四川省成都市树德中学2022-2023学年高二下学期4月月考试题+数学（文）+PDF版含答案

高二数学（文科）2023-04 阶考 第1页 共2 页 树德中学高2021 级高二下学期4 月阶段性测试数学（文科）试题 命题人：张世军 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共60 分.每小题只有一项是符合题目要求的 1．若z (1＋i)＝1－i，则z 的虚部为( ). A．1 B．-1 C．－i D．i 2．为迎接2023 年成都大运会，大运会组委会采用按性别分层抽样的方法从某高校报名的200 名学生志 愿者中抽取30 人组成大运会志愿小组。若30 人中共有男生12 人，则这200 名学生志愿者中女生可能有 ( ) A．12 人 B．18 人 C．80 人 D．120 人 3．△ABC 的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC 周长为16，则顶点C 的轨迹方程为( )。 A．x2 25＋y2 16＝1(y≠0) B．y2 25＋x2 16＝1(y≠0) C．x2 16＋y2 9＝1(y≠0) D．y2 16＋x2 9＝1(y≠0) 4．已知M 是曲线y＝ln x＋1 2x2＋ax 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π 4的锐角， 则实数a 的取值范围是( )。 A．[2，＋∞) B．[-1，＋∞) C．(－∞，2] D．(－∞，-1] 5．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )。 A．1，π 2 B．1，－π 2 C．(1，0) D．(1，π) 6．下列有关回归分析的说法中不正确的是( )。 A．回归直线必过点( x ，y ) B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C．当相关系数r>0 时，两个变量正相关 D．如果两个变量的线性相关性越弱，则|r|就越接近于0 7．f′(x)是f(x)的导函数，若f′(x)的图象如右图所示，则f(x)的图象可能是( )。 8．已知F 是椭圆C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C 的下顶点且斜率为3 4的直线与以点F 为圆心、 半焦距为半径的圆相切，则椭圆C 的离心率为( )。 A．5 5 B．1 2 C．3 3 D．2 2 9． 已知a， b∈R， 若x＝a 不是函数f(x)＝(x－a)2(x－b)·(ex－1－1)的极小值点， 则下列选项符合的是( )。 A．1≤b<a B．b<a≤1 C．a<1≤b D．a<b≤1 10．已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     ，过原点的直线交椭圆于AB（A 在第一象限）由A 向x 轴作垂 线，垂足为C ，连接BC 交椭圆于D ，若三角形ABD 为直角三角形，则椭圆的离心率为（） 。 A．1 2 B． 2 2 C． 3 2 D． 3 3 11．已知0 4 a   ，0 2 b   ，0 3 c   ，且 2 1 ln l 4 n 6 a a  ， 2 n ln l 4 2 b b  ， 2 n ln l 9 3 c c  ，则( ) 。 A．c b a   B．c a b   C．a c b   D．b c a   12 ．设  f x 是定义在R 上的奇函数，在  ,0  上有     2023 2023 2023 0 xf x f x    ，且   2023 0 f  ，则不等式   ln 2023 0 x f x   的解集为( ). A．    , 1 0,1   B．    , 1 10    ， C．    1,0 0,1   D．    1,0 1,    第Ⅱ卷（非选择题共90 分） 二、填空题：本大题共4 个小题，每小题5 分，共20 分. 13．如图，若向量OZ →对应的复数为z，则z＋4 z表示的复数为 . 14．已知曲线f(x)＝x3－x＋3 在点P 处的切线与直线x＋2y－1＝0 垂直，则P 点的横坐标为 . 15． 已知椭圆 2 2 2 2 : 1 ( 1) 1 x y C a a a     ， 过右焦点的直线交椭圆于AB ， 若满足OA OB OA OB            ， 则a 的取值范围 16．若函数      2 ln 2 0 1 0 a x x x f x x a x x           的最大值为   1 f  ，则实数a 的取值范围为 . 高二数学（文科）2023-04 阶考 第2页 共2 页 三、解答题：本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f(x)＝1 2x2－2aln x＋(a－2)x. （1）当a＝－1 时，求函数f(x)的单调区间； （2）若函数g(x)＝f(x)－ax 在(0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围． 18．