2）若 2 2 1 0 kx x + − 的解集为R， 当 0 k = 时，2 1 0 x − 的解集为 1 { | } 2 x x  ，不合题意；............................7 分 当 0 k  时，则 0 4 4 0 k k   +   解得 1 k −..........................................................9 分 综上，实数k 的取值范围是( , 1) −− ............................................................10 分 试卷第4 页，共6 页 18.【答案】 （1）  4 7 x x   ； （2） 2 m  . 【详解】 （1）当 3 m = ，   4 9 B x x =   ，又   2 7 R C A x x = −   ，..............................3 分 所以   ( ) 4 7 R C A B x x =   ；.................................................................................6 分 （2）因为A B = ， ①当B = 时，则 1 2 3 m m +  + ，即 2 m −，符合题意，......................................8 分 ②当B 时，所以 2 1 2 2 3 7 m m m −   + −   +   ，解得2 2 m −  ，...............................................11 分 综上所述， 2 m  ............................................................................................................12 分 19． 【答案】 （1）2 −； （2）见解析. 【详解】 （1）由题知不等式函数 2 1 0( 0) ax x a + +   的解集为 1 { | 1} 2 x x −   ， 即 1 ,1 2 − 是方程 2 1 0( 0) ax x a + + =  的两根，...............................................................2 分 所以 1 1 ( ) 1 2 a − = ，.........................................................................................................4 分 解得 2 a = −.........................................................................................................................5 分 （2）由于 ( ) 2 2 1 f x x x = − + + 的图象开口向下，且对称轴为 1 4 x = ，..........................6 分 因此 ( ) f x 在 1 , 4   −    上单调递增，在1 , 4   +    上单调递减............................................8 分 当 1 2 4 m +  即 7 4 m − 时， 2 max ( ) ( 2) 2 7 5 f x f m m m = + = − − −.......................................9 分 当 1 2 4 m m   + 即 7 1 4 4 m −   时， max 1 9 ( ) ( ) 4 8 f x f = = ...............................................10 分 当 1 4 m  时， 2 max ( ) ( ) 2 1 f x f m m m = = − + + .....................................................................11 分 综上， 2 max 2 7 2 7 5, 4 9 7 1 ( ) , 8 4 4 1 2 1, 4 m m m f x m m m m − − − −    = −     − + +    ...........................................................................12 分 试卷第5 页，共6 页 20． 【答案】 （1） 2 1 300 35000,0 200 2 25000000 150000 100 , 200 x x x P x x x − + −     =   − −    ； （2）5 万 【详解】 （1）由题知，利润 2 1 300 35000,0 200 2 25000000 150000 100 , 200 x x x P x x x − + −     =   − −    ...........................................5 分 （2）当0 200 x   时， 2 1 ( 300) 10000 2 P x = − − + ， 所以，当 200 x = 时，P 有最大值5000；..........................................................................8 分 当 200 x  时， 25000000 150000 100 150000 2 100 25000000 50000 P x x = − −  −  = ，............10 分 所以，当 500 x = 时，P 有最大值50000；.......................................................................11 分 综上，当月产量为500 时，公司所获利润最大.最大利润为5 万元. ..............................12 分 21． 【答案】 （1）1 4 ； （2） 1 ( , ] 6 − 【详解】 （1）函数 ( ) ( ) 2 1 0, 0 f x ax bx a b = + +   ,且 ( ) ( ) 1 2 0, 0 f a b =   . 所以， ( ) 1 2 0, 0 a b a b + + =   ，即 ( ) 1 0, 0 a b a b + =   ...................................................1 分 根据基本不等式 2 a b ab +  ，得 2 1 2 4 a b ab +    =     ，.........................................................3 分 当且仅当 1 2 a b = = 时取等号，此时ab 有最大值1 4 ..............................................................4 分 （2）由（1）知，0 1 a  ，..................................................................................................6 分 2 2 3 a   +  又 2 ( ) 1 g x mx mx = − −， ( 2) 0 g a +  ，令 2 (2 3) a t t + =  ，即当2 3 t  时，( ) 0 g t  .......................................8 分 当 0 m  时，显然成立；...........................................................................................................9 分 当 0 m  时，只需(3) 6 1 0 g m = − ，解得 1 0 6 m   .............................................................11 分 综上，m 的取值范围 1 ( , ] 6 − ...................................................................................................12 分 试卷第6 页，共6 页 22． 【答案】 （1） 2 ( ) 1 x f x x = − ； （2） 1 1 2 x x   − −     【详解】 （1）∵函数 ( ) 2 1 ax b f x x + = − 是定义在( ) 1,1 − 上的奇函数； ∴ ( ) 0 0 f = ，即 0 1 b = ，∴ 0 b = .............................................................................................2 分 又∵ 1 2 2 3 f  =     ，即 2 1 2 2 3 1 1 2 a =   −    ，∴ 1 a = ；.......................................................................4 分 ∴函数 ( ) f x 的解析式为 ( ) 2 1 x f x x = − ....................................................................................5 分 （2）由（1）知 ( ) 2 1 x f x x = − 令 1 2 1 1 x x −  ，则 ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 x x f x f x x x − = − − − ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x + − + = + + ( )( ) ( )( ) 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 x x x x x x − + = − − ∵ 1 2 1 1 x x −  ；∴ 1 2 1 2 0, 1 x x x x −  − ∴ 1 2 1 0 x x +  ， 2 2 1 2 1 0,1 0 x x −  −  ∴ ( ) ( ) 1 2 0 f x f x −  ，即 ( ) ( ) 1 2 f x f x  ∴ (