福建省福州第一中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题

福州一中2021 - 2022 学年第一学期期末考试 高二数学选择性必修一模块试卷 （用时:120 分钟，满分:150 分） 一、选择题:本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小趣给曲的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知等差数列{an}中，a4 + a9 = 8，则S12 = （ ） A.96 B.48 C.36 D.24 2.已知等比数列{an}中，a2000a2023 = 2a2202，a2 = 2，则a1=（ ） A.1 2 B.1 C.❑ √2 D.4 3.已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F 且垂直x 轴的弦长为4❑ √3，则该椭圆的方程为（） A. x 2 45 + y 2 36 = 1 B. x 2 36 + y 2 27 = 1 C. x 2 27 + y 2 18 = 1 D. x 2 18 + y 2 9 = 1 4.过点（2，1）且与双曲线x 2 4 - y 2= 1 恰有一个公共点的直线有（ ） A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 5.已知{an}是以10 为首项，- 3 为公差的等差数列，则当{an}的前n 项和Sn，取得最大值 时，n =（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知数列{an}的前n 项和为Sn，满足a1 = 1， ❑ √sn+1- ❑ √sn = 1，则an =（ ） A.2n -1 B.n C.2n - 1 D.2n-1 7.曲线C:(x 2+ y 2)3 = 16x2y2为四叶玫瑰线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛 的应用，育叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形随道来实 现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形砸道就形成了苗落叶 的形状.下列结论正确的个数是（ ） ①曲线C 关于点（0，0）对称； ②曲线C 关于直线y = x 对称； ③曲线C 的面积超过4π； A.0 B. 1 C.2 D.3 8.已知椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B 两点关于原点对称，|FA| =2|FB|，且⃗ FA·⃗ FB≤ 4 9a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ） A.（0， ❑ √5 3 ] B.（0， ❑ √7 3 ] C.¿，1) D.¿，1) 二、选择题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9.关于双曲线x 2 4 - y 2 16 = 1，下列说法正确的有( ) A.实轴长为4 B.焦点为（±2❑ √3，0） C.右焦点到一条渐近线的距离为4 D.离心率为5 10.已知等差数列{an}与等比数列{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn，则下列结论正确的有（ ） A.数列{2 an}是等比数列 B.Tn可能为2n + 2 C.数列{Sn n }是等差数列 D.数列{ban}是等比数列 11.已知F 是抛物线y2 = 2px（p > 0）的焦点，过F 的直线交抛物线于A，B 两点，以线段 AB 为直径的圆交y 轴于M，N 两点，则下列说法正确的是（ ） A.以AB 为直径的圆与该抛物线的准线相切 B.若抛物线上的点T（2，t）到点F 的距离为4，则抛物线的方程为y2 = 4x C.⃗ O A·⃗ O B为定值 D.|MN|的最小值为❑ √3P 12.等差数列{an},{bn}的前n 项和分别为Sn，Tn， an bn = 2n+1 2n−1，n∈N *，则下列说法正确的 有（ ） A.数列{ an bn }是递增数列 B. S3 T 3 = 5 3 C. S5 T 6 = 35 36 D. S1∙S2⋯Sn T 2∙T 3⋯T n+1 = n+2 2(n+1) 三、填空题:本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13.在1 和9 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ________ . 14.已知双曲线x 2 4 - y2 = 1 的渐近线上两点A，B 的中点坐标为（2，2），则直线AB 的斜率 是 _________ . 15.椭圆x2 + y 2 3 = 1 上的点到直线x + y - 4 = 0 的距离的最小值为 _________ . 16.圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的 另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等 效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆C1: x 2 16 + y 2 4 = 1 和双 曲线C2: x 2 9 - y 2 3 =1 在y 轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆C1上一点P0出发，经 过点F2，然后在曲线E 内多次反射，反射点依次为P1，P2，P3，P4，…，若P0 ，P4重合， 则光线从P0到P4所经过的路程为 _________ . 四、解答题:本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10 分）已知等差数列{an}满足a3= 0，a7 = 2a4 + 2. （1）求{an}的通项公式； （2）设Cn = 2 an+3an+5，求数列{Cn}的前n 项和Sn。 18.（本小题满分12 分）已知圆M 经过点F（2，0），且与直线x =- 2 相切. （1）求圆心M 的轨迹C 的方程； （2）过点（ -1，0）的直线l 与曲线C 交于A，B 两点，若|AB 长≤8，求直线l 的斜率k 的 取值范围. 19.（本小题满分12 分）已知数列{an}满足{an} = 5，an+1 - 2an+ 3 = 0，设bn = an - 3. （1）证明数列{bn}为等比数列，并求{bn}的通项公式； （2）设cn = bn（4 - log2bn），求数列{cn}的前n 项和Sn. 20.（本小题12 分）如图四校锥P - ABCD 中，面PDC⊥面ABCD，∠ABC = ∠DCB = π 2 ， CD = 2AB = 2BC = 2，△PDC 是等边三角形. （1）设面PAB∩面PDC = l，证明:l∥平面ABCD； （2）线段PC 内是否存在一点E，使面ADE 与面ABCD 所成角的余弦值 为 ❑ √15 5 ，如果存在，求λ = | CE CP|的值，如果不存在，请说明理由. 21.（本小题12 分）已知椭圈E: x 2 4 + y2 = 1，斜率为k 的动直线l 与椭圆交于A，B 两点， 且直线l 与圆x2 + y2 = 4 5 相切. （1）若k = 2，求直线l 的方程: （2）求三角形OAB 的面积S 的取值范围. 22.（本小题12 分）已知A（ -3，0），B（3，0），四边形AMBN 的对角线交于点D（1， 0），kMA与kMB的等比中项为 1 3，直线AM，NB 相交于点P. （1）求点M 的轨迹C 的方程: （2）若点N 也在C 上，点P 是否在定直线上?如果是，求出该直线，如果不是，请说明 理由.