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推 进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学 生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长 的有效措施．t 年初中毕业生升学体育考试规定， 考生必须参加立定跳远、掷实心球、 分钟跳绳三项测 试，三项考试满分 t 分，其中立定跳远 分，掷实心 球 分，分钟跳绳 t 分．某学校在初三上期开始时 要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况， 随机抽取了tt 名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计 分规则如表： 每分钟跳绳个数 ，′ ⸰ ′ ，体⸰ 体， ⸰ ， ⸰ 得分 体 t （1）请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数保留整数⸰； （2）若从跳绳个数在 ，′ ⸰、′ ，体⸰两组中按分层抽样的方法抽取′ 人参加正式测试，并从中 任意选取 人，求两人得分之和大于 分的概率． 19． 已知曲线C1 的方程为(x－1)2＋y2＝1， C2 的方程为x＋y＝3， C3 是一条经过原点且斜率大于0 的直线． （1）以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，求C1 与C2 的极坐标方程； （2）若C1 与C3 的一个公共点为A(异于点O)，C2 与C3 的一个公共点为B，当|OA|＋3 |OB|＝10时，求C3 的直角坐标方程． 20．设函数      2 ln 2 1 1, f x ax x x a x a a R        . （1）当 0 a  时，求函数  f x 的最大值； （2）对任意的   1, x 函数  0 f x  恒成立，求实数a 的取值范围. 21．已知椭圆C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点 2 1, 2         . （1）求椭圆方程； （2）A 为椭圆的上顶点，三角形AEF 是椭圆C 内接三角形，若三角形AEF 是以A 为直角顶点的等腰 直角三角形，求三角形AEF 的面积。 22．已知  2 2 x a f x e x x    . （1）若  f x 在 0 x  处取得极小值，求实数a 的取值范围; （2）若  f x 有两个不同的极值点 1 2 1 2 , ( ) x x x x  ，求证： 1 2 0 2 x x f          （  f x  为  f x 的二阶导 数） 。 高二数学（文科）2023-04 阶考 第3页 共2 页 树德中学高2021 级高二下学期4 月阶段性测试数学（文科）试题答案 1-12：ADABBBCABBDB 13、3＋i 14、1  15、 1 5 1, 2         16、 3 0,2e     17、(1)当a＝－1 时，f(x)＝1 2x2＋2ln x－3x， 则f′(x)＝x＋2 x－3＝x2－3x＋2 x ＝ x－1 x－2 x (x>0)． 当0<x<1 或x>2 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当1<x<2 时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1，2)． 4 分 (2)g(x)＝f(x)－ax 在(0，＋∞)上单调递增， 则g′(x)＝f′(x)－a＝x－2a x －2≥0 在x∈(0，＋∞)上恒成立． 即x2－2x－2a x ≥0 在x∈(0，＋∞)上恒成立．所以x2－2x－2a≥0 在x∈(0，＋∞)上恒成立， 所以a≤1 2(x2－2x)＝1 2(x－1)2－1 2恒成立．令φ(x)＝1 2(x－1)2－1 2，x∈(0，＋∞)， 则其最小值为－1 2，故a≤－1 2.所以实数a 的取值范围是－∞，－1 2 . 10 分 18（1）由频率分布直方图得：中位数 저 体 t㣫 t㣫t′ t㣫 t㣫t 저 体 t㣫 t㣫t ， 平均数 저 ′t t㣫t′ 体t t㣫 t t㣫 t t㣫t tt t㣫 t t㣫t 저 㣫个⸰ 6 分 （2）跳绳个数在 ，′ ⸰内的人数为 tt t㣫t′ 저′ 个， 跳绳个数在 ′ ，体⸰内的人数为tt t㣫 저 个， 按分层抽样的方法抽取′ 人，则 ，′ ⸰内抽取 人， ′ ，体⸰内抽取 人， 基本事件总数为15 种，两人得分之和大于 分包含的基本事件个数14， 则两人得分之和大于 分的概率 저 ． （12 分） 19、(1)曲线C1 的方程为(x－1)2＋y2＝1， 整理得x2＋y2－2x＝0，转换为极坐标方程为ρ＝2cos θ. 曲线C2 的方程为x＋y＝3，转换为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－3＝0. （6 分） (2)因为曲线C3 是一条经过原点且斜率大于0 的直线， 则极坐标方程为θ＝α 0<α<π 2 ，由于C1 与C3 的一个公共点为A(异于点O)， 故 ρ＝2cos θ， θ＝α， 所以|OA|＝2cos α，C2 与C3 的一个公共点为B， 所以 ρcos θ＋ρsin θ＝3， θ＝α， 所以|OB|＝ 3 cos α＋sin α .