2021-2022学年河南省顶尖名校高二上学期上月第三次素养调研试题数学（文）(1)试卷

河南省顶尖名校2021-2022 学年高二上学期第三次素养调研 文科数学试卷 考生注意： 1.本试卷满分150 分，考试时间120 分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的 答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.在等差数列{an}中，a3＝0，a7－2a4＝4，则a5等于 A.1 B.2 C.3 D.4 2.在△ABC 中，若A＝60°，B＝45°，AC＝4，则BC＝ A.2 6 B.2 2 C. 4 6 3 D.4 2 3.已知a>b>c，且a＋b＋c＝2 ，下列不等式中恒成立的是 A.ab>ac B.ab>bc C.ac>ab D.a|b|>c|b| 4.如图，在直角梯形ABCD 中，AB//CD，∠ABC＝90°，AB＝2，CD＝5，BC＝6，则∠CAD＝ A.30° B.45° C.60° D.75° 5.若数列{an}是等比数列，a1＝1，a4＝8，则a5＋a6＝ A.16 B.32 C.48 D.64＋128 2 6.在△ABC 中，sinA sinB sinC 4 5 m   ，则下列说法正确的是 A.当m＝1 时，△ABC 为锐角三角形 B.当m＝6 时，△ABC 为钝角三角形 C.当m＝5 时，△ABC 为等腰三角形 D.仅当m＝3 时，△ABC 为直角三角形 7.已知数列{an}为等差数列，它的前n 项和为Sn，若Sn＝（n－4） 2＋λ，则使Sn>0 成立的 正整数n 的最小值是 A.8 B.9 C.5 D.4 8.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处， “商”字城雕有着厚重 悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、 走进商丘的欲望。 吴斌同学在今年国庆期 间到商丘去旅游， 经过 “商” 字城雕时， 他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度 （即 图中线段AB 的长度） 。 他在该雕塑塔的正东C 处沿着南偏西60°的方向前进7 2 米后达到 D 处（A，C，D 三点在同一个水平面内） ，测得图中线段AB 在东北方向，且测得点B 的仰角 为71.565°，则该雕塑的高度大约是（参考数据：tan71.565°≈3） A.19 米 B.20 米 C.21 米 D.22 米 9.已知函数f（x）＝x 3＋2x，若正实数m，n 满足f（m－mn）＋f（n）＝0，则m＋n 的最小 值为 A.8 B.4 C.2 D. 8 9 10.已知数列{an}的前n 项和Sn＝n 2，则数列{ n n 1 1 a a  }的前99 项和为 A. 11 68 B. 11 34 C.198 199 D. 99 199 11.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ n n a n a 1 n     ，为奇数 ，为偶数 ，则a2021＝ A.4039 B.2021 C.1011 D.1010 12.我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术” ，即以小斜幂， 并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一 为从隅，开平方得积。把以上文字写成公式，即S＝ 2 2 2 2 2 2 1 a b c c a 4 2                  （其中S 为三角形的面积，a，b，c 为三角形的三边） 。在斜△ABC 中，a，b，c 为内角A，B，C 所对 应的三边，若a＝c（cosB＋ 3 cosC） ，且asinC＝ 3 sinB，则△ABC 的面积最大时，B＝ A. 5 6  B. 2 3  C. 3  D. 6  二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.直线 2 1 y x  过椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的一个顶点和焦点，则椭圆的离心率为 ____________. 14.在直三棱柱 1 1 1 ABC A BC  中， 1 AC BC  ， 2 AB  ， 1 2 AA  ， 则点C 到平面 1 ABC 的距离为____________. 15.若圆      2 2 2 2 4 0 x y r r      上， 有且仅有一个点到  1,0  的距离为1， 则实数r 的值为____________. 16.已知双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F ，A 是C 的左顶 点，点P 在过点 1 F 且斜率为 3 4 的直线上， 2 PF A △ 为等腰三角形， 2 1 120 PF F   ，则 双曲线的离心率为____________. 三、解答题(本大题共6 小题，共70 分) 17.