襄阳五中2022-2023学年高二上学期12月考数学试题

襄阳五中2022-2023 学年高二上学期12 月数学考试题 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．抛物线 2 8 y x  的焦点到准线的距离是（ ）. A．1 32 B．1 16 C．2 D．4 2． 直线1 l ：y x a   和2 l ：y x b   将单位圆C ： 2 2 1 x y  分成长度相等的四段弧， 则 2 2 a b  （ ） A．1 B．2 C． 2 D．4 3．若数列 n a 满足 1 2 a  ， 2 3 a  ， 2 1 n n n a a a     ，则 2022 a 的值为（ ） A．-3 B．-2 C．-1 D．2 4．如图，圆锥的轴截面SAB 是正三角形，O 为底面圆的圆心，D 为SO 的中点，点C 在底面圆的圆周 上，且ABC  是等腰直角三角形，则直线CD 与AS 所成角的余弦值为（ ） A． 7 4 B．2 3 C．3 7 14 D．133 14 5． 若P 为直线 1 0 x y   上一个动点， 从点P 引圆 2 2 2 0 x y x    的两条切线PM， PN （切点为M， N） ， 则线段MN 的长度的取值范围是（ ） A． 2,2     B．  2,2   C．  3,2   D． 3,2     6．已知 , n n S T 分别是等差数列 n a 与 n b 的前n 项和，且   2 1 1,2, 4 2 n n S n n T n     ，则 10 11 3 18 6 15 a a b b b b     （ ） A．11 20 B．41 78 C．43 82 D．23 42 7．已知椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     ，两条直线1 l ： 3 0 x y   ；2 l ： 3 0 x y  ，过椭圆上一点P 作2 l ，1 l 的 平行线，分别交1 l ，2 l 于M，N，若MN 为定值，则a b （ ） A．9 B．4 C．3 D．2 8．已知双曲线C ：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F ，点M，N 分别在双曲线C 的左、 右支上，且 0       OM ON ，以MN 为直径的圆过点 2 F ，点P 在双曲线C 的右支上，若������2 � �����= 3 4 ������ � ����，则双 曲线C 的离心率为（ ） A． 10 3 B． 6 2 C． 10 2 D．2 3 3 二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分） 9．下列说法错误的是（ ） A．“ 1 a ”是“直线 2 1 0 a x y   与直线 2 0 x ay    互相垂直”的充要条件 B．若点   , P m n 是曲线   2 2 1 0 4 3 x y y    上的动点，则 1 1 n m  的取值范围是 1 1, 3        C．已知双曲线 2 2 1 4 5 x y  左焦点为F ，P 是左支上一动点，则PF 的最小值是5 2 D．已知  6,3 A ， 1 F ， 2 F 是椭圆C ： 2 2 1 9 5 x y  的左右焦点，P 是椭圆C 上的一动点，则 1 PA PF  的 最小值是1  10．已知数列 n a 为等差数列，其前n 项和为 n S ，且 8 7 9 0 a a a    ， 7 10 0 a a   ，则下列结论正确的 是（ ） A． 9 8 a a  B．公差 0 d  C．当 8 n 时 n S 最大 D．使 0 n S  的n 的最大值为16 11． 如图， 若正方体的棱长为1， 点M 是正方体 1 1 1 1 ABCD ABC D  的侧面 1 1 ADD A 上的一个动点 （含边界） ， P 是棱 1 CC 的中点，则下列结论正确的是（ ） A．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为 13 2 B．若保持 2 PM  ，则点M 在侧面 1 1 ADD A 内运动路径的长度为π 3 C．三棱锥 1 B C MD  的体积最大值为1 3 D．若点M 在 1 A A上运动，则 1 D 到直线PM 的距离的最小值为 3 3 12．已知点P 为抛物线 2 : 2 ( 0) C x py p   上的动点，F 为抛物线C 的焦点，若PF 的最小值为1，点   0, 1 A  ，则下列结论正确的是（ ） A．抛物线C 的方程为 2 4 x y  B． PF PA 的最小值为1 2 C．点Q 在抛物线C 上，且满足 2 PF FQ      ，则 9 2 PQ  D．过   2,1 P  作两条直线1 2 , l l 分别交抛物线（㫒于点P ）于两点 , M N ，若点F 到1 2 , l l 距离均为1 2 ，则 直线MN 的方程为15 15 11 0 x y    三、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．若直线 3 0 x my    与直线 2 1 0 x y   的夹角为π 4 ，则实数m 的值为_________. 14．已知等差数列 n a 的前n 项和为 n S ，若 10 20 S  ， 30 90 S  ，则 20 S ___________ 15．已知直线2 2 0 kx y    与椭圆 2 2 1( 0) 9 x y m m    恒有公共点，则实数m 的取值范围为___________. 16．如图，过抛物线 2 2 y px  ( 0) p  的焦点F 作两条互相垂直的弦AB 、CD ，若 ACF △ 与△���������面积 之和的最小值为16，则抛物线的方程为______. 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知圆   2 2 :( ) ( 2 1) 4 C x a y a a      R ，定点   1,2 M  . (1)过点M 作圆C 的切线，切点是A，若线段MA 长为 21 ，求圆C 的标准方程； (2)过点M 且斜率为1 的直线l ，若圆C 上有且仅有4 个点到l 的距离为1，求a 的取值范围. 18．已知 n S 是数列 n a 的前n 项和，且 2 14 n S n n   . (1)求 n a 的通项公式； (2)若 1 2 3 n n T a a a a       ，求 n T . 19．双曲线   2 2 2 2 : 1 0, 0 x y C a b a b     的一条渐近线方程为 2 3 y x  且焦距为2 13 ，点   0,1 M ，过M 的 直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点 (1)求双曲线C 的方程 (2)若A ，B 两点均在y 轴左侧，求直线l 的斜率k 的取值范围． 20．已知数列 n a 满足 1 2 a  ，且     * * 2 2 1 2 1 2 2 1 , 3 2, n n n n a a n a a n n           N N . (1)记 2 n n b a  ，写出 1 2 , b b ，并求数列 n b 的通项公式； (2)求 n a 的前20 项和. 21． 如图， 在三棱锥A BCD  中， 已知 5 CB CD   ， 2 BD  ， O 为BD 的中点， AO 平面BCD， 2 AO  ， E 为AC 的中点，点F 在BC 上，满足 1 4 BF BC  . (1)求点A 到平面DEF 的距离; (2)求直线BD 与平面DEC 所成角的余弦值. 22．椭圆 2 2 1 2 2 : 1( 0) x y C a b a b     经过点   1,1 E 且离心率为 2 2 ；直线l 与椭圆 1 C 交于A，B 两点，且以 AB 为直径的圆过原点. (1)求椭圆 1 C 的方程； (2)若过原点的直线m 与椭圆 1 C 交于 , C D 两点，且   OC t OA OB         ，求四边形ACBD面积的最大值.