辽宁师大附中2021-2022学年下学期5月份模块考试试题答案(1)

辽宁师大附中2021-2022 学年下学期5 月份模块考试 高二年级数学试题答案 一、单选题：BACB CDDB 二、多选题：ABC BD ABD C D 三、填空题：13. 3 1 14. 15. 32 3 3 16. (0,) 四、解答题： 17、解：（1）由题意知： { 2 3} P x x     ，P Q P   ， Q P   . ①当Q 时，得2 3 a a  ，解得 3 a ． ②当Q 时，得2 2 3 3 a a     ，解得1 0 a    ．…………4 分 综上， ( 1,0) (3, ) a  ． （2）①当Q 时，得2 3 a a  ，解得 3 a ；…………6 分 ②当Q 时，得 2 3, 3 2 2 3 a a a a      或 ，解得 3 5 3 2 a a   或 ． 综上， 3 ( , 5] [ , ) 2 a   ．…………8 分 （3）由 { 0 3} P Q x x    ，则 0 a ．…………10 分 18、解：（1）由统计数据得2 2 列联表： 甲班 乙班 总计 成绩优良 8 17 25 成绩不优良 12 3 15 总计 20 20 40 …………………………… …2 分 根据2 2 列联表中的数据，得 2 K 的观测值为   2 2 40 8 3 12 17 8.64 6.635 20 20 25 15 K         所以能在犯错概率不超过0.01 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” ……………………6 分 （2）由表可知在8 人中成绩不优良的人数为15 40 8 3  ，成绩优良人 数为5，则X 的可能取值为0，1，2,3.且X 服从超几何分布 …………8 分 P ( X=0)=C3 0C5 3 C8 3 =10 56 = 5 28 ；P ( X=1)=C3 1C5 2 C8 3 =30 56=15 28 ； P ( X=2)=C3 2C5 1 C8 3 =15 56 ；P ( X=3)=C3 3C5 0 C8 3 = 1 56 . …………10 分 所以X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 5 28 15 28 15 56 1 56 所 以 E ( X )=0× 5 28 +1× 15 28 +2× 15 56 +3× 1 56=9 8 ; 或 E ( X )=n∙M N =3×3 8 =9 8 ……………………………… 12 分 19、解：(1)由题意，零m＝2,n=1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6 再令m ＝3,n ＝1 ，可得a5 ＝2a3 －a1 ＋8 ＝ 20………………………………2 分 (2)当n∈N *时，由已知(以n＋2 代替m)可得 a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8，于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝ 8 即 bn＋1－bn＝8 所以{bn}是公差为8 的等差数列…………5 分 (3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8 的等差数列 则bn＝8n－2，即a2n+1－a2n－1＝8n－2 ………………………7 分 另由已知(令m＝1)可得an＝a2n−1+a1 2 −(n−1) 2.那么an＋1－an＝ 2 1 2 1 2 n n a a    －2n＋1＝ 8 2 2 n  －2n＋1＝2n,于是cn＝2nqn－1. 当q＝1 时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1) ………………9 分 当q≠1 时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1. 两边同乘以q，可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn. 上述两式相减得(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqn＝2· 1 1 n q q   － 2nqn ＝ 2· 1 1 ( 1) 1 n n n q nq q      ， 所 以 Sn ＝ 2· 1 2 ( 1) 1 ( 1) n n nq n q q     综上所述，Sn＝ 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 ( 1) ( 1) n n n n q nq n q q q               ………………………… 12 分 20、解： (1)设月利率为r，每月还款数为a 元，总贷款数为A 元，还款 期限为n 月 第1 月末欠款数 A(1＋r)－a 第2 月末欠款数 [A(1＋r)－a](1＋r)－a＝ A(1＋r)2－a (1＋r)－ a 第3 月末欠款数 [A(1＋r)2－a (1＋r)－a](1＋r)－a ＝A(1＋r)3－a (1＋r)2－a(1＋r)－a …… 第n 月末欠款数 A(1+r)n−a(1+r)n−1−a(1+r)n−2−⋯−a(1+r)−a=0 …………4 分 得： a=A(1+r)n× r (1+r)n−1 ………………………………6 分 对于12 年期的10 万元贷款，n＝144，r＝4.455‰ a=10 5×1.004455 144× 0.004455 1.004455 144−1 =1.9×0.004455 0.9 =940.5 （元） 由此可知，汪先生家前12 年每月还款940.5 元 ………………………8 分 (2) 月利率为r，A0=10 5,每月还款数m 为元，则m= 10 5 144 ,第n 期 还款额为an 则an= A0 m +[ A0- A0 m \(n-1\)]×r，所以最后一期还款额为： A144 = 10 5 144 +（10 5−10 5 144 ×143）×r 由此可知，汪先生家最后一次还款10 5 144 +（10 5−10 5 144 ×143）×r元 … 12 分 21、解：⑴ ，当 ， ， 单调递减， 当 ， ， 单调递增． ① ，t 无解； …………2 分 ② ，即 时， ； ③ ，即 时， 在 上单调递增， ；所以 ………4 分 ⑵ ，则 ， 设 ，则 ， ，………6 分 ， 单调递增， ， ， 单调递减，所以 ，因为对一切 ， 恒成立，所以 ； …………8 分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ⑶ 问题等价于证明 ，由⑴可知 的最小值是 ，当且仅当 时取到，设 ，则 ，易得 ， 当且仅当 时取到，从而对一切 ，都有 成立． ……12 分 22、解：（1） xn=−5 2 +(n−1)×(−1)=−n−3 2 ………2 分 （2）∵cn的对称轴垂直于x 轴，且顶点为Pn.∴设cn 的方程为： y=a( x+ 2n+3 2 )2−12n+5 4 , 把Dn(0,n2+1)代入上式，得a=1，∴cn的方程为： y=x2+(2n+3)x+n2+1。 ……4 分 kn= y'|x=0=2n+3 ， ∴ 1 kn−1kn = 1 (2n+1)(2n+3)=1 2 ( 1 2n+1− 1 2n+3 ) ………6 分 ∴ 1 k1k2 + 1 k2k3 +⋯+ 1 kn−1kn =1 2 [( 1 5−1 7 )+( 1 7−1 9 )+⋯+( 1 2n+1− 1 2n+3 )] = 1 2 ( 1 5− 1 2n+3 )= 1 10 − 1 4 n+6 ………8 分 （3）S={x|x=−(2n+3),n∈N ,n≥1}， T={y|y=−(12n+5),n∈N ,n≥1} ={y|y=−2(6n+1)−3,n∈N ,n≥1} T 中最大数a1=−17 . ………10 分 设{an}公差为d ，则a10=−17+9d∈(−265,−125)，由此得 −248 9 <d<−12, 又∵an∈T ∴d=−12m(m∈N ¿), ∴d=−24 ,∴an=7−24n(n∈N ¿). ………………12 分