120 裁剪与拼接

裁剪与拼接 【典例分析】 例1、将一个四边形截去一个角后，它不可能是( ) 六边形 B 五边形 四边形 D 三角形 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了多边形，能够得出一个四边形截去一个角后得到的图形有三种情形，是解决本 题的关键．根据一个四边形截去一个角后得到的多边形的边数即可得出结果． 【解答】 解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边 形，但不可能是六边形． 故选：． 例2、如图所示，三种不同类型地砖，若现在类4 块，B 类4 块，类2 块，要拼成一个正 方形，则应多余出1 块_________型地砖；这样地砖拼法表示了两数和的平方几何意义，这 个两数和的平方是___________． 【答】；(2m+n) 2=4 m 2+4 mn+n 2 【解析】 【分析】 本题考查了完全平方公式的几何意义，立意较新颖，注意面积的不同求解是解题的关键， 对此类问题的要深入理解． 分别计算出4 块的面积和4 块B 的面积、2 块的面积，再计算这三种类型的砖的总面积，用 完全平方公式化简后，即可得出多了哪种类型的地砖． 【解答】 解：4 块的面积为：4×m×m=4 m 2； 4 块B 的面积为：4×m×n=4 mn； 2 块的面积为2×n×n=2n 2； 那么这三种类型的砖的总面积应该是： 4 m 2+4 mn+2n 2=4 m 2+4 mn+n 2+n 2=(2m+n) 2+n 2， 因此，多出了一块型地砖，拼成的正方形，如图， 拼成的正方形的面积为(2m+n) 2=4 m 2+4 mn+n 2． 故答为；(2m+n) 2=4 m 2+4 mn+n 2． 例3、如图，某数学兴趣小组用四块长方形纸板和一块小正方形纸板恰好拼成一个大正 方形纸板，其中一块长方形纸板的长为8m、宽为2m，另一块长方形纸板的长为10m、宽 为4m，求大正方形纸板的面积． 【答】解：如图，设小正方纸板的边长为xm， 所以2+x+4=10+8−x， 解方程，得x=6， 所以大正方形纸板边长¿10+8−6=12(cm)， 所以大正方形纸板的面积为12 2=144(c m 2). 【解析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，利用等量关系列出方程是解决问题的 关键.设小正方形的边长为x，依据小正方形的边长的表达式，可得方程2+x+4=10+8−x， 进而得出大正方形的边长及面积． 【好题演练】 一、选择题 1. 如图，将边长为的正方形剪去两个小长方形得到S 图，再将这两个小长方形拼成一个 新的长方形，求新的长方形的周长() 2a−3b B 4 a−8b 2a−4 b D 4 a−16b 【答】B 【解析】 【分析】 此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据图形列出算式，计算即可得到结果． 【解答】 解：根据题意得：2[a−b+2× 1 2 (a−3b)]=4 a−8b， 故选B． 2. 如图1，分别沿长方形纸片BD 和正方形纸片EFG 的对角线，EG 剪开，拼成如图2 所 示的▱KLMN，若中间空白部分四边形PQR 恰好是正方形，且▱KLMN的面积为 50，则正方形EFG 的面积为() 24 B 25 26 D 27 【答】B 【解析】解：如图，设PM=PL=NR=KR=a，正方形RQP 的边长为b． 由题意：a 2+b 2+(a+b)(a−b)=50， ∴a 2=25， ∴正方形EFG 的面积¿a 2=25， 故选：B． 如图，设PM=PL=NR=KR=a，正方形RQP 的边长为b，构建方程即可解决问题； 本题考查图形的拼剪，正方形的性质，平方差公式等知识，解题的关键是学会利用参数构 建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题． 3. 现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为，宽为b.用3 个如图②的图 形和8 个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为30m，则图 ③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为()． 1 5 B 1 6 1 7 D 1 8 【答】B 【解析】 【分析】 此题考查了图形的拼接、二元一次方程组的应用、长方形形和正方形的性质等知识，解题 的关键是：结合图形列出二元一次方程组． 由图③大长方形的宽为30m，可得一个，b 的关系式；再由图③可知小长方形的4 个长等 于小长方形的3 个长和3 个宽，列出算式得出，b 的另一个关系式；联立两个关系式可求出， b 的值，进而可求出图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比． 