陕西省师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题

陕西师大附中2022—2023 学年度第一学期 期中考试高一年级数学试题 一、选择题 （一）单选题（本大题共8 小题，每小题4 分，共32 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设全集 ， ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.命题“ ， ”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3.若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.若实数 ， 满足 ，且 .则下列四个数中最大的是（ ） A. B. C. D. 5.下列各组函数是同一函数的是（ ） ① 与 ；② 与 ； ③ 与 ；④ 与 . A.①② B.①③ C.①④ D.③④ 6.设函数 ， ，则 （ ） A. B.0 C.1 D.2 7.设已知函数 ， 如下表所示： 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 4 3 2 1 5 则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 8.已知函数 若 值域为 ，则实数的 范围是（ ） A. B. C. D. （二）多选题（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分．全对得4 分， 少选得2 分，多选、错选不得分） 9.已知非零实数 ， ，满足 ， ，则下列不等式一定成立 的是（ ） A. B. C. D. 10.已知函数 的图象经过点 ，则（ ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于原点对称 C.若 ，则 D.当 时， 恒成立 11.以下结论正确的是（ ） A.函数 的最小值是2 B.若 且 ，则 C.函数 的最大值为0 D. 的最小值是2 12.已知 ， ， 则 （ ） A.无最小值 B.最小值 C.无最大值 D.最大值为 二、填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分） 13.函数 的定义域为_______. 14.不等式 对 都成立，那么实数 的取值范围为_______. 15.为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用 电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶 梯：月用电量不超过 千瓦时的部分，电价为 元/千瓦时；第二阶梯：月 用电量超过 千瓦时但不超过 千瓦时的部分，电价为 元/千瓦时；第 三阶梯：月用电量超过 千瓦时的部分，电价为 元/千瓦时.若某户居民 月份交纳的电费为 元，则此户居民 月份的用电量为_______千瓦时. 16．若区间 满足：①函数 在 上有定义且单调；②函数 在 上的值域也为 ，则称区间 为函数 的共鸣区间． 请写出函数 的一个共鸣区间_______. 三、解答题（本大题共5 小题，第17-18 题每小题10 分，第19-21 题每小题12 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设 ， ， ， ． （1）求 、 的值及 、 ； （2）求 . 18.通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念 和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的 时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散. 分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力， 表示提出 和讲授概念的时间（单位：分钟），且 （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？ （2）一个数学难题，需要的接受能力为55，教学时间至少要13 分钟，教师能 否 及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 19.已知 ，命题 ： ， ，命题 ： ， . （1）若 为假命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 ， 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围. 20．如图所示，将一个矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求 在射线 上， 在射线 上，且对角线 过 点.已知 米， 米，设 的长为 米，且要求 的长不少于米. （1）设矩形花坛 的面积为 ，试求函数 的解析式及其定义域； （2）求当 的长度分别是多少时，矩形花坛 的 面积最小，并求出此最小值. 21.已知 是定义在 上的奇函数，当 ，且 时， . （1）判断函数 的单调性，并给予证明； （2）若 ， 对 ， 恒成立， 求实数 的取值范围. 陕西师大附中2022—2023 学年度第一学期 期中考试高一年级数学试题答案 一、选择题 （一）单选题（本大题共8 小题，每小题4 分，共32 分．在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B B D C C A （二）多选题（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分．全对得4 分， 少选得2 分，多选、错选不得分） 题号 9 10 11 12 答案 AC BCD BC AD 二、填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分） 三、解答题（本大题共5 小题，第17-18 题每小题10 分，第19-21 题每小题 12 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 题号 13 14 15 16 答案 ，或 ，或 . 17.设 ， ， ， ． （1）求 、 的值及 、 ； （2）求 . 解：（1）由题意可得 ， ，则 ，解得 ，…………2 分 所以， ， ， 则 ，满足题意. 综上所述， ， ， ， .………………………5 分 （2）由（1）可知 ，………………………7 分 ，因此， .…………………………………10 分 18.通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念 和描述问题所用的时间.讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的 时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散. 分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力， 表示提出 和讲授概念的时间（单位：分钟），且 （1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？ （2）一个数学难题，需要的接受能力为55，教学时间至少要13 分钟，教师 能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？ 解：（1）当 时， ， 故其递增，最大值为 ；…………………………………………2 分 当 时， 递减， ，………………………………4 分 因此开讲后10 分钟达到最强的接受状态，并维持6 分钟. ……………5 分 （2）当 时，令 ，得 ；………………………………7 分 当 时，令 ，得 .………………………………9 分 因此学生达到55 的接受能力的时间为 ，教师不能在学生达 到最佳接受状态的情况下讲完这道难题. ………………………………10 分 19.已知 ，命题 ： ， ，命题 ： ， . （1）若 为假命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 ， 有且只有一个是真命题，求实数 的取值范围. 解：（1）由 ， ，对不等式分类讨论： ①当 时，即 ，这与 矛盾；…………………………2 分 ②当 时，由 对 恒成立以及二次函数性质可知， ，…………………………………………4 分 又因为 为假命题，所以 ， 故实数 的取值范围为 .……………………………………5 分 （2）若 ， ，即 ， ， 故只须 即可，………………………………………7 分 ①若 真 假，结合（1）中结论可知， ，解得 ；……9 分 ②若 假 真，结合（1）中结论可知， ，解得 .……11 分 综上所述，实数 的取值范围为 .…………………12 分 20.如图所示，将一个矩形花坛 扩建成一个更大的矩形花坛 ，要求 在射线 上， 在射线 上，且对角线 过 点.已知 米， 米，设 的长为 米，且要求 的长不少于米. （1）设矩形花坛 的面积为 ，试求函数 的解析式及其定义域； （2）求当 的长度分别是多少时，矩形花坛 的 面积最小，并求出此最小值. 解：（1）设 的长为 米（ ），因为 是矩形，所以 ， 所以 ， ，……………………3 分 由 得 .…………………………………………5 分 所以 ， .……………………………………6 分 （2）令 ，则 ，所以 ，……9 分 当且仅当 ，即 时，等号成立， 此时 米，最小面积为 平方米.……………………12 分 21. 已知 是定义在 上的奇函数，当 ，且 时， . （1）判断函数 的单调性，并给予证明； （2）若 ， 对 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 解：（1）证明：对任意的 ，由已知 ， 因为 ，所以 ，…………………………2 分 又 是奇函数，所以 ，…………………………4 分 即 ，所以 是增函数. ……………………………5 分 （2）因为 是增函数， 对 ， 恒成立， 等价于 对 恒成立， 等价于 对 恒成立， 等价于 对 恒成立，……………………………8 分 设 ，……………………………………………………9 分 只须 ………………………………………11 分 等价于 ，或 ，或 . 所以 的取值范围是 .………………………12 分