安徽师范大学附属中学2022-2023学年高一上学期10月选科诊断测试数学试题

安徽师范大学附属中学高一年级选科诊断综合测试 数学试卷 2022.10 一、单选题（本题包括8 小题，每小题只有一个选项符合题意。每小题3 分，共24 分） 1．已知集合 ，则M 中元素的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ， ，则 D．若 ，则 3．设函数 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．命题p：“ ”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A．−4<a≤0 B． C． D． 5．下列说法中正确的是（ ） A．函数的定义域和值域一定是无限集 B．函数值域中的每一个数，在定义域中都有唯一的数与之对应 C．函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 6．关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ） A．（1,2） B． C． D． 7．函数 的值域是 A． ， B． C． ， D． 8．对于非空数集 ，定义 表示该集合中所有元素的和．给定集合 ，定义集合 ，则集合 中元素的个数是（ ） A．集合 中有1 个元素 B．集合 中有 个元素 C．集合 中有11 个元素 D．集合 中有15 个元素 二、多选题（本题包括4 小题，每小题有多个选项符合题意。每小题4 分，共16 分） 9．以下各组函数中，表示同一函数的有（ ） A． ， B． ， C． ， D． 与 10．下列结论错误的是（ ） A．若函数 对应的方程没有根，则不等式 的解集为R； B．不等式 在R 上恒成立的条件是 且 ； C．若关于x 的不等式 的解集为R，则 ； D．不等式 的解为 . 11．已知 ， 是正实数，则下列选项正确的是（ ） A．若 ，则1 x + 2 y 有最小值3 B．若 ，则 有最大值5 C．若 ，则 有最大值 D． 有最小值2 12．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数 ，该函数 被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题： A． ； B．对任意 ，恒有 成立； C．任取一个不为零的有理数 对任意实数 均成立； D．存在三个点 ，使得 为等边三角形； 其中真命题的序号为（ ） 三、填空题（本题包括4 小题，每小题4 分，共16 分） 13．集合 ， ， ．那么集合A，B，C 之间的关系是_________． 14．若 且 ，则 的最大值是____________． 15．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为____________． 16．已知关于x 的一元二次不等式x2-6x+a≤0 的解集中有且仅有3个整数，则a 的取值范围是 . 四、解答题（本题包括5 小题，共42 分） 17．（8 分） 设函数f (x)=√2+x+ 1 √4−x 的定义域为集合 ，集合 . (1)求函数f ( x)的定义域 ； (2)若 ： ， ： ，且 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围. 18．（8 分） （1）已知 ，求 . (2)已知 是一次函数，且满足 ，求 . 19．（8 分） 若集合 ， . （1）若 ，写出 的子集个数； （2）若 ，求实数 的取值范围. 20．（8 分） 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2022 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量 (即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t≥0)万元满足 (k 为常数)．如果不搞促销活动， 则该产品的年销量只能是1 万件．已知2022 年生产该产品的固定投入为6 万元，每生产1 万件该产 品需要再投入12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5 倍(产品成本包括固 定投入和再投入两部分)． (1)求常数 的值 (2)将该厂家2022 年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数(利润=总销售额-产品成本- 年促销费用)； (3)该厂家2022 年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 21．（10 分）已知函数 (1)解关于x 的不等式 ； (2)若对任意的 ， 恒成立，求实数a 的取值范围 (3)已知 ，当 时，若对任意的 ，总存在 ，使 成 立，求实数m 的取值范围． 参考答案： 1．A 2．C 3．C 4．C5．D 6．D 7．A 8．B 9．CD 10．AD 11．CD 12．BCD 13．B⊂ ¿ A⊂ ¿ C 14．7 15． 16．（5,8] 17．（1）要使得函数 有意义，只需要 解得 ，所以集合 .....................3 分 （2）因为 是的必要不充分条件，所以B⊂ ¿ A ， .....................4 分 当 时， ，解得 (舍去) .....................5 分 当 时， 解得 ， .....................7 分 综上可知，实数 的取值范围是 .....................8 分 18．(1)令 ，则 ， ；所以 .....................4 分 (2)设 ，依题意 ， 即 ， ， ，故 ，所以 . .....................8 分 19．（1） ， 若 ，则 ，此时 ， .....................2 分 有3 个元素，故子集个数为2 3个，即8 个。 .....................3 分 （2）若 ，则 ， .....................4 分 ①若 中没有元素即 ，则 ，此时 ； .....................5 分 ②若 中只有一个元素，则 ，此时 。 若 ，则 ，此时 。 若 ，则 ，此时 不是 的子集，故舍去。 ③若 中有两个元素，则 ，此时 或 . 因为 中也有两个元素，且 ，则必有 ， 由韦达定理得 ，矛盾，故舍去. 综上所述，当 时， . 所以实数 的取值范围： . .....................8 分 20．（1）由题意有 ，得 .....................2 分 （2）由于 ，故 ∴y=(12 x+6)×1 2−t=6 x+3−t .....................5 分 （3）由（2）知： .....................7 分 当且仅当 即 时， 有最大值. .....................8 分 答: 2022 年的年促销费用投入2.5 万元时，该厂家利润最大. 21．(1)因为函数 ， 所以 ，即为 ，所以 ， 当 时，解得 ，当 时，解得 ，当 时，解得 ， 综上，当 时，不等式的解集为 ，当 时，不等式的解集为 .....................3 分 (2)因为对任意的 恒成立，所以对任意的 ， 恒成立， 当 时， 恒成立，所以对任意的 时， 恒成立， 令 ，当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，所以实数a 的取值范围是 .....................6 分 (3)当 时， ，因为 ，所以函数 的值域是 ， 因为对任意的 ，总存在 ，使 成立， 所以 的值域是 的值域的子集， 当 时， ，则 ，解得 当 时， ，则 ，解得 ， 当 时， ，不成立； 综上，实数m 的取值范围 . .....................10 分