由于|OA|＋3 |OB|＝10， 所以2cos α＋cos α＋sin α＝10，即3cos α＋sin α＝10， 3 10 cos α＋1 10 sin α＝1，当sin α＝1 10 ，cos α＝3 10 时，tan α＝1 3， 故曲线C3 的直角坐标方程为y＝1 3x. （12 分） 20、 （1）当 0 a  时， ( ) ln 1 f x x x x    由 '( ) ln f x x  ，则  f x 在  0,1 单增，  1,单减，所以  f x 在 1 x  处取最大值  1 0 f  （4 分） （2） '( ) 2 1 ln (2 1) 2 ( 1) ln f x ax x a a x x        易知，ln 1 x x  ，则 '( ) 2 ( 1) ( 1) (2 1)( 1) f x a x x a x        当2 1 0 a  即 1 2 a  时，由 [1, ) x 得 '( ) 0 f x  恒成立， ( ) f x 在[1, ) 上单调递增， ( ) (1) 0 f x f   符合题意。所以 1 2 a  当 0 a  时，由 [1, ) x 得 '( ) 0 f x  恒成立， ( ) f x 在[1, ) 上单调递减， ( ) (1) 0 f x f   显然不成 立， 0 a  舍去。 当 1 0 2 a   时，由ln 1 x x  ，得 1 1 ln 1 x x  即 1 ln 1 x x  则 1 1 '( ) 2 ( 1) (1 ) ( )(2 1) x f x a x ax x x        因为 1 0 2 a   ，所以1 1 2a  。 1 [1, ) 2 x a  时， '( ) 0 f x  恒成立， ( ) f x 在[1, ) 上单调递减， ( ) (1) 0 f x f   显然不成立， 1 0 2 a   舍去。 综上可得： 1 [ , ) 2 a  12 分 21、(1)解 2 2 1 2 x y   4 分 （2）由题可知，直线AE 斜率存在，设直线 : 1 AE y kx  ，联立椭圆方程 2 2 1 2 x y  .得：   2 2 1 2 4 0 k x kx    ， 2 2 4 1 , 1 2 k AE k k    （6 分）同理： 2 2 1 4 1 1 1 1 2 k AF k k                  由题知 AE AF  .得： 2 2 1 1 2 2 k k k    ， （8 分）不妨设 0 k  ，化简方程知：   2 1 1 0 k k k     ， 1 k  ， （10 分）因为 2 AE AF S   ，所以代入得三角形面积为， 16 9 S  12 分 22、 （II）由题意得 '( ) e 1 x f x ax    ， '(0) 0 f  ， （1）当 0 a  时， '( ) f x 在( , ) 上单调递增， 高二数学（文科）2023-04 阶考 第4页 共2 页 所以当 0 x  时， '( ) '(0) 0 f x f   ， 当 0 x  时， '( ) '(0) 0 f x f   ， 所以 ( ) f x 在 0 x  处取得极小值，符合题意. （2）当0 1 a  时，ln 0 a  ，由（Ⅰ）知 '( ) f x 在(ln , ) a 单调递增， 所以当 (ln ,0) x a  时， '( ) '(0) 0 f x f   ，当 (0, ) x 时， '( ) '(0) 0 f x f   ， 所以 ( ) f x 在 0 x  处取得极小值，符合题意. （3）当 1 a  时，由（Ⅰ）知  f x  在区间  ,lna  单调递减，  f x  在区间  ln , a 单调递增， 所以  f x  在 ln x a  处取得最小值，即     ln 0 0 f x f a f       ， 所以函数  f x 在R 上单调递增， 所以  f x 在 0 x  处无极值，不符合题意. （4）当 1 a  时，ln 0 a  ，由（Ⅰ）知  f x  的减区间为  ,lna  ， 所以当   ,0 x 时，   0 0 f x f     ，当   0,ln x a  时，   0 0 f x f     ， 所以  f x 在 0 x  处取得极大值，不符合题意， 综上可知，实数a 的取值范围为  ,1  . 6 分 （2） 1 2 , x x 为  1 x f x e ax    的零点，则 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 , 1 0 x x x x e ax e e a x x e ax              x f x e a    ，   2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e x x e e e f e a e e e e x x x x x x                                             令 2 1 2 x x t   ，构造函数  2 2 1 ( 0) t t g t te e t     2 2 2 2 2 (1 ) 0 t t t t t g t e te e e t e        ， g t 在  0,，  0 g t g  ，故原不等式得证。 12 分 （若学生观察出其中一个零点为0，也给分）