【解答】 解：由图③大长方形的宽为30m，可得a+3b=30-------①， 由图③可知小长方形的4 个长等于小长方形的3 个长和3 个宽，可得4 a=3a+3b-------②， 联立①②可得：{ a+3b=30−−−① 4 a=3a+3b−−−② 解得{ a=15 b=5 , 图③中阴影部分的面积为：3(a−b) 2=3×(15−5) 2=300(c m 2)， 图③整个图形的面积为：30×4 a=30×4×15=1800(c m 2)， ∴图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比300 1800=1 6． 故选B． 4. 如图，由10 根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2 根与前 面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3 个菱形的方法共有 () 3 种 B 4 种 5 种 D 6 种 【答】D 【解析】解：共有6 种拼接法，如图所示． 故选：D． 根据菱形的性质，找出各种拼接法，此题得解． 本题考查了图形的剪拼以及菱形的判定，依照题意，画出图形是解题的关键． 5. 七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”.在一次数 学活动课上，小明用边长为4m 的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下 列四幅作品--“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5c m 2的是() B D 【答】D 【解析】解：最小的等腰直角三角形的面积¿ 1 8 × 1 2 ×4 2=1(c m 2)，平行四边形面积为 2c m 2，中等的等腰直角三角形的面积为2c m 2，最大的等腰直角三角形的面积为4 c m 2， 则 、阴影部分的面积为2+2=4(c m 2)，不符合题意； B、阴影部分的面积为1+2=3(c m 2)，不符合题意； 、阴影部分的面积为4+2=6(c m 2)，不符合题意； D、阴影部分的面积为4+1=5(c m 2)，符合题意． 故选：D． 先求出最小的等腰直角三角形的面积¿ 1 8 × 1 2 ×4 2=1c m 2，可得平行四边形面积为2c m 2， 中等的等腰直角三角形的面积为2c m 2，最大的等腰直角三角形的面积为4 c m 2，再根据阴 影部分的组成求出相应的面积即可求解． 本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利 用分割法求阴影部分的面积． 6. 如图，从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3 的正方形，剩余部分沿虚线 又剪拼成一个如图所示的长方形(不重叠，无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是() a+3 B a+6 2a+3 D 2a+6 【答】B 【解析】 【分析】 本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键． 根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解． 【解答】 解：拼成的长方形的面积¿(a+3) 2−3 2， ¿(a+3+3)(a+3−3)， ¿a(a+6)， ∵拼成的长方形一边长为， ∴另一边长是a+6． 故选B． 二、填空题 7. 在某张三角形纸片上，取其一边的中点，沿着过这 点的两条中位线分别剪去两个三角形，剩下的部分 就是如图所示的四边形；经测量这个四边形的相邻两边长为10m、6m，一条对角线的 长为8m；则原三角形纸片的周长是______． 【答】48 或(32+8 ❑ √13)cm 【解析】解：如图1： 周长为：2×(10+8+6)=48(cm)； 如图2： ∵BD=6，BC=8，CD=10， ∴B D 2+BC 2=C D 2， ∴△BCD是直角三角形， ∴AC=12， AB= ❑ √A C 2+BC 2=4 ❑ √13， ∴周长为2×(10+4 ❑ √13+6)=(32+8 ❑ √13)(cm)； 综上所述：原三角形纸片的周长是48 或(32+8 ❑ √13)cm． 故答为：48 或(32+8 ❑ √13)cm． 首先补全三角形进而利用平行四边形的性质得出各边长进而得出答． 此题主要考查了图形的剪拼，利用勾股定理求出B 的长是解题关键． 8. 如图，空白部分面积可表示为____________． 【答】(20−a) 2 【解析】 【分析】 解决本题的关键是把所求部分的面积整理为一个规则图形的面积．把阴影部分分别向下， 向右平移，可得空白部分的面积等于边长为(20−a)的正方形的面积． 【解答】 解：把阴影部分进行平移后，空白部分是边长为(20−a)的正方形，面积为：(20−a) 2． 故答为(20−a) 2 9. 