广东省深圳实验学校2021-2022学年高一上学期第二阶段考试 数学

深圳实验学校高中部2021-2022 学年度第一学期第二阶段考 试 高一数学 时间：120 分钟 满分：150 分 一､选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1．“ ”是“函数 为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数 有唯一的零点，则实数a 的值为（ ） A．1 B．－1 C．0 D．－2 4．函数 对任意 都有 成立，且函数 的图象关于原点 对称， ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．同一个直角坐标系下，函数 ， ， 且 ）图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．函数 的图像恒过定点P，若 ，则 的最小值是（ ） A．4 B．3 C．9 D．16 7.若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知 满足 ，则 的值为（ ） A．20 B．1000 C．100 D． 二､选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9．下列说法正确的是（ ） A．终边在y 轴上的角的集合为 B． ，则 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若 是第二象限角，则 是第一或第三象限角 10．函数 的值域为 ，则实数 可能的取值有（ ） A．5 B．1 C． D．3 11．由 与 的图像判断下列结论，其中正确的有（ ） A． B． C． D． 12．已知函数 ， ，则下列四个结论中正确的是（ ）． A． 的图象可由 的图象平移得到 B．函数 的图象关于直线 对称 C．函数 的图象关于点 对称 D．不等式 的解集是 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13．已知实数 ，且满足 则不等式 的解集为 ______. 14．已知 ，则 ___________. 15．已知函数 对任意两个不相等的实数 ， ，都满足 不等式 ，则实数 的取值范围是________. 16．已知定义在 上的单调函数 ，若对任意 都有 ，则 ______． 四､解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17．已知 ，且 （1）求 的值；（2）求 的值. 18．已知集合 ，集合 ． （1）当 时，求 ； （2）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围． 19．已知函数 ． （1）判断函数 在 上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）当 时，不等式 恒成立，求实数k 的取值范围． 20． 已知函数 的定义域为 ，若满足：① 在 内是单调函数；②存在区间 ，使 在 上的值域为 ，那么就称函数 为“成功函数”． （1）判断函数 是否为“成功函数”; （2）函数 （ ，且 ）是“成功函数”，求实数的取值范围. 21．“金山银山，不如绿水青山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某 种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度 （单位：米） 与生长年限 （单位：年）满足关系 ,树木栽种时的高度为 米；1 年后，树木的高度达到 米. （1）求 的解析式； （2）问从种植起，第几年树木生长最快？ 22．已知函数 ， . （1）若 是方程 的根，证明 是方程 的根； （2）设方程 ， 的根分别是 ， ，求证： . 深圳实验学校高中部2021-2022 学年度第一学期第二阶段考 试 高一数学答案 一、选择题 1. A 2.B 3. D 4. D 5. B 6. C 7. C 8. B 8【详解】因为 ， ， 所以 ， ， 即 ， ， 所以 . 二、多选题 9. BD 10. AC 11.ABD 12. ABC 三、填空题 13. 14. 15. 16. 四、解答题 17．（满分10 分） 已知 ，且 （1）求 的值； （2）求 的值. 【答案】（1）3（2）7 解：（1）由 ， ------2 分 --------------------------5 分 （2） --------------------------7 分 --------------------------10 分 18．（满分12 分） 已知集合 ，集合 ． （1）当 时，求 ； （2）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 解（1）当 时， ， --------------------------1 分 由 得： --------------------------3 分 所以 ， --------------------------5 分 （2）由已知有 . ①若 时，则 ，解得 ； --------------------------7 分 ②若 ，则由 ，得 解得 ，--------------------------10 分 综上： 的取值范围为 --------------------------12 分 19．（满分12 分） 已知函数 ． （1）判断函数 在 上的单调性，并用单调性的定义证明； （2）当 时，不等式 恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）函数 是 上的增函数，证明见详解；（2） 解：（1）任取 ，且 ， --------------------------2 分 ， --------------------------4 分 ，且 ， --------------------------5 分 即 ，∴函数 是 上的增函数. --------------------------6 分 （2） ---------------------7 分 原问题等价于 令 ---------------------11 分 . --------------------------12 分 20． （满分12 分） 已知函数 的定义域为 ，若满足：① 在 内是单调函数；②存在区间 ，使 在 上的值域为 ，那么就称函数 为“成功函数”． （1）判断函数 是否为“成功函数”; （2）若函数 （ ，且 ）是“成功函数”，求实数的取值范 围. 【详解】（1） 不是单调函数， 函数 不是“成功函数” --------------------------4 分 （2）由题意，函数 （ ，且 ）是“成功函数”， 可得函数 在其定义域内为增函数， --------------------------6 分 且 在 上的值域为 ， 则 ，即 ， --------------------------7 分 所以方程 必有两个不相等的实数根． 又由 ，即 ， --------------------------10 分 令 ，所以关于 的方程 有两个不相等的正实数根，可得 ，解得 ． --------------------------12 分 21．（满分12 分） “金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家 园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为： 树木的高度 （单位：米）与生长年限 （单位：年）满足关系 ， 树木栽种时的高度为 米；1 年后，树木的高度达到 米. （1）求 的解析式； （2）问从种植起，第几年树木生长最快？ 【答案】（1） ；（2）第3 年与第4 年. 【详解】（1）由已知得 ，即 ，所以 ，解得 ， ， 所以， . --------------------------5 分 （2）令 ， . 问题化为，当 时，求函数 的最大值. 而 . --------------------------8 分 当且仅当 ，即 ，上式取等号，但 ， ，--------------------------10 分 答：种植之日起，第3 年与第4 年树木生长最快. --------------------------12 分 22．（满分12 分） 已知函数 ， . （1）若 是方程 的根，证明 是方程 的根； （2）设方程 ， 的根分别是 ， ，求证： . 【答案】（1）证明见解析（2） 【详解】：（1）证明：因为 是方程 的根， 所以 ，即 --------------------------1 分 --------------------------2 分 所以， 是方程 的根. --------------------------4 分 （2）法一：由题意知，方程 ， 的根分别是 ， ， 即方程 ， 的根分别为 ， ， 令 设方程 ， 的根分别为 ， ，----------------6 分 由（1）知是方程 的根，则 是方程 的根. 令 ，则 是 的零点， 又因为 是 上的增函数， 所以， 是 的唯一零点，即 是方程 的唯一根. 所以 ， ---------------8 分 所以 ，即 ， 所以 ，- --------------10 分