（10 分）已知椭圆C 的一个焦点F2（1，0） ，且短轴长为 3 2 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）若点P 在C 上，且∠PF1F2＝90°，求△PF1F2的面积． 18．(12 分）如图，在棱长为1的正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D  中，点M 是BC 的中点. （1）求证： 1 / / BD 平面 1 C DM ； （2）求直线 1 BD 到平面 1 C DM 的距离； 19. (12 分) 己知过点(1, 2) 的抛物线方程为 2 2 ( 0) y px p   ， 过此抛物线的焦点的直线与抛 物线交于A ，B 两点，且| | 5 AB  . （1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； （2）求AB 所在的直线方程. 20. (12 分) 已知动圆过定点(4,0) ， 且在y 轴上截得的弦长为8 ， 动圆圆心的轨迹方程为C ， 过点( 2,0)  的直线与轨迹C 只有一个公共点，求此直线方程. 21. (12 分) 已知抛物线y 2＝x 与直线y＝k（x﹣1）相交于A、B 两点，O 为坐标原点． （1）求证：OA⊥OB； （2）当 10  AOB S 时，求k 的值． 22．(12 分) 已知点A(－1,0)，点P 是⊙B：(x－1) 2＋y 2＝16 上的动点．线段AP 的垂直平 分线与BP 交于点Q． （1）设点Q 的轨迹为曲线C，求C 的方程； （2）过x 轴上一动点R 作两条关于x 轴对称的直线1 l 与2 l ，设M，N 分别是1 l ，2 l 与曲线C 的交点且M，N 不关于x 轴对称，MN 与x 轴交于点S，OS OR 是否为定值？若是定值，请 求出定值，若不是定值，请说明理由． 文科数学答案 13. 5 5 14. 2 3 15.4 或6 16.3 17.（1） 1 3 4 2 2  y x ； （2）2 3 ． 18. 19．解： （1） x y 4 2  ,焦点 ） ， （0 1 ，准线 1   x （2） 0 2 2 0 2 2       y x y x 或 20.解：如图设圆心 ( , ) C x y ， (4,0) A ，圆C 与y 轴交于M 、N 两点，过点C 作CE y  轴， 垂足为E ，则 1 | | | | 2 ME MN  ， 2 2 2 2 | | | | | | | | CA CM ME EC     ， 2 2 2 2 ( 4) 4 x y x      ，化为 2 8 y x  ； 即动圆圆心的轨迹C 的方程为 2 8 y x  ， 显然 0 y  过点( 2,0)  且与抛物线 2 8 y x  只有一个交点，满足条件； 设过点( 2,0)  的直线方程为 2 x my   ，联立方程得 2 2 8 x my y x       ，消去x 得 2 8 16 0 y my    ， 所以   2 8 4 16 0 m    ， 解得 1 m ， 所以直线方程为 2 x y   或 2 x y   ， 即 2 0 x y    或 2 0 x y    ， 综上可得直线方程为： 0 y  或 2 0 x y    或 2 0 x y    ； 21. （1） （2） 2 1   k 22． （1） ∵MQ 为AP 垂直平分线， AQ PQ   ，又点P 是⊙B：(x－1)2＋y2＝16 上的动点． ∴ 4 BQ QP   ， 4 2 QA QB AB      ，则点Q 的轨迹为以A、B 为焦点的椭圆， 设椭圆方程 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b     ，∴ 2 2 2 4, 1 a a b  ＝ ＝∴ 2 2, 3 a b   ， ∴曲线C 的方程为 2 2 1 4 3 x y  . （2） 设R(m,0)，设直线1 l 的方程为 ( ) y k x m   ，设   1 1 2 2 1 2 ( , ), , ,( ) M x y N x y x x  ，则 2 1 2 1 MN y y k x x    ， ∴MN： 2 1 1 1 2 1 ( ) y y y y x x x x      ，令y＝0 得 1 2 1 2 2 1 S x y y x x y y    ， 又N 关于x 轴对称点 2 2 ( , ) x y  在1 l 上， 2 2 ( ) y k x m    ， 1 1 ( ) y k x m   ， 由 2 2 ( ) 1 4 3 y k x m x y          得 2 2 2 2 2 (3 4 ) 8 4 12 0 k x k mx k m      2 1 2 2 8 3 4 k m x x k     ， 2 1 2 2 4 12 3 4 k m x x k    ， ∴ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 24 2 ( ) 4 3 4 6 ( 2 ) 3 4 S k x y y x kx x km x x k x km y y k x x m m k                ， 又 R x m   ， 4 S OS x m    ， R OR x m   , 4 4 OS OR m m      即OS OR  为定值