如图所示，将一个长方形BD 分割成4 个小长方形，其中②与③的大小形状都相同， 已知大长方形BD 的边BC=5cm，则①与④两个小长方形的周长之和为________m． 【答】20 【解析】 【分析】 本题主要考查计算图形周长的知识，关键是知道正方形、长方形周长的计算方法． 【解答】 解：把④的其中两条边往外移动，①与④两个小长方形的周长之和刚好是边长为5m 的正 方形的周长． 5×4=20(cm) 故答为20． 10. 如图是“俄罗斯方块”游戏中的一个图，由四个完全相同的小正方形拼成，则 ∠ABC的度数为_____． 【答】45° 【解析】 【分析】 此题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，求出、B、B 的长，判断 出△ABC是等腰直角三角形是解答本题的关键，难度一般．设小正方形的边长为1，连接， 利用勾股定理求出、B、B 的长，由勾股定理的逆定理判断出△ABC是等腰直角三角形， 继而得出∠ABC的度数． 【解答】 解：如图，设小正方形的边长为1，连接． 则AB= ❑ √3 2+1 2=❑ √10，AC= ❑ √1 2+2 2=❑ √5，BC= ❑ √1 2+2 2=❑ √5， ∴AC=BC，且A C 2+BC 2=A B 2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°． 故答为45°． 11. 在关于“折纸问题”的数学活动课中，小刚沿菱形纸片BD 各边中点的连线裁剪得到 四边形纸片EFG，再将纸片EFG 按如图所示分别沿M、PQ 折叠，使点E，G 落在线 段P 上点E'，G'处，当PN /¿ EF时，若阴影部分的周长之和为16，△AEH， △CFG的面积之和为12，则菱形纸片BD 的一条对角线BD 的长为______． 【答】12 【解析】解：连接BD，如图所示： ∵四边形BD 是菱形， ∴AB=AD，与BD 垂直平分， ∵E是B 的中点，是D 的中点， ∴AE=AH，E 是△ABD的中位线， ∴EN=HN，BD=2 EH=4 HN， 由题意可以设AN=PC=x，EN=HN=PF=PG= y． 则有{ 2× 1 2 ×2 y × x=12 4 y+4(2 x−y)=16 ， 解得：{ x=2 y=3， ∴AN=2，HN=3， ∴BD=4 HN=12； 故答为：12． 证出E 是△ABD的中位线，得出BD=2 EH=4 HN，由题意可以设AN=PC=x， EN=HN=PF=PG= y .构建方程组求出x，y 即可解决问题． 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质、三角形中位线定理、方程组的解法等知识， 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 12. 如图，将一段标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一 部分重叠，然后在重叠部分沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为、B、三段，若这三段 的长度由短到长的比为1：2：3，则折痕对应的刻度可能是________________． 【答】20 或25 或35 或40 【解析】解：设折痕对应的刻度为xm，依题意有 绳子被剪为10m，20m，30m 的三段， ①x=20 2 +10=20， ②x=30 2 +10=25 ③x=30 2 +20=35， ④x=10 2 +20=25 ⑤x=10 2 +30=35 ⑥x=20 2 +30=40 综上所述，折痕对应的刻度可能为20、25、35，40． 故答为20 或25 或35 或40． 可设折痕对应的刻度为xm，根据折叠的性质和三段长度由短到长的比为1：2：3，长为 60m 的卷尺，列出方程求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用和图形的剪拼，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目 给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 三、解答题 13. 我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形 象，有助于探索解决问题的思路． (1)小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1 所示，将边长为的大正方形剪去 一个边长为b 的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，显然图1 中的图形 与图2 中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是______． (2)计算：( x+a)( x+b)=¿______；请画图说明这个等式． 