四川省成都市第七中学2021-2022学年高二下学期6月月考试题 数学（理）

2021～2022 学年度下期高2023 届考试 数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把 答案涂在答题卷上．） 1. 设复数 （i 为虚数单位），则在复平面内 对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 2. 设集合 ， ，则 （） A. B. C. D. 【答案】D 3. 已知8 位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是（） A. 众数为7 B. 平均数为65 C. 中位数为64 D. 极差为17 【答案】B 4. 已知点A 的坐标 满足线性约束条件 ， ， ，则 的最大值为（） A. 10 B. 9 C. 8 D. 6 【答案】A 5. 在△ABC 中，角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且 ，若 ，则△ABC 的形状是（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 6. 已知函数 ，则 （） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】D 7. 已知公比为q 的等比数列 中， ，平面向量 ， ，则下列 与 共线的是（） A. B. C. D. 【答案】D 8. 《算法统宗》是由明代数学家程大位所著的一部以用数学著作，该书清初传入朝鲜、东南亚和欧洲，成 为东方古代数学的名著．书中卷八有这样一个问题：“今有物一面平堆，底脚阔七个，上阔三个，问共若 干？”如图所示的程序框图给出了解决该题的一个算法，执行该程序框图，输出的S 即为总个数，则总个 数 （） A. 18 B. 25 C. 33 D. 42 【答案】B 9. “蹴鞠” （如图），又名“蹴球”，是古人以脚蹴、蹋、踢球的活动．已知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、 B、C，满足 为正三棱，M 是 的中点，且 ，侧棱 ，则该蹴鞠的表面积为 （） A. B. C. D. 【答案】B 10. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”： 设 ，用 表示不超过x 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，例如： .已知 ，当 时，x 的取值集合为A，则下列选项为 的充 分不必要条件的是（） A. B. C. D. 【答案】B 11. 已知双曲线 的左、右焦点分别是 ，过点 且垂直于 轴的直线与双曲 线交于 两点，现将平面 沿 所在直线折起，点 到达点 处，使二面角 的平 面角的大小为 ，且三棱锥 的体积为 ，则双曲线的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】A 12. 若不等式 对任意 恒成立，则实数m 的取值范围是（）． A. B. C. D. 以上均不正确 【答案】C 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分，把答案填在答题卷的横线上．） 13. 某市2017 年至2021 年新能源汽车年销量 （单位：百台）与年份代号 的数据如下表. 年份 2017 2018 2019 2020 2021 年份代号 1 2 3 4 5 年销量 10 15 20 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得 关于 的回归直线方程为 ，则表中 的值为_______ ____. 【答案】30 14. 设点 是曲线 上的任意一点，则 到直线 的最小距离是__________． 【答案】 15. 已知函数 ，则不等式 的解集为______． 【答案】 16. 过点 的直线l 分别与圆 及抛物线 依次交于E，F，G，H 四点，则 的最小值为______． 【答案】13 三、解答题（17-21 每小题12 分，22 题10 分，共70 分．在答题卷上解答，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤．） 17. 已知函数 ， 是 的一个极值点． （1）求实数a 的值； （2）求 在区间 上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值是55，最小值是-15. 18. 我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参 加考试的同学中，选取50 名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1 组 ，第2 组 ，第3 组 ，第4 组 ，第5 组 ，第6 组 ，得到频率分布直方图 （如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （2）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90 分时为优秀等级，若从第 5 组和第6 组两组学生中，随机抽取2 人，求所抽取的2 人中至少1 人成绩优秀的概率． 【答案】（1）66.8 （2） 19. 如图所示，在四棱锥中 ， ， ， ，且 ． （1）求证： 平面ADP； （2）已知点E 是线段BP 上的点且 ， ，若二面角 的大小为 ，求 的值． 【答案】 【小问1 详解】 连接BD，如图所示 由 ， 知 ， ， ， 在 中， ， ， 设AB 的中点为Q，连接DQ，则 ， ， 所以四边形BCDQ 为平行四边形， 又 ， ，所以四边形BCDQ 为正方形， 所以 ， ， 在 中， ， 在 中， ， 所以 ， 又 ， ，AP， 平面ADP． 所以 平面ADP． 【小问2 详解】 由 平面ADP，且 平面ABCD，所以平面 平面ABCD； 以D 为原点，分别以DA，DB 所在直线为x，y 轴，以过点D 与平面ABCD 垂直的直线为z 轴（显然z 轴在面 PAD 内），建立如图所示空间坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， 设 ， ，则 ， 易知平面PAD 的一个法向量为 ， 设平面EAD 的 法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，则 ， 设二面角 的大小为 ，则 所以 ， 因为二面角 的大小为 ， 所以 ，即 ，解得 （舍）或 ． 所以， 时，二面角E－AD－P 的大小为 ． 20. 已知椭圆 ，其离心率为 ，若 ， 分别为C 的左、右焦点，x 轴上方 一点P 在椭圆C 上，且满足 ， ． （1）求C 的方程及点P 的坐标； （2）过点P 的直线l 交C 于另一点Q，点M 与点Q 关于x 轴对称，直线PM 交x 轴于点N，若 的面 积是 的面积的2 倍，求直线l 的方程． 【答案】（1） ，P 点的坐标为 （2） 或 21. 已知函数 ．（其中 ， …为自然对数的底数） （1）当 时，求函数 的单调区间； （2）当 时，若 ， 是的 两极值点且 ， ①求实数a 的取值范围； ②证明： ． 【答案】（1）答案见解析； （2）① ；②证明见解析 【小问1 详解】 当 时， ∵ ，∴当 时， 恒成立， ∴ 单调递增为 ，无单调递减区间； 当 时，令 ，即 ，∴ ， ∴ 在 上单调递增， 上单调递减． 综上，当 时，函数 的单调递增区间是 ，无单调递减区间； 当 时，函数 的单调递增区间是 ， 单调递减区间是 ． 【小问2 详解】 当 时， 有两个极值点 ， ， 所以 在R 上有两个不等实数根 ， ， ①设 ，则 ， 设 ，则 ， ∴ 在 上单调递增，又 ， ∴ 时， ； 时， ∴ 在 上单调递增，在 上单调递减， ∴ ， 要使 在R 上有两个不同的实根，则 ，即 ． ②∵ ，由前面的推导知： ， 且 在 单调递增， 单调递减， 单调递增． 设 ， ∴ ， 设 ， ， ∴ 在 上单调递增，即 ． ∴ 在 单调递增， ∴ ，∴ ， 又 ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴原不等式成立． （选修4-4：坐标系与参数方程） 22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 ．以坐标原点为极点，x 轴的 正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ． （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）已知点 ，直线l 与曲线C 交于A，B 两点，AB 的中点为M，求|PM|的值． 【答案】（1） ， （2）