【答】(1)(a+b)(a−b)=a 2−b 2 (2)x 2+ax+bx+ab 【解析】 解：(1)由图1 可得，图形面积¿a 2−b 2， 由图2 可得，图形面积¿(a+b)(a−b)， ∴(a+b)(a−b)=a 2−b 2 故答为：(a+b)(a−b)=a 2−b 2； (2)( x+a)( x+b)=x 2+ax+bx+ab， 证明：如图所示，图形面积¿( x+a)( x+b)， 图形面积¿ x 2+ax+bx+ab， ∴( x+a)( x+b)=x 2+ax+bx+ab， 故答为：x 2+ax+bx+ab． 【分析】 (1)依据图形面积¿a 2−b 2，图形面积¿(a+b)(a−b)，即可得到(a+b)(a−b)=a 2−b 2； (2)依据图形面积¿( x+a)( x+b)，图形面积¿ x 2+ax+bx+ab，即可得出 ( x+a)( x+b)=x 2+ax+bx+ab． 本题考查了平方差公式的几何背景，把阴影部分的面积用不同的方法表示是解答此类题目 的关键． 14. 问题提出：某段楼梯共有10 个台阶，如果某同学在上台阶时，可以一步1 个台阶，也 可以一步2 个台阶．那么该同学从该段楼梯底部上到顶部共有多少种不同的走法？ 问题探究： 为解决上述实际问题，我们先建立如下数学模型： 如图①，用若干个边长都为1 的正方形(记为1×1矩形)和若干个边长分别为1 和2 的 矩形(记为1×2矩形)，要拼成一个如图②中边长分别为1 和的矩形(记为1×n矩形)， 有多少种不同的拼法？(设A1×n表示不同拼法的个数) 为解决上述数学模型问题，我们采取的策略和方法是：一般问题特殊化． 探究一：先从最特殊的情形入手，即要拼成一个1×1矩形，有多少种不同拼法？ 显然，只有1 种拼法，如图③，即A1×1=1种． 探究二：要拼成一个1×2矩形，有多少种不同拼法？ 可以看出，有2 种拼法，如图④，即A1×2=2种． 探究三：要拼成一个1×3矩形，有多少种不同拼法？ 拼图方法可分为两类：一类是在图④这2 种1×2矩形上方，各拼上一个1×1矩形，即 这类拼法共有A1×2=2种；另一类是在图③这1 种1×1矩形上方拼上一个1×2矩形， 即这类拼法有A1×1=1种．如图⑤，即A A1×3=A1×2+ A1×1=2+1=3(种)． 探究四：仿照上述探究过程，要拼成一个1×4矩形，有多少种不同拼法？请画示意图 说明并求出结果． 探究五：要拼成一个1×5矩形，仿照上述探究过程，得出A1×5=¿______种不同拼法． (直接写出结果，不需画图)． 问题解决：请你根据上述中的数学模型，解答“问题提出”中的实际问题．(写出解答 过程，不需画图)． 【答】8 【解析】解：探究四：拼图方法可分为 两类：一类是在图④这2 种1×2矩形 上方，各拼上一个1×2矩形，即这类 拼法共有A1×2=2种；另一类是在图⑤ 这3 种1×3矩形上方，各拼上一个 1×1矩形，即这类拼法共有A1×3=3种．如图6，即A1×4=A1×3+ A1×2=3+2=5(种)． 探究五：A1×5=5+3=8种不同拼法． 故答为：8． 问题解决：∵楼梯共有10 个台阶，如果某同学在上台阶时，可以一步1 个台阶，也可以一 步2 个台阶∴A1×1=1种，即A1×3=A1×2+ A1×1=2+1=3(种)， A1×4=A1×3+ A1×2=3+2=5(种)，A1×5=8(种)， ∴A1×6=A1×4+ A1×5=5+8=13，A1×7=A1×6+ A1×5=13+8=21， ∴A1×8=A1×6+ A1×7=13+21=34， ∴A1×9=A1×7+ A1×8=21+34=55， ∴A1×10=A1×8+ A1×9=34+55=89． 答：该同学从该段楼梯底部上到顶部共有89 种不同的走法． 根据图形中矩形组合规律得出A1×5=A1×3+ A1×4，A1×n=A1×(n−1)+ A1×(n−2)，进而求出 即可，再利用这一规律分别求出A1×6，A1×7得出答即可． 本题主要考查了计数方法，培养学生根据已知的两组数据间的关系，进行分析推断，得出 一般化关系式的能力． 15. 阅读下列材料，并解决问题： 【实验操作】如图1，若干块如图所示的长方形和正方形硬纸片，拼成如图所示的大 长方形，并用不同的方法计算它的面积，回答下列问题： ①这个拼成的大长方形的面积可表示为多项式为_____________，也可以表示成因式 积的形式为____________; ②试借助拼图的方法，把二次三项式a 2+3b 2+4 ab因式分解为________________ 【研究发现】如图2，两个边长分别为，b，的直角三角形和一个两条直角边都是的等 腰直角三角形拼成如图。试用不同的方法计算这个图形的面积解决下列问题： ①若a=3，b=4，则这个两条直角边都是的等腰直角三角形的面积为________; ②你能发现相关，b，的等式吗，试说明道理; 【问题解决】 有一纸板如图3，△ABC中，∠ACB=90°，量得BC=9cm，AB=15cm，如图中 宽为2.5cm的尺子一顶点与三角形在处重合，尺子在移动过程中，一边F 与斜边B 的 交点记作点P，通过度量比较，你会发现P 的长度不断变化，过P 截得长方形DQP， 分别